Pregătire cu un profesor

Glisează →Programează o ședință de cunoaștere

Andrei Ivan

Matematică

5,011 review-uri

Ședință de cunoaștere →

Giurea Maria-Magdalena

Matematică

5,02 review-uri

Ședință de cunoaștere →

Paraschiva Plugaru Paraschiva

Matematică

5,01 review

Ședință de cunoaștere →

Subiect și barem

PDFDeschide separat

Se deschide documentul PDF… Deschide PDF

Subiect — acces direct Barem — acces direct

Subiectul și răspunsurile sunt în același PDF. Afișăm documentul complet, cu toate paginile.

Simulare · Matematică · 2024

Facultatea de Automatică și Calculatoare · Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca

Înapoi la arhivă

Despre acest subiect

aprilie · 27 aprilie 2024

Sursa documentelor: Admitere UTCN – Matematică. Verifică răspunsurile cu baremul după ce rezolvi subiectul.

Subiectul și baremul în format text

Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.

Subiect și barem · 180 pagini

Mai jos sunt primele 100 pagini din 180. Documentul integral rămâne disponibil în PDF.

Unele pagini conțin imagini sau text care nu poate fi extras complet. Consultă originalul pentru acele pagini.

Subiect și barem · pagina 1

TESTE GRIL ˘A
DE
MATEMATIC ˘A
2025
A U T O R I
Prof.univ.dr. Vasile Cˆampian
Prof.univ.dr. Dalia Cˆımpean
Prof.univ.dr. Iuliu Crivei
Prof.univ.dr. Bogdan Gavrea
Prof.univ.dr. Ioan Gavrea
Prof.univ.dr. Daniela Inoan
Prof.univ.dr. Dumitru Mircea Ivan
Prof.univ.dr. Nicolaie Lung
Prof.univ.dr. Vasile Mihes, an
Prof.univ.dr. Alexandru Mitrea
Prof.univ.dr. Viorica Mures, an
Prof.univ.dr. Ioan Radu Peter
Prof.univ.dr. Dorian Popa
Prof.univ.dr. Ioan Ras, a
Prof.univ.dr. Daniela Ros, ca
Prof.univ.dr. Alina Sˆınt˘am˘arian
Prof.univ.dr. Gheorghe Toader
Prof.univ.dr. Constantin Cosmin Todea
Prof.univ.dr. Neculae Vornicescu
Conf.univ.dr. Alina-Ramona Baias
Conf.univ.dr. Mihaela Berches, an
Conf.univ.dr. Marius Birou
Conf.univ.dr. Lucia Blaga
Conf.univ.dr. Adela Cap˘at˘a
Conf.univ.dr. Maria Cˆampian
Conf.univ.dr. Alexandra Ciupa
Conf.univ.dr. Luminit, a Ioana Cotˆırl˘a
Conf.univ.dr. Eugenia Duca
Conf.univ.dr. Ovidiu Furdui
Conf.univ.dr. Adrian Holhos,
Conf.univ.dr. Daniela Marian
Conf.univ.dr. Adela Carmen Novac
Conf.univ.dr. Vasile Pop
Conf.univ.dr. Teodor Potra
Conf.univ.dr. Mircea Dan Rus
Conf.univ.dr. Silvia Toader
Lect.univ.dr. Daria Dumitras,
Lect.univ.dr. Mircia Gurz˘au
Lect.univ.dr. Vasile Ile
Lect.univ.dr. Tania Angelica Laz˘ar
Lect.univ.dr. Rozica Moga
Lect.univ.dr. Vicut, a Neagos,
Lect.univ.dr. Liana Timbos,
Lect.univ.dr. Floare Ileana Tomut, a
U. T. PRESS
Cluj-Napoca 2025

Subiect și barem · pagina 2

Coordonator Prof.univ.dr. Dumitru Mircea Ivan
Referent, i: Conf.univ.dr. Ovidiu Furdui
Prof.univ.dr. Ioan Gavrea
Prof.univ.dr. Alexandru Mitrea
Conf.univ.dr. Vasile Pop
Prof.univ.dr. Dorian Popa
Conf.univ.dr. Mircea Dan Rus
Prof.univ.dr. Neculae Vornicescu
Editura U. T. PRESS 2025

Subiect și barem · pagina 3

Prefat, ˘a
Culegerea de probleme Teste gril˘a de matematic˘a continu˘a tradit, ia Universit˘at, ii Tehnice
din Cluj-Napoca de a selecta viitorii student, i printr-un concurs de admitere pe baza subiectelor
sub form˘a de gril˘a. Prezenta culegere a fost elaborat˘a cu scopul de a contribui la o mai bun˘a
preg˘atire a candidat, ilor la admitere s, i de a-i familiariza cu noua tipologie a subiectelor.
Structurat˘a pe patru capitole: Algebr˘a, Analiz˘a matematic˘a, Geometrie analitic˘a s, i
Trigonometrie, culegerea contribuie la recapitularea materiei din Programa pentru Bacalau-
reat.
Parcurgˆand toate gradele de dificultate, de la probleme foarte simple care necesit˘a un
minim de cunos, tint, e, pˆan˘a la probleme a c˘aror rezolvare presupune cunos, tint, e temeinice,
lucrarea este util˘a tuturor categoriilor de elevi care se preg˘atesc pentru un examen de mate-
matic˘a.
Fiecare problem˘a propus˘a este urmat˘a de cinci r˘aspunsuri dintre care numai unul este
corect. La sfˆars, it se dau r˘aspunsurile corecte s, i indicat, ii de rezolvare.
Testele care se vor da la simularea de admitere s, i la concursul de admitere vor cont, ine
probleme cu grade diferite de dificultate, alc˘atuite dup˘a modelul celor din culegere.
Autorii

Subiect și barem · pagina 4

∗ ∗ ∗

Subiect și barem · pagina 5

Cuprins
1 Algebr˘a 1
2 Analiz˘a matematic˘a 33
3 Geometrie analitic˘a 73
4 Trigonometrie 79
5 Simulare admitere 12 mai 2018 89
6 Admitere 16 iulie 2018 95
7 Simulare admitere 18 mai 2019 101
8 Admitere 24 iulie 2019 105
9 Simulare admitere 8 mai 2021 111
10 Admitere 22 iulie 2021 117
11 Simulare admitere 7 mai 2022 123
12 Admitere 15 iulie 2022 129
13 Simulare admitere 6 mai 2023 135
14 Admitere 17 iulie 2023 141
15 Simulare admitere 27 aprilie 2024 147
16 Admitere 22 iulie 2024 151
17 Autori/Propun˘atori 157
18 R˘aspunsuri 161
19 Indicat, ii 167
v

Subiect și barem · pagina 6

∗ ∗ ∗

Subiect și barem · pagina 7

1
Algebr˘a
1
Mult, imea solut, iilor ecuat, iei z2 = 3 − 4i, z ∈ C, este:
A {1, 2} B {i, 2 − i} C {2 − i, −2 + i} D {3, −2 + i} E {2 − i, 3 + i}
2
Solut, ia ecuat, iei x(1 − lg 5) = lg(2x + x − 1) este:
A x = 1
5 B x = −1 C x = 1 D x = 1
2 E x = −5
3
Se consider˘a ecuat, ia 3{x}2 + 2{x} − 1 = 0, unde {x} este partea fract, ionar˘a a
num˘arului real x. Num˘arul solut, iilor situate ˆın intervalul [−2, 2] este:
A 2 B 1 C 4 D 3 E 0
4
Mult, imea solut, iilor reale ale sistemului
{ 2(x − 1) ≥ 4(x + 1)
x2 + 4x > 0 este:
A (−∞, −2) ∪ (1, ∞) B (−∞, −4) ∪ (2, ∞) C (−∞, −4) D (2, ∞) E (−1, 1)
5
Mult, imea valorilor parametrului real m pentru care graficul funct, iei f : R → R,
f (x) = (m + 1)x2 + 2(m + 2)x + m + 3, intersecteaz˘a axa Ox ˆın dou˘a puncte distincte
este:
A R B ∅ C {−3} D R r {−1} E R r {1}
1

Subiect și barem · pagina 8

1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Fie f ∈ R[X], f = X100 + aX99 + bX + 1.
6 Valorile coeficient, ilor a s, i b pentru care x = 1 este r˘ad˘acin˘a dubl˘a sunt:
A a = −1; b = −1 B a = 2; b = −4 C a = −2; b = 0 D a = 0; b = −2
E a = 4; b = −2
7 Valorile coeficient, ilor a s, i b pentru care f se divide cu X2 + X + 1 sunt:
A a = 1; b = 1 B a = −1; b = −1 C a = −1; b = 0 D a = 1; b = −1
E a = 0; b = −1
8 Valorile coeficient, ilor a s, i b pentru care restul ˆımp˘art, irii polinomului f la
X3 − X2 − X + 1 este X2 + X + 1 sunt:
A a = 2; b = −1 B a = 0; b = 1 C a = −1; b = 2 D a = −1; b = 1 E a = 1; b = 0
Se d˘a funct, ia f (x) = mx2 + 2(m + 1)x + m2 − 1, unde m 6 = 0 este parametru real.
9 Pentru ce valori ale lui m, f (x) > 0, ∀x ∈ R?
A m ∈ (0, +∞) B m ∈ (1 + √2, +∞) C m ∈ (0, 1 + √2) D m ∈ (1 − √2, 1 + √2)
E m ∈ (−1, 1 − √2) ∪ (1 + √2, +∞)
10 Pentru ce valori ale lui m, f (x) < 0, ∀x ∈ R?
A m ∈ (−∞, 0) B m ∈ (1 − √2, 1 + √2) C m ∈ (−1, 1 − √2)
D m ∈ (−∞, 1 − √2) E m ∈ (−1, 1 − √2) ∪ (0, ∞)
11 Pentru ce valori ale lui m funct, ia admite r˘ad˘acin˘a dubl˘a?
A m ∈ {±1} B m ∈ {1, ±√2} C m ∈ {±√2} D m ∈ {−1, 1 − √2, 1 + √2}
E m ∈ {0, 1, ±√2}
Se consider˘a ecuat, ia 2x2 − 2mx + m2 − 2m = 0, unde m ∈ R, iar x1 s, i x2 sunt r˘ad˘acinile
reale ale ecuat, iei.
12 Suma r˘ad˘acinilor x1 + x2 apart, ine intervalului
A [0, 1] B [0, 4] C R D [0, 2] E [−1, 4]
13 Suma p˘atratelor r˘ad˘acinilor x2
1 + x2
2 apart, ine intervalului
A [0, 4] B [−2, 4] C [0, 8] D R E [0, 3]
14 Produsul r˘ad˘acinilor x1x2 apart, ine intervalului
A [−2, 0] B [0, 4] C [− 1
2 , 4] D R E (0, 2)
— 2 —

Subiect și barem · pagina 9

1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Fie funct, iile fm : R → R, fm(x) = mx2 + 2(m − 1)x + m − 1, m ∈ R.
15 Mult, imea valorilor parametrului m pentru care ecuat, ia fm(x) = 0 are cel put, in o
r˘ad˘acin˘a real˘a este:
A (−∞, 1) B (−∞, 1] C R D alt r˘aspuns E [0, ∞)
16 Vˆarfurile parabolelor asociate funct, iilor fm, m 6 = 0, se g˘asesc pe:
A parabola y = x2 + 2 B dreapta x + 2y = 0 C dreapta y = x
D dreapta y = −x E o paralel˘a la Ox
Fie funct, ia g : R → R definit˘a prin g(x) =
{ x + 2, dac˘a x ≤ 0
3x + 2, dac˘a x > 0.
17 Solut, ia inecuat, iei g(x) ≥ 0 este:
A [−2, ∞) B [−2, 0] C [− 2
3 , ∞) D [−2, − 2
3 ] E [0, ∞)
18 Funct, ia g−1 : R → R este dat˘a de:
A g−1(x) =
{ x−2
3 , dac˘a x ≥ 2
x−2
4 , dac˘a x < 2 B g−1(x) =
{ x − 2, dac˘a x ≤ 2
x−2
3 , dac˘a x > 2
C g−1(x) =
{ x−1
3 , dac˘a x ≤ 2
2x − 3, dac˘a x > 2 D g−1(x) =
{ 2x − 1, dac˘a x ≤ 2
x+2
3 , dac˘a x > 2
E g−1(x) =
{ x + 2, dac˘a x ≤ 2
x+2
3 , dac˘a x > 2
19
Se dau funct, iile f, g : R → R definite prin
f (x) =
{ 5x + 1, x < 0
1 − x2, x ≥ 0 , g(x) =
{ x2, x ≤ −2
2x − 1, x > −2 .
Funct, ia h : R → R, h = f ◦ g este definit˘a prin:
A h(x) =
{ 1 − x4, x ≤ −2
4x(1 − x), x > −2 B h(x) =



1 − x4, x ≤ −2
4x(1 − x), x ≥ 1
2
2(5x − 2), −2 < x < 1
2
C h(x) =
{ 4x(1 − x), x ≤ 1
2
2(5x − 2), x > 1
2
D h(x) =



1 − x4, x < −2
2(5x − 2), x > 1
2
4x(1 − x), −2 ≤ x ≤ 1
2
E h(x) =
{ 2(5x − 2), x ≥ −2
1 − x4, x < −2
20
Fie P ∈ R[X], P (x) = x3 + ax2 + bx + c, un polinom cu r˘ad˘acinile x1, x2, x3 distincte
dou˘a cˆate dou˘a. Pentru Q ∈ R[X] polinom de grad 1,
suma Q(x1)
P ′(x1) + Q(x2)
P ′(x2) + Q(x3)
P ′(x3) este egal˘a cu
A x1 + x2 + x3 B x1x2x3 C P (x1 + x2 + x3) D 1 E 0
— 3 —

Subiect și barem · pagina 10

1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
21
Fie P, Q, R : C → C funct, ii polinomiale de grad cel mult doi s, i a, b, c ∈ C astfel ca
∣
∣
∣
∣
∣
∣
P (a) Q(a) R(a)
P (b) Q(b) R(b)
P (c) Q(c) R(c)
∣
∣
∣
∣
∣
∣ = 1.
Suma
∣
∣
∣
∣
∣
∣
P (1) Q(1) R(1)
P (b) Q(b) R(b)
P (c) Q(c) R(c)
∣
∣
∣
∣
∣
∣ +
∣
∣
∣
∣
∣
∣
P (a) Q(a) R(a)
P (1) Q(1) R(1)
P (c) Q(c) R(c)
∣
∣
∣
∣
∣
∣ +
∣
∣
∣
∣
∣
∣
P (a) Q(a) R(a)
P (b) Q(b) R(b)
P (1) Q(1) R(1)
∣
∣
∣
∣
∣
∣ este:
A 0 B 1 C 3 D P (0) + Q(0) + R(0) E P (1)Q(1)R(1)
22
S˘a se g˘aseasc˘a num˘arul complex z dac˘a |z| − z = 1 + 2i.
A z = 3
2 − 2i B z = 3
2 + 2i C z = 1
2 − 3i D z = 1
2 + 3i E z = − 1
2 + 3i
Fie f : C → C, f (z) = z2 + z − ¯z.
23 Solut, iile ecuat, iei f (z) = 0 sunt:
A {0, 1 + 2i, 1 − 2i} B {0, 1 + i, 1 − i} C {0, i, −i} D {0, 2 + i, 2 − i}
E {0, −1 + i, −1 − i}
24
Se consider˘a ecuat, ia log2(9x−1 + 7) = 2 + log2(3x−1 + 1). Mult, imea solut, iilor ecuat, iei are:
A un element B dou˘a elemente C nici un element D trei elemente
E o infinitate de elemente
25
S˘a se rezolve ˆın R ecuat, ia log1+x(2x3 + 2x2 − 3x + 1) = 3.
A x = 0 B x = −2 C x = 3 D x = 1
2 E x = 1
3
26
Mult, imea solut, iilor ecuat, iei 2 lg x
lg(5x − 4) = 1 este:
A {1, 4} B {4} C {10} D ∅ E R r {0, 4
5 }
27
Se consider˘a mult, imea tripletelor de numere reale (a, b, c) care verific˘a relat, ia
a2 + b2 + c2 = 1. Atunci min(ab + bc + ac) pentru aceast˘a mult, ime este:
A −1 B − 3
4 C − 1
2 D − 1
3 E nu exist˘a minim
— 4 —

Subiect și barem · pagina 11

1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Fie A1 =
{
x ∈ N | x = 2n + 1
n + 2 , n ∈ Z
}
s, i A2 =
{
x ∈ Z | x = 2n + 1
n + 2 , n ∈ Z
}
.
28 Mult, imea A1 este:
A A1 = {1, 2, 3} B A1 = N C A1 = {−2, 1, 4} D A1 = {1, 3, 5}
E A1 = ∅
29 Mult, imea A2 este:
A A2 = {−1, 1, 3, 5} B A2 = {3, 5} C A2 = {3} D A2 = ∅ E A2 = {−1}
30
Mult, imea solut, iilor inecuat, iei log 1
3
(log3 x) ≥ 1 este:
A [3, ∞) B (0, 3
√9) C (1, 3
√3] D ( 1
3 , 1] E (0, 1) ∪ ( 3
√3, +∞)
Restul ˆımp˘art, irii polinomului X10
31 la X + 1 este:
A −1 B 0 C 1 D 9 E alt r˘aspuns
32 la (X + 1)2 este:
A −10 B −10X C 10X + 9 D −10X − 9 E X − 9
33 la (X + 1)3 este:
A −9X2 + 22 B 45X2 + 80X + 36 C X + 2 D 1 E 0
34
Mult, imea solut, iilor ecuat, iei 2An−3
n x2 + 4An−2
n x + 3Pn = 0, n ≥ 3, este:
A {n, n
2
} B {1, A2
n
} C {−3} D {A3
n
} E ∅.
35
S˘a se determine primul termen a1 s, i rat, ia q a unei progresii geometrice (an)n∈N∗ dac˘a:{ a4 − a2 = 6,
a3 − a1 = 3.
A a1 = −1; q = 3 B a1 = 3; q = 1
2 C a1 = 2; q = −2
D a1 = 1; q = 2 E a1 = 1; q = 3.
36
Care sunt valorile coeficient, ilor reali a s, i b din ecuat, ia
x3 − ax2 + bx + 1 = 0,
dac˘a aces, ti coeficient, i sunt r˘ad˘acini ale ecuat, iei?
A a = 1, b = 0 B a = 1, b ∈ R C a = 1, b = −1 D a ∈ R, b = −1 E a ∈ R, b = 1
— 5 —

Subiect și barem · pagina 12

1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
37
Coeficientul lui x99 din dezvoltarea polinomului
(x − 1)(x − 2)(x − 3) . . . (x − 99)(x − 100)
este:
A −4950 B −5050 C 99 D −100 E 3450
38
Cel mai mare divizor comun al polinoamelor (x + 1)4n+3 + x2n, n ∈ N∗ s, i x3 − 1 este:
A x3 − 1 B x − 1 C x2 + x + 1 D sunt prime ˆıntre ele E (x + 1)4n+3 + x2n
39
Valoarea expresiei (1 − α)(1 − α2)(1 − α4)(1 − α5), unde α ∈ C \ R, α3 = 1, este:
A −1 B 9 C 0 D 9i E 3i
40
Fie numerele reale a, b, c, d ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞). Dac˘a loga b logb c logc d = 1 atunci:
A a = b ∈ (0, 1) s, i c = d ∈ (1, ∞) B a = b ∈ (1, ∞) s, i c = d ∈ (0, 1)
C a = c ∈ (0, 1) s, i b = d ∈ (1, ∞) D a = d E a = c ∈ (1, ∞) s, i b = d ∈ (0, 1)
41
Suma n∑
k=1
k · k! este:
A n(n + 1) B n · n! C (n + 1)! − 1 D n! E 2n · n!
Se consider˘a matricea U (a, b) =




a b b b
b a b b
b b a b
b b b a



.
42 Matricea U (a, b) este singular˘a dac˘a s, i numai dac˘a
A a = b B a 6 = −3b C (a − b)(3b + a) = 0 D a + 3b = 0 E alt r˘aspuns
43 U 11(1, 1) este
A U (1, 1) B 4100U (1, 1) C 222U (1, 1) D 220U (1, 1) E 48U (1, 1)
44 Inversa matricei U (1, 2) este:
A U (1, 2) B U (1, 2) − U (1, 1) C U (1,2)−6I4
7 D nu exist˘a E alt r˘aspuns
— 6 —

Subiect și barem · pagina 13

1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
45
Dac˘a a2 + b2 = 1, atunci inversa matricei
( a −b
b a
)
∈ M2(R) este:
A
( −a −b
b −a
)
B
( a b
b −a
)
C
( a b
−b a
)
D
( 1
a − 1
b
1
b
1
a
)
E
( a b
b a
)
46
Matricea A =


1 2 −1
−1 3 0
2 a 3

 are rangul minim pentru:
A a = 0 B a = 1 C a = 7 D a = 21 E a = −21
Se consider˘a matricea: A =




1 1 1 1
1 −i −1 i
1 −1 1 −1
1 i −1 −i



 .
47 Determinantul matricei A este:
A 16i B −16i C 16 D −16 E 0
48 A4 este:
A I4 B 2I4 C 4I4 D 16I4 E 256I4
49 Num˘arul solut, iilor n ∈ Z ale ecuat, iei 16A8n + 16I4 = 257A4n este:
A 16 B 8 C 4 D 2 E 1
Se d˘a matricea A =


0 0 1
0 1 0
1 0 0

.
50 det A este:
A 1 B 0 C −1 D 2 E ∞
51 Num˘arul de solut, ii ˆın M3(R) ale ecuat, iei X2 = A este:
A 10 B 1 C 2 D 0 E ∞
52
Sistemul de ecuat, ii cu parametrul real m,



x + 2y = 1
6x − 8y = 1
5x + 2y = m
, este compatibil numai
dac˘a:
A m = 0 B m = 1 C m = 2 D m = 3 E m = 4
— 7 —

Subiect și barem · pagina 14

1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
53
Sistemul de ecuat, ii cu parametrii m, n ∈ R



mx + y − 2z = 2
2x + y + 3z = 1
(2m − 1)x + 2y + z = n
este compatibil nedeterminat pentru:
A m = 3; n 6 = 3 B m 6 = 3; n = 3 C m = 3; n = 3 D m 6 = 3; n 6 = 3
E m = 5; n = 3
54
Dac˘a


1 1 2
0 1 1
0 0 1


n
=


1 n 44
0 1 n
0 0 1

, n ∈ N, atunci:
A n = 1 B n = 2 C n = 4 D n = 8 E n = 16
55
Fie m, n ∈ R, x1, x2, x3 r˘ad˘acinile ecuat, iei x3 + mx + n = 0 s, i matricea
A =


1 1 1
x1 x2 x3
x2
1 x2
2 x2
3

. Determinantul matricei A2 este:
A −4m3 − 27n2 B 4m3 − 27n2 C −4m3 + 27n2 D −2n3 − 27m2 E −3n3 − 27m2
56
Dac˘a a < b < c s, i D =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 1
a + 2 b + 2 c + 2
(a + 1)2 (b + 1)2 (c + 1)2
∣
∣
∣
∣
∣
∣, atunci:
A D = 0 B D ≤ 0 C D < 0 D D > 0 E D = −a2 − b2 − c2
Se consider˘a sistemul
(S) :



x +2y +3z = 1
2x −y +az = −3
3x +y +4z = b
.
57 (S) este compatibil determinat dac˘a s, i numai dac˘a
A a = 0 B a 6 = 1, b ∈ R C a = 1, b = −2
58 (S) este compatibil nederminat dac˘a
A a = 1, b = −2 B a = 1, b = 2 C a 6 = 1, b ∈ R D a = 2, b = 1
59 (S) este incompatibil dac˘a s, i numai dac˘a
A a = 1, b = 2 B a 6 = 2, b = 1 C a 6 = 1, b 6 = −2 D a 6 = 0, b = 2 E a = 1, b 6 = −2
— 8 —

Subiect și barem · pagina 15

1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
60
Num˘arul valorilor parametrului real m pentru care sistemul


2x + 2y + mxy = 5
(m − 1)(x + y) + xy = 1
3x + 3y − xy = m + 1
, are solut, ii (x, y) ∈ R × R, este:
A 0 B 1 C 2 D 3 E 4
61
Dac˘a sistemul de ecuat, ii



2x + ay + 4z = 0
x − y − z = 0
3x − 2y − z = 0
, a ∈ R
este compatibil determinat, atunci:
A a = 1 B a ∈ R r {1} C a ∈ R∗ D a ∈ (0, ∞) E a ∈ (1, ∞)
62
Dac˘a A =
( cos t − sin t
sin t cos t
)
, t ∈ R, atunci:
A An =
( cosn t − sinn t
sinn t cosn t
)
B An =
( cos tn − sin tn
sin tn cos tn
)
C An =
( cos nt − sin nt
sin nt cos nt
)
D An =
( sin nt − cos nt
cos nt sin nt
)
E An =
( cosn t − sinn t −n sin t cos t
n sin t cos t cosn t − sinn t
)
63
Dac˘a A =
( √3 −1
1 √3
)
∈ M2(R), atunci A12 este:
A
( 36 1
1 36
)
B
( 1 0
0 1
)
C
( 12√3 −12
12 12√3
)
D 212
( 1 0
0 1
)
E
( (√3)12 (−1)12
1 (√3)12
)
64
Mult, imea solut, iilor ecuat, iei
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x 1 2
1 2x 3
−1 −2 x
∣
∣
∣
∣
∣
∣ + 3
∣
∣
∣
∣ x −1
2 −3
∣
∣
∣
∣ + 3 = 0 este:
A {−1} B {−1, 1, −i, i} C {−1, 0, 1 − i√3, 1 + i√3} D
{
−1, 1−i√3
2 , 1+i√3
2
}
E {−1, 1−i
2 , 1+i
2
}
— 9 —

Subiect și barem · pagina 16

1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Se d˘a mult, imea M = [5, 7] s, i operat, ia ∗ definit˘a prin
x ∗ y = xy − 6x − 6y + α.
65 Valoarea parametrului real α pentru care mult, imea M este parte stabil˘a ˆın raport cu
operat, ia ∗ este:
A α = 42 B α = 36 C α = −36 D α = 6 E α = −6
66 In monoidul (M, ∗), elementul neutru este:
A e = 7 B e = 6 C e = 5 D e = 1 E nu exist˘a
67 In monoidul (M, ∗), mult, imea elementelor simetrizabile este:
A [5, 7] \ {6} B {6} C {5, 7} D [5, 7] E R \ {6}
Definim pe Z × Z legea de compozit, ie (x, y) ∗ (a, b) = (xa, xb + ya).
68 Elementul neutru al legii ∗ este:
A (0, 1) B (1, 0) C (0, 0) D (1, 1) E (−1, 1)
69 Num˘arul elementelor simetrizabile (x, y) avˆand proprietatea x2 + y2 + x + y = 8, este:
A 4 B 1 C 2 D 3 E 0
70
Fie legea de compozit, ie ∗ definit˘a prin x ∗ y = x−y
1−xy , ∀x, y ∈ (−1, 1). Elementul neutru
pentru aceast˘a lege este:
A e = 0 B nu exist˘a C e = 1 D e = −1 E 1
2
71
Pe mult, imea Z a numerelor ˆıntregi se defines, te legea ∗ prin x ∗ y = x + y − 2, ∀x, y ∈ Z.
S˘a se determine simetricul x′ al lui x.
A x′ nu exist˘a B x′ = 1 − x C x′ = 4 − x D x′ = 1
x E x′ = −x
— 10 —

Subiect și barem · pagina 17

1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Pe mult, imea C a numerelor complexe definim legea de compozit, ie ∗ prin
z1 ∗ z2 = z1 + z2 − z1z2.
72 Num˘arul 2 ∗ i este:
A 2 − i B 2i C 2 + i
73 Elementul neutru fat, ˘a de ∗ este:
A 1 B 0 C i D −1
74 Elementul simetric al lui i fat, ˘a de ∗ este:
A −i B 1 − i C 1−i
2 D 1+i
2
Se consider˘a funct, ia f : R → R, f (x) = x2 − (m − 1)x + 3m − 4, m ∈ R.
75 Mult, imea valorilor lui m pentru care f se anuleaz˘a ˆın (0, 1) s, i f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (0, 1)
este:
A (−∞, 7 − 4√2) B (7 + 4√2, ∞) C {7 − 4√2, 7 + 4√2} D {7 − 4√2} E ∅
76 Mult, imea valorilor lui m pentru care f (x) < 0, ∀x ∈ (0, 1) este
A (0, 1) B (2, ∞) C (−∞, 1] D ∅ E (0, ∞)
Se consider˘a funct, ia f : R → R, f (x) = x2 − mx + 2, m ∈ R.
77 Mult, imea valorilor lui m pentru care f este strict cresc˘atoare pe intervalul [−1, 1] este
A [−2, 2] B (−∞, −2) C (−∞, −2] D R E Alt r˘aspuns
78 Mult, imea valorilor lui m pentru care f este injectiv˘a pe [−1, 1] este:
A R B (−1, 1) C (−∞, −2] ∪ (2, ∞) D (−2, 2) E Alt r˘aspuns
79
Familia de parabole asociate funct, iilor
fm(x) = (m + 1)x2 − 3mx + 2m − 1, m ∈ R r {−1},
A are un punct fix pe axa Oy B are un punct fix situat pe prima bisectoare
C are dou˘a puncte fixe D are trei puncte fixe E nu are puncte fixe
— 11 —

Subiect și barem · pagina 18

1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Fie parabolele de ecuat, ii: P1 : y = x2 + 5x + 4
s, i P2 : y = (m − 1)x2 + (4m + n − 4)x + 5m + 2n − 4, unde m, n ∈ R, m 6 = 1.
80 Parabolele se intersecteaz˘a ˆın A(−2, −2) s, i B(0, 4) dac˘a:
A m = −2, n = 9 B m = 2, n = −9 C m = 5, n = 4 D m = 1
2 , n = 3
E m = 1
3 , n = −2
81 Parabolele au singurul punct comun C(1, 10) dar nu sunt tangente dac˘a:
A m = − 2
3 , n = 1
3 B m = 2, n = − 1
3 C m = − 1
3 , n = 3 D m = −2, n = 1
2
E m = n = 2
82 Parabolele sunt tangente ˆın punctul T (−2, −2) dac˘a:
A m = 0, n = −3 B m = 2, n = −1 C m = −2, n = −1 D m = −2, n = 1
E m = 1
2 , n = −4
83
Fie E(x) = x2 − 2(m − 1)x + m + 1
mx2 − mx + 1 . Mult, imea valorilor reale ale lui m pentru care E
este bine definit˘a oricare ar fi x ∈ R, este:
A R B {4} C {−1} D (0, 4) E alt r˘aspuns
84
Mult, imea valorilor parametrului real m pentru care
(m − 1)x2 + (m − 1)x + m − 3 < 0, ∀x ∈ R
este:
A ∅ B (−∞, 1) ∪ ( 11
3 , ∞) C (−∞, 0) D (−∞, 1) E alt r˘aspuns
85
Mult, imea valorilor lui a ∈ R∗, pentru care parabolele asociate funct, iilor
fa(x) = ax2 − (a + 2)x − 1 s, i ga(x) = x2 − x − a sunt tangente, este:
A {−1, 2} B {3, −1} C {3} D { 1
3 , 3} E ∅
86
Ecuat, ia x4 + (2m − 1)x2 + 2m + 2 = 0, cu necunoscuta x s, i parametrul real m, are toate
r˘ad˘acinile reale dac˘a:
A m = 0 B 1 ≤ m ≤ 2 C −1 ≤ m ≤ − 1
2 D m ∈ ∅ E m > 1
2
87
Se d˘a ecuat, ia x3 − 3x2 + 2x − a = 0. R˘ad˘acinile ei sunt ˆın progresie aritmetic˘a dac˘a s, i
numai dac˘a
A a = 0 B a ∈ {0, 1} C a ∈ {−1, 1} D a = 2 E a = 3
— 12 —

Subiect și barem · pagina 19

1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Fie x1, x2, x3 r˘ad˘acinile ecuat, iei x3 − 2x + 3 = 0. Not˘am
Sk = xk
1 + xk
2 + xk
3 , k ∈ Z.
88 S−1 este:
A 0 B 2
3 C − 2
3 D 1 E −1
89 S−2 este:
A 4
9 B − 4
9 C 2
3 D − 3
2 E 0
90 S4 este:
A 4 B 4
9 C −4 D 8 E −8
91
Dac˘a funct, ia polinomial˘a P : R → R verific˘a egalit˘at, ile:
P (0) + · · · + P (n) = n5, n = 0, 1, . . . ,
atunci:
A P (0) = 0 B P (1) = 2 C P (0) + P (1) + P (2) = 3 D P (1) = 0 E alt r˘aspuns
92
Dac˘a funct, ia polinomial˘a P : R → R satisface egalit˘at, ile:
P (n) =
n∑
k=1
k10, n = 1, 2, . . . ,
atunci P (−2) este:
A 0 B −1 C 1023 D −1025 E alt r˘aspuns
Se d˘a ecuat, ia x3 − px2 + qx − r = 0, r 6 = 0.
93 Ecuat, ia admite dou˘a r˘ad˘acini opuse dac˘a:
A p + q = r B r2 − pq = 0 C rp − q = 1 D q2 − rp = 0 E pq − r = 0
94 R˘ad˘acinile sunt ˆın progresie geometric˘a dac˘a:
A p2r − q = 0 B p3 − rq = 0 C q2 − rp = 0 D q3 + p + q = 0 E p3r − q3 = 0
95
Mult, imea solut, iilor reale ale ecuat, iei
√
x + 2 − 4√x − 2 +
√
x + 7 − 6√x − 2 = 1
este:
A {5, 12} B {7, 10} C [2, ∞) D [6, 11] E {8, 12}
— 13 —

Subiect și barem · pagina 20

1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
96
Mult, imea solut, iilor reale ale inecuat, iei √x + 2 − √x + 3 < √2 − √3 este:
A (−∞, 0) B [−2, 0) C [−2, ∞) D ∅ E (0, ∞)
Se consider˘a funct, ia f (x) = 3
√x + √x − 11.
97 Mult, imea de definit, ie a funct, iei este:
A R B [0, ∞) C (−∞, 0) D [11, ∞) E (−∞, 11)
98 Mult, imea solut, iilor reale ale ecuat, iei f (x) = 7 este:
A {27} B {0} C {11} D {1} E cont, ine cel put, in dou˘a elemente
99
Cˆate solut, ii ˆıntregi are ecuat, ia
8(4x + 4−x) − 54(2x + 2−x) + 101 = 0?
A 2 B 4 C 1 D nici una E 3
100
Mult, imea valorilor reale ale lui a, pentru care funct, ia
f : R → R, f (x) = x3 + ax + 1,
este injectiv˘a, este:
A (−∞, 0) B [0, ∞) C ∅ D {1} E R
101
Mult, imea valorilor parametrului real m pentru care ecuat, ia
(m − 2)x2 − (2m + 1)x + m − 3 = 0
are r˘ad˘acinile ˆın C \ R cu partea real˘a negativ˘a este:
A (− 1
2 , 23
24
) B (−∞, 23
24
) C [− 1
2 , ∞) D [ 23
24 , ∞) E ∅
102
Valoarea minim˘a a funct, iei f : R → R,
f (x) = (x − a1)2 + (x − a2)2 + · · · + (x − an)2
unde a1, a2, . . . , an ∈ R, se obt, ine pentru:
A x = 0 B x = a1 C x = a2 D x = a1+a2+···+an
n E x = a1+an
2
103
Funct, ia f : R → R , f (x) =
{ x2 + 2mx − 1 ; x ≤ 0
mx − 1 ; x > 0 , m ∈ R∗, este injectiv˘a dac˘a:
A m ∈ (−∞, 1) B m ∈ (1, ∞) C m ∈ (−∞, 0) D m ∈ (0, ∞) E m ∈ (−1, 1)
— 14 —

Subiect și barem · pagina 21

1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
104
Fie f : R → R, f (x) =
{ x + m, x ≤ 1
2mx − 1, x > 1 . Funct, ia f este surjectiv˘a dac˘a s, i numai
dac˘a:
A m ∈ (0, 1); B m ∈ (−∞, 2]; C m = 2; D m ∈ (0, 2]; E m ∈ (−∞, 1]
105
Sistemul
{ x2 + y2 = z
x + y + z = a , are o singur˘a solut, ie (x, y, z) ∈ R × R × R, dac˘a:
A a = − 1
2 B a = 1
2 C a = 2 D a = 1
4 E a = − 1
4
106
Mult, imea solut, iilor reale ale ecuat, iei x = √2 − x este:
A ∅ B {1, −2} C {1} D [1, 2] E {2}
107
Pentru ca funct, ia f : R → B, f (x) = x2−3x+2
x2+x+1 s˘a fie surjectiv˘a, trebuie ca:
A B = R B B =
[ 9−2√21
3 , 9+2√21
3
]
C B = [1, 2] D B = (1, 2) E B = [−3, 3]
108
Mult, imea valorilor lui a ∈ R pentru care valorile funct, iei f : R → R, f (x) = x2 − ax + 1
x2 + 1 ,
sunt cuprinse ˆın intervalul (0, 3), este:
A (−4, 4) B (−∞, −4) C (0, 3) D (−2, 2) E {−2, 2}
109
Num˘arul solut, iilor (x, y) ∈ R × R ale ecuat, iei 2 | x − 2 | +3 | y − 3 |= 0 este:
A 0 B 1 C 2 D 4 E o infinitate
110
Mult, imea solut, iilor reale ale ecuat, iei √x2 − 4x + 4 + √x2 + 4x + 4 = 2x este:
A [−1, 3] B (0, ∞) C [2, ∞) D [−2, 2] E (−∞, 2]
111
Solut, ia ecuat, iei (3 − 2√2)x − 2 (√2 − 1)x = 3 este:
A −1 B ln 2 C 2 D log2
(3 − 2√2) E 1
log3(√2−1) .
112
Solut, ia ecuat, iei ( 1
2
)x + ( 1
6
)x + √2
( √2
6
)x
= 1 este:
A orice num˘ar real B 1 C 0 D − 1
2 E ecuat, ia nu are solut, ie
113
Ecuat, ia (5 + √24)√x+1 + (5 − √24)√x+1 = 98 are mult, imea solut, iilor:
A {3} B {−3; 3} C {−3} D {√3; 3} E { 1
3 ; 3}
— 15 —

Subiect și barem · pagina 22

1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Fie f : (0, 1) → R, f (x) = 1
logx 2 logx 4 + 1
logx 4 logx 8 + · · · + 1
logx 2n logx 2n+1 , unde n ≥ 5 este
un num˘ar ˆıntreg.
114 f ( 1
2 ) este:
A n
n+1 B 1 C n+1
n D 1
2
n+1
n E 2 n+1
n
115 Solut, ia ecuat, iei f (x) = 4n
n+1 este:
A 1
2 B 1
4 C 1√2 D 4 E 1
2n
116
Mult, imea solut, iilor sistemului de ecuat, ii
{ x2 + y2 = 425
lg x + lg y = 2 este:
A {(1; 1)} B {(1; 1)}; (10; 10)} C {(20; 5); (5; 20)} D {(1; 10); (10; 1)}
E {(20; 5)}
117
Solut, iile ecuat, iei log2x 4x + log4x 16x = 4 apart, in mult, imii:
A {3} B {2} C
[ 1
2√2 , 2
]
D {log2 3} E (2, ∞)
118
Mult, imea solut, iilor inecuat, iei lg ((x3 − x − 1)2) < 2 lg(x3 + x − 1) este:
A R B (0, ∞) C (1, ∞) D (0, 1) E alt r˘aspuns
Fie funct, ia f : R → R, f (x) = 9x − 5x − 4x.
119 Num˘arul de solut, ii reale ale ecuat, iei f (x) = 0 este:
A 0 B 1 C 2 D 3 E 4
120 Num˘arul de solut, ii reale ale ecuat, iei f (x) − 2√20x = 0 este:
A 0 B 1 C 2 D 3 E 4
121
Mult, imea solut, iilor ecuat, iei log3 x2 − 2 log−x 9 = 2 este:
A {x ∈ R | x < 0, x 6 = −1} B {−9} C ∅ D {9} E {− 1
3 , −9}
— 16 —

Subiect și barem · pagina 23

1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Se consider˘a funct, ia f : D → R, f (x) = ln(x + a)
√x , a ∈ R.
122 Domeniul de definit, ie al funct, iei este:
A (0, ∞) B (0, ∞){1} C (a, ∞) D (−a, ∞) E ( −a+|a|
2 , ∞)
123 Mult, imea valorilor lui a pentru care f (x) > 0, pentru orice x ∈ D este:
A (−∞, 0) B (−1, 1) C [1, ∞) D (2, ∞) E alt r˘aspuns
124
Dac˘a log6 2 = a, atunci valoarea lui log6 324 este:
A a + 3 B 5a − 2 C 4 − 2a D a2(2 − a)4 E 3 + 2a
125
Fie a = lg 2 s, i b = lg 3. Dac˘a x = 3log27(lg 150)3
atunci:
A x = 3 − 2b + a B x = 2 + b − a C x = 1 D x + 1 = a + b E x = 81ab
126
Solut, ia S a sistemului
{ 2x5y = 250
2y5x = 40 este:
A S = ∅ B S = {(1, 3)} C S = {(1, 0), (1, 3)} D S = {(1, 0)}
E S = {(−1, 1), (1, 0)}
127 Valoarea expresiei 3
√√5 + 2 − 3
√√5 − 2 este:
A 1 B 3 C 2 D √5 E 2√5
128 Valoarea expresiei 3
√√50 + 7 − 3
√√50 − 7 este:
A 2√50 B 2 C 1 D 3 E √50
129
S, tiind c˘a a este r˘ad˘acina real˘a a ecuat, iei x3 + x + 1 = 0, s˘a se calculeze
3
√(3a2 − 2a + 2)(3a2 + 2a) + a2.
A a + 1 B 1 C 3 D 2 E a
130
Mult, imea valorilor parametrului real m pentru care
m 9x + 4(m − 1)3x + m > 1
oricare ar fi x real este:
A (−∞, 1) B [1, ∞) C (0, ∞) D (1, ∞) E ∅
— 17 —

Subiect și barem · pagina 24

1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
131
Mult, imea solut, iilor inecuat, iei lg ((x − 1)10) < 10 lg x este:
A R B (0, ∞) C (0, 1) ∪ (1, ∞) D ( 1
2 , 1) ∪ (1, ∞) E ∅
132
Mult, imea solut, iilor inecuat, iei logx(1 + x) + logx2 (1 + x) + logx4 (1 + x) ≥ 7
4 este:
A (0, 1) ∪ (1, ∞) B (1, ∞) C (0, ∞) D ∅ E R
133
Valoarea sumei Sn = 1
1·4 + 1
4·7 + · · · + 1
(3n−2)(3n+1) , n ∈ N∗, este:
A n
3n+1 B 3n
3n+1 C n+1
3n+1 D n−1
3n+1 E n
3(3n+1)
134
Suma 1
2! + 2
3! + · · · + n
(n+1)! , n ∈ N∗, este egal˘a cu:
A 1
n+1 B 2n−1
2 C (n+1)!−1
(n+1)! D n2
(n+1)! E n
n+1
135
Suma n∑
k=3
A3
k Ck
n, n ≥ 3, are valoarea:
A 8C3
n B 2nA3
n C A3
n2n−3 D 2n−2C3
n+1 E 3n
136
Suma C1
n + 2C2
n + 3C3
n + · · · + nCn
n , n ∈ N∗, este egal˘a cu:
A n2n−1 B n2n − 1 C n D n(n+1)
2 E alt r˘aspuns
137
Suma
n∑
k=1
kCk
n
Ck−1
n
, n ∈ N∗, este egal˘a cu:
A n(n+1)
2 B
( n(n+1)
2
)2
C n(n+1)(2n+1)
4 D n(2n − 1) E n3 − n2 + n
138
Solut, ia ecuat, iei A6
x − 24xC4
x = 11A4
x apart, ine mult, imii:
A [5, 7] B [8, 10) C {10} D {4} E {6}
139
S˘a se determine termenul independent de a al dezvolt˘arii
( 1
3√a2 + 4
√a3
)17
.
A C6
17 B C7
17 C C8
17 D C10
17 E C11
17
140
O progresie aritmetic˘a cresc˘atoare (an)n≥1 verific˘a relat, iile a9 + a10 + a11 = 15 s, i
a9a10a11 = 120. Suma primilor 20 de termeni din progresie este:
A 150 B 100 C 120 D 110 E 160
— 18 —

Subiect și barem · pagina 25

1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
141
Ecuat, ia x3 − (4 − i)x2 − (1 + i)x + a = 0, a ∈ R, are o r˘ad˘acin˘a real˘a dac˘a s, i numai dac˘a
a apart, ine mult, imii:
A {1, 2} B {0, 1} C {−1, 4} D {0, 4} E R
142
Pentru ce valori ale parametrului real b ecuat, ia
x3 + a(a + 1)x2 + ax − a(a + b) − 1 = 0
admite o r˘ad˘acin˘a independent˘a de a?
A 0 B 1 C 2 D a E −1
143
Numerele reale nenule a, b, c sunt r˘ad˘acinile ecuat, iei x3 − a x2 + b x + c = 0.
ˆIn acest caz tripletul (a, b, c) este:
A (1, 1, 1) B (−1, −1, −1) C (1, −1, 1) D (1, −1, −1) E alt r˘aspuns
144
Care este valoarea parametrului rat, ional m, dac˘a ecuat, ia
x4 − 7x3 + (13 + m)x2 − (3 + 4m)x + m = 0
admite solut, ia x1 = 2 + √3 s, i solut, iile x3 s, i x4 verific˘a relat, ia x3 = 2x4?
A −1 B 3
4 C 5
3 D 2 E 4
145
Solut, iile ecuat, iei zz + 2(z − z) = 20 + 8i, z ∈ C, sunt:
A ±2 + 4i B ±4 + 2i C 4 + 2i D 4 − 2i E alt r˘aspuns
146
Fie x1, x2, . . . , xn r˘ad˘acinile ecuat, iei xn − 3xn−1 + 2x + 1 = 0. Valoarea sumei
S =
n∑
k=1
xk
xk − 1 este:
A 3n − 5 B 2n + 1 C n
n−1 D n(n+1)
n2+n−1 E 0
147
Valoarea lui m pentru care ecuat, ia x3 − 6x2 + 11x + m = 0 are r˘ad˘acinile ˆın progresie
aritmetic˘a apart, ine mult, imii:
A [−1, 1] B [2, 4] C [−4, −2] D [−7, −5] E [5, 6]
148
Dac˘a ecuat, ia 2x3 + mx2 + 4x + 4 = 0 admite o r˘ad˘acin˘a real˘a dubl˘a, atunci m apart, ine
mult, imii:
A [−5, 0] B [0, 2] C [−8, −5] D {3} E (6, ∞)
— 19 —

Subiect și barem · pagina 26

1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
149
Mult, imea valorilor lui m ∈ R pentru care ecuat, ia x3 − 28x + m = 0 are o r˘ad˘acin˘a egal˘a
cu dublul altei r˘ad˘acini este:
A {48} B {−48} C R r{48} D R r{−48} E {−48, +48}
150
Sistemul de ecuat, ii



x + y + z = 1
x2 + y2 + z2 = 3
1
x + 1
y + 1
z = 1
are:
A o solut, ie B dou˘a solut, ii C trei solut, ii D patru solut, ii E s, ase solut, ii
151
Se consider˘a ecuat, ia x4 − 5x3 + ax2 − 7x + 2 = 0 cu a parametru real. Valoarea sumei
4∑
i=1
1
xi
, unde xi sunt r˘ad˘acinile ecuat, iei, este
A − 7
2 B − 3
2 C 0 D 3
2 E 7
2
Fie (x + 1)(x2 + 2)(x2 + 3)(x2 + 4)(x2 + 5) = 9∑
k=0
Akxk.
152 9∑
k=0
Ak este:
A 720 B 724 C 120 D 600 E alt r˘aspuns
153 4∑
k=0
A2k este:
A 360 B 120 C 100 D 240 E 300
154
Fie polinomul P ∈ C [X] , P = X3 + pX + q, cu r˘ad˘acinile x1, x2, x3. S˘a se determine
polinomul cu r˘ad˘acinile x2
1, x2
2, x2
3.
A X3 + 2pX2 + p2X − q2 B X3 + 2pX2 − 4pX + q C X3 + 2pX2 + p2X + q2
D X4 + qX2 + 5 E X3 − pX2 + qX + q2
155
Restul ˆımp˘art, irii polinomului 1 + X + X2 + · · · + X1998 la 1 + X este egal cu:
A 0 B −1 C 1 D 1997 E 1999
156
Polinomul (X2 + X − 1)n − X este divizibil cu polinomul X2 − 1 dac˘a s, i numai dac˘a:
A n = 2k, k ∈ N∗ B n = 3k, k ∈ N∗ C n = 2k − 1, k ∈ N∗ D n = 3k + 1, k ∈ N∗
E n = 3k + 2, k ∈ N∗
— 20 —

Subiect și barem · pagina 27

1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
157
Polinomul (X2 + X + 1)n − X este divizibil cu polinomul X2 + 1 dac˘a s, i numai dac˘a:
A n = 3k, k ∈ N∗ B n = 4k, k ∈ N∗ C n = 4k + 1, k ∈ N D n = 4k + 2, k ∈ N∗
E n = 4k + 3, k ∈ N∗
158
Mult, imea valorilor parametrului real a, pentru care ecuat, ia x3 + ax + 1 = 0 are toate
r˘ad˘acinile reale s, i ele verific˘a relat, ia x4
1 + x4
2 + x4
3 = 18, este:
A {−12} B {3} C {−3} D {−3, 3} E ∅
159
Mult, imea valorilor parametrului real m pentru care ecuat, ia
x(x − 1)(x − 2)(x − 3) = m
are toate r˘ad˘acinile reale este:
A [−1, 9/4] B [−1, 9/16] C [−1, 9] D [1, 1/16] E ∅
160
Restul ˆımp˘art, irii polinomului P (X) = X100 + X50 − 2X4 − X3 + X + 1 la polinomul
X3 + X este:
A X + 1 B 2X2 + 1 C 2X2 − 2X − 1 D 2X2 + 2X + 1 E X2 + 1
161
Se consider˘a polinoamele cu coeficient, i complecs, i P (X) = a0 + a1X + · · · + anXn s, i
Q(X) = b0 + b1X + · · · + bmXm. S, tiind c˘a polinomul Q(X) se divide cu X − 1, s˘a se
determine suma coeficient, ilor polinomului P (Q(X)).
A
n∑
i=0
ai B
( n∑
i=0
ai
) ( m∑
i=0
bi
)
C anbm D a0 E a0b0
162
Un polinom de grad mai mare sau egal cu 2, ˆımp˘art, it la X − 1 d˘a restul 3 s, i ˆımp˘art, it la
X + 1 d˘a restul −5. Restul ˆımp˘art, irii la X2 − 1 este:
A −15 B 3X − 5 C −3X + 5 D 4X − 1
E nu se poate determina din datele problemei
163
Restul ˆımp˘art, irii polinomului X400 + 400X399 + 400 la polinomul X2 + 1 este:
A 400X + 401 B 400X − 399 C −400X + 401 D −400X + 399 E 0
— 21 —

Subiect și barem · pagina 28

1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Fie num˘arul complex z = 1 + i.
164 Num˘arul complex 1
z este:
A −1 − i B 1 − i C 1−i
2 D 1+i
2 E Alt r˘aspuns
165 Dac˘a zn este real, pentru o anume valoare n ∈ N∗, atunci num˘arul complex z2n este:
A in B −1 C 1 D 2n E (√2)n
166
Fie z1, z2 ∈ C. Dac˘a | z1 + z2 |= √3 s, i | z1 |=| z2 |= 1, atunci | z1 − z2 | este:
A 2 B 1 C √3 D √2 E √3 − 1.
167
Valoarea parametrului m ∈ R pentru care r˘ad˘acinile x1, x2, x3 ale ecuat, iei x3 +x+m = 0,
m ∈ R, verific˘a relat, ia x5
1 + x5
2 + x5
3 = 10 este:
A 1 B −1 C 3 D 2 E −2
168
Dac˘a x1, x2, x3 sunt r˘ad˘acinile ecuat, iei x3 − 2x2 + 2x + 6 = 0, atunci valoarea determi-
natului ∣
∣
∣
∣
∣
∣
x1 x2 x3
x2 x3 x1
x3 x1 x2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
este:
A 6 B 4 C 2 D 0 E −2
169
Dac˘a A ∈ Mn(C) este o matrice inversabil˘a astfel ca A + A−1 = 2In, atunci are loc
egalitatea:
A A = 3In B A3 + A−3 = 2In C A = −A D A2 + A−2 = In E A − A−1 = 2In
Fie x1, x2, x3, x4 r˘ad˘acinile polinomului P = X4 + X3 + X2 + X + 1.
170 1
x1 + 1
x2 + 1
x3 + 1
x4 este:
A −1 B 1 C −2 D 1/2 E 0
171 x2
1 + x2
2 + x2
3 + x2
4 este:
A 1 B −1 C −2 D −4 E 0
172 x8
1 + x18
2 + x28
3 + x38
4 este:
A 1 B −23 C 24 D −1 E 4(1 + i)
— 22 —

Subiect și barem · pagina 29

1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
173
Num˘arul solut, iilor ecuat, iei X2 = I2 ˆın M2(N) este:
A 1 B 2 C 3 D 4 E 16
Se consider˘a ecuat, ia matriceal˘a X2 = 2X + 3I2, X ∈ M2(R).
174 X3 este:
A 7X + 6I2 B 6X + 7I2 C I2 D X E 8X + 9I2
175 Num˘arul solut, iilor din M2(Z) ale ecuat, iei este:
A 0 B 2 C 8 D 16 E infinit
176
Fie A ∈ M3,2(C). Atunci det(A · AT ) este:
A strict pozitiv B strict negativ C zero D de modul 1 E 1
Se d˘a ecuat, ia: Xn =
( 3 6
2 4
)
, n ∈ N∗, X ∈ M2(R).
177 Determinantul matricei
( 3 6
2 4
)
este:
A 0 B 1 C 2 D 3 E 4
178 Cˆate solut, ii are ecuat, ia pentru n impar?
A 0 B 1 C 2 D n E o infinitate
179 Cˆate solut, ii are ecuat, ia pentru n par?
A 0 B 1 C 2 D n E o infinitate
180
Mult, imea valorilor lui a ∈ R pentru care sistemul x + y + z = 0, x + 2y + az = 0,
x + 4y + a2z = 0 are solut, ie nebanal˘a, este:
A R B R r{1, 2} C {1, 3} D {1, 2} E {2, 3}
181
Dac˘a A =
( a b
c −a
)
∈ M2(R) s, i n ∈ N∗, atunci:
A An = (a2 + bc)I2 B An = (a2 + bc)nI2 C A2n = (a2 + bc)nI2
D A2n+1 = (a2 + bc)nI2 E A2n = (a2 + bc)nA
— 23 —

Subiect și barem · pagina 30

1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
182
Mult, imea valorilor parametrului real a pentru care sistemul de ecuat, ii



ax + y + z = 0
x + ay + z = 0
x + y + az = 0
x2 + y2 + z2 = 1
este compatibil este:
A R B ∅ C {−2, 1} D R r{−2, 1} E {−2}
183
Matricea A =


1 0 1
0 1 0
1 0 1

 verific˘a relat, ia A3 = pA2 + qA pentru:
A p = −2, q = 3 B p = −2, q = 2 C p = 3, q = −2 D p = −3,q = 2
E p = 1, q = 1
184
Mult, imea valorilor reale ale lui m, pentru care sistemul



mx + y + z = 1
x + 2my + z = 1
x + y + z = 0
este compatibil determinat s, i solut, ia (x, y, z) verific˘a relat, ia x + y ≥ z, este:
A (−∞, 1] B [−1, ∞) C ( 1
2 , 2
3
] ∪ (1, ∞) D (0, 1) E (−1, 1)
185
Mult, imea valorilor lui x ∈ R, pentru care determinantul
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 1 1
1 x −1 2
1 x3 −1 8
1 x2 1 4
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
este nul, este:
A {−1, 1, 2} B R r{−1, 1, −2} C {−1, 1, −2} D ∅ E {1}
186
Pe R se defines, te legea de compozit, ie: x ∗ y = xy − ax + by. Numerele a, b ∈ R pentru
care (R,∗) este monoid sunt:
A a = b 6 = 0 B a = 0, b = 1 C a = b = 0 sau a = −1, b = 1 D a = −1, b = 0
E nu exist˘a astfel de numere
187
Fie grupurile (C∗, ·) s, i (R∗, ·). S˘a se determine a ∈ R∗ s, i b ∈ R astfel ca funct, ia
f : C∗ → R∗, f (z) = a|z| + b, s˘a fie morfism de grupuri.
A a = 2, b = 1 B a = −1, b = 1 C a = 1, b = 0 D a = −2, b = 3 E a = 0, b = 5
— 24 —

Subiect și barem · pagina 31

1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
188
Mult, imea elementelor inversabile ale monoidului (Z[i], ·) este:
A {−2, 2} B {−1, 1, −i, i} C {1 − i, 1 + i} D {1, i, 2i, −2} E ∅
189
Fie m ∈ Z s, i operat, ia ∗ definit˘a prin x ∗ y = xy + mx + my + a. Valoarea lui a pentru
care operat, ia ∗ defines, te o structur˘a de monoid pe Z este:
A 1 − m B m2 C m − 1 D 0 E m2 − m
190
Legea de compozit, ie x ∗ y = n
√xn + yn, determin˘a pe R o structur˘a de grup, dac˘a s, i
numai dac˘a:
A n = 1 B n = 3 C n = 2k, k ∈ N∗ D n = 2k + 1, k ∈ N∗ E n ≥ 2, n ∈ N
191
In monoidul (M2(Z), ·) mult, imea elementelor inversabile este:
A {A | det A 6 = 0} B {A | det A = 1} C {−I2, I2}
D {A | det A2 = 0} E {A | det A ∈ {−1, 1}}
192
S˘a se determine grupul (G, ∗), s, tiind c˘a funct, ia
f : (0, ∞) → G, f (x) = x + 1,
este un izomorfism al grupurilor ((0, ∞), ·) s, i (G, ∗).
A G = (0, ∞) s, i x ∗ y = xy B G = (1, ∞) s, i x ∗ y = xy
C G = (1, ∞) s, i x ∗ y = xy − x − y + 2 D G = R s, i x ∗ y = x + y
E G = (1, ∞) s, i x ∗ y = x + y − 1
193
Se consider˘a grupurile G = (R , +) s, i H = (R, ∗), unde x∗y = x+y+1. Funct, ia f : R → R
f (x) = ax + b este izomorfism de la G la H, dac˘a s, i numai dac˘a:
A a = b = 1 B a = −1, b = 1 C a 6 = 0, b = −1 D a = 1, b 6 = 0
E a = 1, s, i b = 0
— 25 —

Subiect și barem · pagina 32

1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Fie monoidul (M, ·) unde M = {Aa | a ∈ R} cu Aa =


a 0 a
0 0 0
a 0 a

.
194 Matricea A1 · A1 este:
A A1 B A2 C A3 D A4 E A−1
195 Elementul unitate este:
A I3 B A1 C A0 D A 1
2 E A−1
196 Inversul elementului A1 este:
A A 1
4 B A4 C A 1
2 D A2 E A−1
Pe R se consider˘a legea de compozit, ie x ∗ y = ax + by + c, a 6 = 0, b 6 = 0.
197 ∗ este asociativ˘a dac˘a s, i numai dac˘a
A a = b, c = 0 B a = b = 1, c ∈ R C a = b = c = 2 D a = b = −1, c = 2
E alt r˘aspuns
198 ∗ este asociativ˘a s, i admite element neutru dac˘a s, i numai dac˘a
A a = b = 1, c = 0 B a = b = 1, c ∈ R C a = b = c = 2
D a = b = 2, c = 0 E alt r˘aspuns
199 (R, ∗) este grup dac˘a s, i numai dac˘a
A a = b = 1, c = 0 B a = b = 1, c ∈ R C a = b = c = 2
D a = b = 2, c = 0 E alt r˘aspuns
200
Funct, ia f : Z → Z, f (x) = ax este automorfism al grupului (Z, +) dac˘a s, i numai dac˘a:
A a = 1, B a = −1 C a ∈ {−1, 1} D a ∈ Z∗ E a ∈ {0, 1}
201
Fie funct, ia f : R → R, f (x) = ax + b
x2 + 1 , a, b ∈ R. Mult, imea perechilor (a, b) ∈ R × R
pentru care imaginea funct, iei f este Im f = [−3, 1] este:
A {(0, 0)} B {(1, −√2)} C {(2√3, −2) , (−2√3, −2)} D {( 1
2 , √2) , (− 1
2 , √2)}
E {(0, 1), (1, 0)}
202
Imaginea funct, iei f : R → R, f (x) = x2 + ax + 1
x2 + x + 1 , a ∈ R, este inclus˘a ˆın intervalul [0, 2] ,
dac˘a:
A a ≥ 3 B a ≤ −2 C a ∈ [−1, 0) D a ∈ [0, 2] E a ∈ (−2, −1)
— 26 —

Subiect și barem · pagina 33

1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
203
Mult, imea valorilor lui x, pentru care este definit radicalul 6−x2√x, cont, ine:
A 5 elemente B 7 elemente C un interval D 4 elemente E nici un element
204
Mult, imea numerelor complexe z care verific˘a ecuat, ia z2 − 2 |z| + 1 = 0 este:
A {−1, 1} B {1 − i, i + 1} C {−1, 1, (√2 − 1)i, (1 − √2)i}
D {−1, 1, 1 − i} E ∅
205
Se consider˘a ecuat, ia ax2 + bx + c = 0, unde a, b, c sunt numere ˆıntregi impare. Care din
urm˘atoarele afirmat, ii este adev˘arat˘a?
A ecuat, ia are o r˘ad˘acin˘a par˘a B ecuat, ia are o r˘ad˘acin˘a impar˘a
C ecuat, ia are dou˘a r˘ad˘acini pare D ecuat, ia nu are r˘ad˘acini ˆıntregi
E ecuat, ia are dou˘a r˘ad˘acini impare
206
Ecuat, ia √mx2 + x + 1 + √mx2 − x + 1 = x are solut, ii reale dac˘a s, i numai dac˘a:
A m = 0 B m = 1 C m = 1
2 D m = 1
4 E m > 0
207
Mult, imea valorilor lui a ∈ R pentru care ecuat, ia
x4 + 4x3 + ax2 + 4x + 1 = 0
are toate r˘ad˘acinile reale este:
A (−∞, −10] B (−∞, −10] ∪ {6} C [4, ∞) D {0} E ∅
208
Solut, iile ecuat, iei 1 − 3x−1 + 2 x
2 − 2 x
2 3 x−1
2 = 0 apart, in mult, imii:
A [−3, 0] B [0, 2] C {0; −2} D [3, ∞) E { 1
2 }
209
Mult, imea valorilor lui a ∈ R pentru care loga
(x2 + 4) ≥ 2, ∀x ∈ R, este:
A (1, 2] B [−2, 0) C (0, 4] D [2, 3] E (1, 3)
210
Solut, ia x a ecuat, iei logx(x + 1) + logx3 (x3 + 1) = 2 logx2 (x2 + 1) verific˘a:
A x ∈ [0, 1) B x ∈ ∅ C x ∈ (2, 3) D x ∈ (3, 4) E x ∈ (1, 2)
211
Cel mai mare termen al dezvolt˘arii binomului (1 + √2)100 este:
A T57 B T58 C T59 D T60 E T61
— 27 —

Subiect și barem · pagina 34

1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
212
Fie m, n, p numere naturale nenule, m 6 = n. Dac˘a ˆıntr-o progresie aritmetic˘a avem an = m,
s, i am = n, atunci ap este egal cu:
A m + n − p B p − m − n C m + n − 2p D 2p − m − n E m + n + p
Fie polinomul P (x) = x3 − x2 − x + a, unde a este un parametru real.
213 Valoarea lui a pentru care polinomul are o r˘ad˘acin˘a dubl˘a ˆıntreag˘a este:
A a = 1 B a = −1 C a = 2 D a = 1
2 E a = − 3
2
214 Valoarea lui a pentru care polinomul are o r˘ad˘acin˘a tripl˘a ˆıntreag˘a este:
A a = 1 B nu exist˘a un astfel de a C a = −1 D a = 2 E a = −2
Fie xn = (2 + √3)n, n ∈ N∗.
215 Cˆate perechi (an, bn) ∈ Z × Z cu proprietatea xn = an + bn
√3 exist˘a pentru n fixat?
A 0 B 1 C 2 D 3 E o infinitate
216 Valoarea lui a2
n − 3b2
n este:
A 0 B 1 C 2 D 3 E √3
217 Cˆate solut, ii are ecuat, ia x2 = 3y2 + 1 ˆın Z × Z?
A 1 B 3 C 5 D 6 E o infinitate
218
Fie x1, x2, x3, x4 s, i x5 r˘ad˘acinile ecuat, iei x5 + x4 + 1 = 0.
Valoarea sumei
5∑
i=1
1
x4
i
este:
A −4 B −3 C −2 D −1 E 0
— 28 —

Subiect și barem · pagina 35

1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Ecuat, ia x4 − 8x3 + ax2 − bx + 16 = 0 are toate r˘ad˘acinile pozitive, a, b ∈ R.
219 Media aritmetic˘a a r˘ad˘acinilor x1, x2, x3, x4 este
A 1 B 2 C 0 D 4 E 8
220 Media geometric˘a a r˘ad˘acinilor x1, x2, x3, x4 este
A 2 B 1 C 4 D 0 E 16
221 Valorile parametrilor a, b ∈ R pentru care ecuat, ia are toate r˘ad˘acinile reale s, i pozitive
sunt:
A a = 1, b = 0 B a = 24, b = 32 C a = 24, b = 1 D a = 32, b = 24
E a = 1, b = 32
222
Fie α ∈ C astfel ca α2 + α + 1 = 0, A ∈ M2(R) o matrice, A 6 = O2, astfel ˆıncˆat
det(I2 − A) · det(αI2 − A) = α2.
Valoarea lui det(I2 + αA + α2A2) este:
A −1 B 0 C 2 D α E 1
223
Dac˘a A ∈ M2(R), A 6 = O2 s, i exist˘a n ≥ 6 astfel ca An = O2, atunci valoarea minim˘a a
lui p ∈ N∗ pentru care Ap = O2 este:
A 2 B 3 C 4 D 5 E 6
224
Mult, imea G = {z ∈ C | azn = b}, a ∈ C∗, b ∈ C, este un subgrup al grupului (C∗, ·)
dac˘a:
A b = 0 B a = b C | a |=| b | D a = −b E an = b
225
Cˆate elemente inversabile are monoidul (Z [√2] , ·)?
A 0 B 1 C 2 D 4 E o infinitate
226
Funct, ia f (x, y) = ax + by
1 + xy , a, b ∈ R, este o lege de compozit, ie pe intervalul (−1, 1) dac˘a:
A a = b = 2 B a + b ∈ (−1, 1) C a ∈ (−1, 1) s, i b ∈ (−1, 1) D a = b ∈ [−1, 1] E
a + b = 1
227
Fie x ∗ y = x + y
1 + xy , x, y ∈ (−1, 1). Num˘arul 1
2 ∗ 1
3 ∗ · · · ∗ 1
1000 este:
A 500499
500502 B 500499
500501 C 500500
500501 D 500501
500502 E 500400
500501
— 29 —

Subiect și barem · pagina 36

1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Fie mult, imea A = {1, 2, . . . , 8}. Cˆate dintre submult, imile lui A satisfac urm˘atoarele
cerint, e?
228 au 4 elemente, ˆıl cont, in pe 2 s, i nu ˆıl cont, in pe 3:
A C3
6 B C3
7 C C3
8 D C4
6 E alt r˘aspuns
229 cel mai mic element al fiec˘arei submult, imi este 1:
A C3
6 B C3
7 C C3
8 D 28 − 1 E alt r˘aspuns
Fie mult, imea A = {1, 2, . . . , 8}. ˆIn cˆate moduri se poate scrie A ca reuniune a dou˘a
mult, imi disjuncte s, i:
230 nevide?
A 28 − 1 B C2
8 C 27 − 1 D (C2
8
)2 E 28 − 2
231 avˆand num˘ar egal de elemente?
A C3
7 B C4
8 C (C4
8
)2 D 24 E 25
Fie mult, imea A = {1, 2, . . . , 8}. Cˆate dintre submult, imile lui A satisfac urm˘atoarele
cerint, e?
232 nu cont, in numere pare:
A 15 B 16 C 32 D 127 E 128
233 cont, in cel put, in un num˘ar impar:
A 127 B 128 C 129 D 240 E 255
234 cont, in atˆat numere pare cˆat s, i impare:
A 225 B 235 C 245 D 255 E alt r˘aspuns
Un num˘ar de 8 bile numerotate de la 1 la 8 se distribuie ˆın 4 cutii etichetate A, B, C,
D. ˆIn cˆate moduri se poate face distribuirea dac˘a se admit cutii goale s, i:
235 se distribuie toate bilele?
A 212 B 215 C 216 D 58 E C4
8
236 nu este obligatoriu s˘a se distribuie toate bilele?
A 212 B 215 C 216 D 58 E C4
8
— 30 —

Subiect și barem · pagina 37

1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Se consider˘a un zar obis, nuit (un cub cu fet, ele numerotate de la 1 la 6) cu care se arunc˘a
de dou˘a ori.
237 Probabilitatea de a obt, ine aceeas, i valoare ˆın ambele arunc˘ari este:
A 1
6 B 1
36 C 1
21 D 2
7 E 5
36
238 Probabilitatea ca valoarea de la a doua aruncare s˘a fie mai mare decˆat cea de la prima
aruncare este:
A 5
6 B 5
12 C 5
18 D 5
36 E 5
72
239 Dac˘a s, tim c˘a la a doua aruncare s-a obt, inut un num˘ar mai mare decˆat cel de la prima
aruncare, atunci probabilitatea ca la prima aruncare s˘a fi obt, inut 3 este:
A 1
3 B 1
4 C 1
5 D 1
6 E 1
12
— 31 —

Subiect și barem · pagina 38

∗ ∗ ∗

Subiect și barem · pagina 39

2
Analiz˘a matematic˘a
240
lim
n→∞
( 1
n2 + 2
n2 + · · · + n
n2
)
este:
A 1
2 B 4 C 1 D ∞ E 0
241
lim
n→∞
(
1 + sin x
2n
)2n
este:
A e B 2
x C ex D e−x E 1
e
242
lim
n→∞
n
ln n ( n
√n − 1) este:
A 1 B e C ∞ D 0 E 1
e
243
Limita s, irului
{√n2 + n + 1
}
, n = 1, 2, . . ., unde {x} este partea fract, ionar˘a a
num˘arului real x, este:
A 0 B 1
2 C 1 D nu exist˘a E 1
3
244
Se d˘a s, irul cu termeni pozitivi (an)n≥0 prin relat, iile:
a0 = 2; a1 = 16; a2
n+1 = anan−1, ∀n ≥ 1. Limita s, irului (an)n≥0 este:
A 1 B 2 C 4 D 8 E ∞
33

Subiect și barem · pagina 40

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
245
Fie a ∈ R, a > 0 un num˘ar fixat. Se consider˘a s, irurile (xn)n∈N∗ , (bn)n∈N∗ definite prin
xn+1 = a 1
(n+1)! · x
1
n+1
n , n ≥ 1, x1 = 1, bn = n∏
k=1
xk.
Limita lim
n→∞ bn este:
A √a B a C a2 D ∞ E 0
Se consider˘a s, irul (xn)n≥0 definit prin xn+1 = xn + 2
xn
, x0 = 1.
246 Limita s, irului (xn)n≥0 este:
A 0 B 1 C e D ∞ E nu exist˘a
247 lim
n→∞
xn
√n este egal˘a cu:
A 1 B 2 C 3 D π E ∞
248
Valoarea limitei lim
n→∞
3n+(−1)n
3n−(−1)n este:
A 3 B 0 C ∞ D 1 E nu exist˘a, conform teoremei Stolz-Cesaro
249
lim
n→∞
3
√n3 + 2n2 + 1 − 3
√n3 − 1 este:
A 0 B 1
2 C 2
3 D 1 E 4
3
250
lim
n→∞
( n2 − 3n + 1
n2 + 1
) n2+n+1
n+1
este:
A e6 B e−1 C e−3 D e−2 E e9
251
lim
n→∞
ln(1 + e2n)
ln(1 + e3n) este:
A 1 B 1
3 C 2 D 2
3 E ln 2
252
lim
n→∞
( n2 + 1
n + 1
) n+1
n2+1
este:
A 0 B 1 C 2 D e E ∞
253
Limita lim
n→∞
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − · · · − 2n
3n + 1 este:
A 1
3 B −2 C ∞ D 2
3 E − 1
3
— 34 —

Subiect și barem · pagina 41

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
254
lim
n→∞
n∏
k=1
(k + 1)2
k(k + 2) este:
A 5 B 4 C 1 D 2 E 3
255
lim
n→∞
n∑
k=1
1
(k + 1)√k + k√k + 1 este:
A 1 B 1
√2 C 1
1 + √2 D ∞ E nu exist˘a
256
lim
n→∞
n∑
k=1
2k−1
(1 + 2k)(1 + 2k+1) este:
A − 1
3 B − 1
2 C 1
3 D 1
6 E 1
2
257
lim
n→∞
n∑
k=1
2k + 1
k2(k + 1)2 este:
A 0 B 1
3 C 2
3 D 1 E 4
3
258
lim
n→∞
n∑
k=1
1
akak+1
, unde (ak), k ∈ N∗, a1 > 0, formeaz˘a o progresie aritmetic˘a cu rat, ia
r > 0, este:
A ∞ B 1
a1r C 1 D a1 E 0
259
Fie Sn =
n∑
k=2
k2 − 2
k! , n ≥ 2. Aleget, i afirmat, ia corect˘a:
A Sn < 3 B Sn > 3 C Sn = e D Sn < 0 E Sn = e − 1
2
260
Fie n ∈ N∗ s, i fie Sn = n∑
k=1
k! · (k2 + 1). Atunci Sn este:
A (n + 1)! · n B 2 · n! · n C (n + 1)! D (n + 1)! − n! + 1 E (n + 1)! + n! − 1
261
lim
n→∞
n∑
k=1
1
4k2 − 1 este:
A 1
4 B 1
2 C 0 D −1 E nu exist˘a
— 35 —

Subiect și barem · pagina 42

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
262
lim
n→∞
n∑
k=1
6
k(k + 1)(k + 3) este:
A 2
3 B 1
3 C 7
6 D 1 E 3
2
263
Limita s, irului (xn)n≥0, xn = cos
(
π√4n2 + n + 1
)
, este:
A
√2
2 B 1
2 C 0 D nu exist˘a E 1.
Se consider˘a s, irul (an)n≥1, unde a1 = 2, an+1 = n2 − 1
an
+ 2, n ≥ 1.
264 a2 este:
A 1 B 2 C 3 D 4 E 5
265 lim
n→∞
an
n este:
A 1 B 0 C ∞ D 2 E 3
266
lim
n→∞
nn
enn! este:
A 0 B 1 C e D √e E ∞
267
Fie p ∈ N \ {0, 1}, q > 0. Se cere valoarea limitei:
lim
n→∞
qn + 1
qn
qn + p + 1
qn + p . . . qn + np + 1
qn + np .
A p
√ p
q B p
√ p+q
q C p
√ q
p+q D p p
√ p
q E p2 p
√ p
q
268
Fie x0 un ˆıntreg pozitiv. Se defines, te s, irul (xn)n≥0 prin
xn+1 =



xn
2 , dac˘a xn este par,
1 + xn
2 , dac˘a xn este impar, n = 0, 1, . . .
Limita s, irului (xn)n≥0 este:
A 0 B 1 C ∞ D e E Nu exist˘a pentru unele valori ale lui x0
269
lim
n→∞
a + √a + 3
√a + · · · + n
√a − n
ln n , a > 0, este:
A 0 B ln a C ∞ D e E a
— 36 —

Subiect și barem · pagina 43

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
270
lim
n→∞
n∑
k=1
( 1
2k + 1
3k
)
este:
A 1 B 7
2 C 8
3 D 3
2 E 0
271
lim
n→∞
n∑
k=0
Ck
n
(2n)k este:
A 0 B 1 C e 1
2 D e2 E ∞
272
Fie pn =
n∏
k=1
cos(2k−1x), x 6 = kπ. Atunci lim
n→∞ pn este:
A 1 B cos x
x C 0 D sin x
x E nu exist˘a
273 lim
n→∞
n∑
k=0
Ck
n
n2n + k este:
A 0 B 1 C 1
2 D 2 E ∞
274 lim
n→∞
n∑
k=0
kCk
n
n2n + k este:
A 0 B 1 C 1
2 D 2 E ∞
275
lim
n→∞
(
1 + cos nπ
n
)n
este:
A ∞ B 0 C 1 D e E nu exist˘a
276
lim
n→∞
1 + xn(x2 + 4)
x(xn + 1) , x > 0 este:
A 1
x B ∞ C x D x2+4
x E alt r˘aspuns
277
lim
n→∞
n∑
k=1
arcsin k
n2 este:
A 0 B 1 C ∞ D 1
2 E 2π
— 37 —

Subiect și barem · pagina 44

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
278
Se consider˘a s, irul (xn)n≥2, xn = n
√
√
√
√1 +
n∑
k=2
(k − 1)(k − 1)!.
Limita lim
n→∞
xn
n este:
A ∞ B 1
e C 0 D 1 E e
279
Fie x ∈ R. Not˘am cu bxc partea ˆıntreag˘a a num˘arului real x. Limita s, irului
xn = bxc + b32xc + · · · + b(2n − 1)2xc
n3 , n ≥ 1,
este:
A x
2 B 1 C 0 D 3x
4 E 4x
3
280
lim
n→∞
1
n ln
(
a n
1 + a n
2 + · · · + a n
n
)
, unde a ∈ (1, ∞), este:
A 1 − ln a B 1 + ln a C 2 + ln a D − ln a E ln a
Se consider˘a s, irul (xn)n≥0, definit prin relat, ia de recurent, ˘a xn+1 = exn − 1, x0 ∈ R.
281 Num˘arul valorilor lui x0 pentru care s, irul este constant este:
A 0 B 1 C 2 D 5 E 10
282 S, irul este cresc˘ator dac˘a s, i numai dac˘a x0 apart, ine mult, imii:
A (−∞, 0) B [0, ∞) C (−∞, 0] D (0, ∞) E R
283 Dac˘a x0 > 0, lim
n→∞ xn este:
A ∞ B 0 C nu exist˘a D 1 E 2e
284 S, irul este convergent dac˘a s, i numai dac˘a x0 apart, ine mult, imii:
A ∅ B {0} C (−∞, 0] D (−∞, 0) E (0, ∞)
285 Pentru x0 = −1, lim
n→∞ nxn este:
A −2 B −1 C 0 D 1 E nu exist˘a
— 38 —

Subiect și barem · pagina 45

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Se consider˘a s, irul (xn)n≥1 definit prin relat, ia de recurent, ˘a xn+1 = x2
n − xn + 1, x1 ∈ R.
286 Dac˘a x100 = 1, atunci x2 este:
A 1 B 0 C −1 D 2 E 1
2
287 S, irul este convergent dac˘a s, i numai dac˘a x1 apart, ine mult, imii:
A [0, 1] B (0, 1) C {0, 1} D {1} E [−1, 1]
288 Dac˘a x1 = 2, atunci lim
n→∞
x1x2 · · · xn
xn+1
este:
A 0 B 1 C 2 D +∞ E nu exist˘a
289 Dac˘a x1 = 2, atunci lim
n→∞
( 1
x1 + 1
x2 + · · · + 1
xn
)
este:
A 1 B 2 C √2 D e E +∞
290
S, irul (xn)n≥0, definit prin relat, ia de recurent, ˘a xn+1 = 2xn
2 , x0 ∈ R, are limita 2,
dac˘a s, i numai dac˘a x0 apart, ine mult, imii:
A {2} B [−2, 2] C (−∞, 2] D [2, 4) E alt r˘aspuns
Valorile limitelor urm˘atoare sunt:
291 lim
n→∞
n
√2
A 1 B 0 C 1
2 D 2 E ∞
292 lim
n→∞(2 − n
√2)n
A 1
2 B 0 C 1 D 2 E ∞
293 lim
n→∞(2 − √2)(2 − 3
√2) · · · (2 − n
√2)
A 0 B 1 C 2 D √2 E e
294
Fie (an)n≥1 un s, ir de numere reale, astfel ca s, irul
1 + 1
2 + · · · + 1
n − an ln n,
n ≥ 1, s˘a fie m˘arginit. Limita s, irului (an)n≥1 este:
A e B 0 C ∞ D 1 E 1
e
— 39 —

Subiect și barem · pagina 46

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
295
Fie a ∈ R astfel ˆıncˆat s, irul (xn)n≥1,
xn =
(
1 + 1
3 + 1
5 + · · · + 1
2n − 1
)
− a
(
1 + 1
2 + 1
3 + · · · + 1
n
)
,
s˘a fie m˘arginit. Limita lui este:
A 0 B ln 2 C 2 D − ln 2 E 1
2
296
Fie γ = lim
n→∞
(1 + 1
2 + · · · + 1
n − ln n) constanta lui Euler.
Limita lim
n→∞
√n
(
e1+ 1
3 +···+ 1
2n−1 − 2 e 1
2 + 1
4 +···+ 1
2n
)
este:
A − 1
2 e γ
2 B eγ C − γ
2 D − γ
4 E e γ
2
297
Limita s, irului n
√(√2
)n
+
( 3
√3
)n
+ · · · +
( n
√n)n
, n = 2, 3, . . . , este:
A 1 B √2 C 3
√3 D 5
√5 E e1/e
298
lim
n→∞
ln 2
2 + ln 3
3 + · · · + ln n
n
ln2 n este:
A 1 B 0 C 1
2 D 2 E nu exist˘a
299
S, irul an = 19 + 29 + · · · + n9 − a n10, a ∈ R, este convergent dac˘a:
A a = 9 B a = 10 C a = 1/9 D a = 1/10
E nu exist˘a un astfel de a
300
Fie s, irul (xn)n≥1, xn = ac + (a + ab)c2 + · · · + (a + ab + · · · + abn)cn+1.
Atunci, pentru orice a, b, c ∈ R cu propriet˘at, ile |c| < 1, b 6 = 1 s, i |bc| < 1, avem:
A (xn) nu este convergent B lim
n→∞ xn = 0 C lim
n→∞ xn = 1
D lim
n→∞ xn = a+bc
(1−ab)c E lim
n→∞ xn = ac
(1−bc)(1−c)
301
Pentru num˘arul natural n ≥ 1, not˘am cu xn cel mai mare num˘ar natural p pentru care
este adev˘arat˘a inegalitatea 3p ≤ 2008 · 2n. Atunci lim
n→∞
xn
n este:
A 0 B 1 C log3 2 D 2008 E Limita nu exist˘a
— 40 —

Subiect și barem · pagina 47

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Fie 0 < b < a s, i (xn)n∈N unde x0 = 1, x1 = a + b,
xn+2 = (a + b)xn+1 − ab xn, n ∈ N.
302 Dac˘a 0 < b < a s, i l = lim
n→∞
xn+1
xn atunci
A l = a B l = b C l = a
b D l = b
a E nu se poate calcula
303 Dac˘a 0 < b < a < 1 s, i L = lim
n→∞
n∑
k=0
xk atunci:
A L = 1 B L = 1
(1−a)(1−b) C L = 2−a−b
(1−a)(1−b) D L = a+b
(1−a)(1−b) E L = a+b−1
(1−a)(1−b)
304
Mult, imea tuturor valorilor lui a pentru care s, irul (xn)n≥0 definit prin recurent, a
x0 = a, xn+1 = x2
n − 4xn + 6, este convergent este:
A {1} B [−1, 2] C {0} D (0, 1) E [1, 3]
305
lim
n→∞
( (p + n)!
n!np
)n
, p ∈ N este:
A ∞ B 0 C e D e1/6 E e p(p+1)
2
306
Cˆate s, iruri convergente de numere reale (xn)n≥1 verific˘a relat, ia
10∑
k=1
x2
n+k = 10,
pentru orice n ∈ N?
A 1 B 10 C 0 D o infinitate E 2
307
S, irul (xn)n≥1, xn = 1 + 1
22 + · · · + 1
n2 are limita π2
6 . S˘a se calculeze limita s, irului (yn)n≥1,
yn = 1 + 1
32 + · · · + 1
(2n−1)2 .
A π2
8 B π2
3 C π2
16 D π
3 E π2
12
308
Fie xn solut, ia ecuat, iei tg x = x din intervalul (nπ, nπ + π
2
), n ∈ N. Valoarea limitei
lim
n→∞ n
(
nπ + π
2 − xn
)
este:
A 1 B 0 C 1
π D π
2 E π
4
— 41 —

Subiect și barem · pagina 48

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
309
Mult, imea valorilor funct, iei f : (0, ∞) → R, f (x) = x 1
x este:
A
[
−1, e 1
e
]
B R C [0, 1] D (0, 1
e
) ∪ [1, e] E
(
0, e 1
e
]
310
lim
x→1
xx − xx2
(1 − x)2 este:
A e B −1 C 1 D −e E 0
311
lim
x→+0 ((1 + x)x − 1)x este:
A 0 B 1 C e D ∞ E nu exist˘a
312
lim
x→0
x −
de n ori sin
︷ ︸︸ ︷
sin(sin(· · · (sin x) · · · ))
x3
A 0 B n/2 C n/3 D n/4 E alt r˘aspuns
313
lim
x→0
(1 + ax) 1
x − (1 + x) a
x
x , a ∈ R.
A a(1−a)
2 B a(1 − a) C 0 D a e E a(1−a)
2 ea
314
lim
x→∞
arcsin(sin x)
x
A 0 B 1 C ∞ D −∞ E nu exist˘a
315
lim
x→0 x
⌊ 1
x
⌋
este:
A 0 B ∞ C nu exist˘a D −1 E 1
316
lim
x→1
sin (ax2 + bx + c)
x2 − 1 , unde a, b, c ∈ R astfel ˆıncˆat a + b + c = π, este:
A a + b B π − a − b C 2a + b D − 2a+b
2 E 2(a + b)
317
lim
x→∞
x − sin x
x + sin x este:
A 0 B 1 C nu exist˘a D 1
2 E ∞
— 42 —

Subiect și barem · pagina 49

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
318
lim
x→0
√x + 4 − 2
3
√x + 8 − 2
A 3 B 1
3 C 2
3 D nu exist˘a E 0
319
lim
x→0
m∑
k=1
arctg k2x
m∑
k=1
ln(1 + k3x)
A m(m+1)
m+2 B 2
3
2m+1
m(m+1) C (m+1)(2m+1)
2m2 D 0 E π
2e
320
lim
x→0
ax
1 a2x
2 · · · anx
n − 1
x , a1, a2, . . . , an > 0, este:
A ln(a1a2 · · · an) B ln a1 + ln a2 + · · · + ln an C ln(a1a2
2 · · · an
n) D ea1+2a2+···+nan
E ea1+a2+···+an
321
lim
x→∞
(
2x + √x2 − 1
)n
+
(
2x − √x2 − 1
)n
xn
A 2n B 2n − 3n C 1 D 3n + 1 E 0
322
lim
x→∞
(
x − x2 ln
(
1 + 1
x
))
A ∞ B −∞ C 0 D 1 E 1
2
323
lim
x→∞
(
x − √x2 + x + 1
)
A −1 B 0 C 1
2 D − 1
2 E 1
324
lim
x→0 xe− 1
x
A 0 B e C −∞ D nu exist˘a E 1
325
lim
x→∞
(
x
(
1 + 1
x
)x
− ex
)
A − e
2 B e C 0 D ∞ E 2e
326
lim
x→2 (5 − 2x)tg πx
4 este:
A e 2
π B e π
4 C e 4
π D e π
2 E e 8
π
— 43 —

Subiect și barem · pagina 50

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Valoarea limitelor:
327 lim
x→0
sin xn − sinn x
xn+2 , n ∈ N, n ≥ 2;
A ∞ B 0 C − n
6 D n
6 E 1
328 lim
x→0
( 1
sin x − 1
ex − 1
)
.
A e B 1
2 C e
2 D − 1
2 E 0
329
lim
x→0
tg(sin x) − x
x3
A 1/3 B 1/6 C ∞ D −1 E π/2
330
lim
x→0
( ax + bx + cx
3
) 1
x
, a, b, c > 0,
A 3
√abc B nu exist˘a C ln abc D a+b+c
3 E 1
331
lim
x→0
(
(1 + x) 1
x
e
) 1
x
A 1 B 0 C e D √e E 1√e
332
lim
x→0
( cos x
cos 2x
) 1
x2
A 1 B e2 C e 3
2 D e 1
2 E e3
333
lim
x→0
( tg x
x
) 1
sin2 x
A 3
√2 B 3
√e C e D e−1 E e 3
2
334
lim
x→∞
(
x − √x2 + x + 1 ln(ex + x)
x
)
este:
A 0 B 1 C −1 D − 1
2 E ∞
335
lim
x→0(ax + x) 1
sin x , a > 0, este:
A ae B eln a C a D 1 E ea
— 44 —

Subiect și barem · pagina 51

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
336
lim
x→0
x>0
(x2) 1
ln x
A 0 B e2 C 1 D 2 E nu exist˘a
337
lim
n→∞ n2 ·
(
e 1
n+1 − e 1
n
)
:
A -1 B 1 C −∞ D Limita nu exist˘a E e
338
lim
n→∞
(
lim
x→0
(1 + tg2(x) + tg2(2x) + · · · + tg2(nx)) 1
n3x2
)
este:
A e 1
3 B e3 C 1
e D 1 E ∞
339
Dac˘a |a| > 1, atunci limita lim
n→∞
1
1 + an are valoarea:
A 0 B 1 C 2 D ∞ E limita nu exist˘a, pentru a < −1
340
Pentru ce valori ale parametrilor reali a s, i b avem
lim
x→∞
(√x2 + x + 1 + √x2 + 2x + 2 − ax − b
)
= 0?
A a = b = 1 B a = b = −1 C a = 2, b = 1 D a = 1, b = 2 E a = 2, b = 3
2
Se consider˘a funct, ia f : D → R, f (x) = arcsin
(
x − √1 − x2
)
, unde D este domeniul
maxim de definit, ie.
341 Mult, imea punctelor de continuitate ale funct, iei este:
A [−1, 1] B (−1, 1) C (0, 1) D [0, 1] E alt r˘aspuns
342 Mult, imea punctelor de derivabilitate ale funct, iei este:
A [−1, 1] B [0, 1] C [0, 1) D (0, 1) E alt r˘aspuns
343 Mult, imea punctelor ˆın care funct, ia are derivat˘a este:
A [−1, 1] B [0, 1] C [0, 1) D (0, 1] E alt r˘aspuns
— 45 —

Subiect și barem · pagina 52

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Fie f : R → R o funct, ie continu˘a. Ce concluzie se poate trage asupra funct, iei f dac˘a:
344 lim
x→−∞ f (x) = −∞ s, i lim
x→+∞ f (x) = +∞.
A f este strict cresc˘atoare B f este injectiv˘a C f este surjectiv˘a
D f este inversabil˘a E f nu este injectiv˘a
345 lim
x→−∞ f (x) = lim
x→+∞ f (x) = +∞.
A f este descresc˘atoare B f este injectiv˘a C f este surjectiv˘a
D f este inversabil˘a E f nu este injectiv˘a
346 f este injectiv˘a.
A f este surjectiv˘a B f este strict monoton˘a C f are cel put, in dou˘a zerouri
D f este inversabil˘a E f este o funct, ie impar˘a
347
lim
x→∞
(ex + x)n+1 − e(n+1)x
xenx , n > 0, este:
A 1 B n + 1 C 0 D ∞ E e
348
Funct, ia f definit˘a prin f (x) = lim
n→∞
x2enx + x
enx + 1
A este definit˘a numai pentru x ≤ 0 B este definit˘a s, i continu˘a pe R
C este definit˘a s, i derivabil˘a pe R D este definit˘a pe R dar nu este continu˘a pe R
E este definit˘a numai pentru x = 0
349
Fie funct, ia f : R r {−1} → R, f (x) = lim
n→∞
xn + x
x2n + 1 .
Care din afirmat, iile de mai jos sunt adev˘arate?
A f nu e bine definit˘a pe (−∞, −1) c˘aci limita nu exist˘a. B f este continu˘a ˆın 1.
C singurul punct de discontinuitate este x = 1. D f are limit˘a ˆın x = −1.
E f continu˘a pe (−∞, 1).
350
Mult, imea punctelor de continuitate ale funct, iei f : R → R,
f (x) = lim
n→∞
1 + x2n
1 + x + x2 + · · · + x2n
este:
A R B R \ {−1, 1} C R∗ D R \ {−1, 0, 1} E R \ {−1}
351
Ecuat, ia x2 + 1 = me− 1
x , unde m este un parametru real, are trei solut, ii reale s, i distincte
dac˘a:
A m = −1 B m = 2e C m = π D m = 3√2 E m = 7
— 46 —

Subiect și barem · pagina 53

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
352
Ecuat, ia m e 2
x−1 = x, m ∈ R, are dou˘a r˘ad˘acini reale s, i distincte dac˘a s, i numai dac˘a m
apart, ine mult, imii:
A (0, ∞) B (1, ∞) C (−∞, 1) D (0, 1) E (−1, 1)
353
Fie funct, ia f (x) = |x3 − 1|
ax2 + bx . Valorile numerelor reale a s, i b pentru care dreapta y = x+4
este asimptot˘a la ∞ sunt:
A a = 4; b = 1 B a = 1; b = −4 C a = −4; b = 1 D a = 1; b = 4
E a = −1; b = −4
Fie funct, ia f : R → R, f (x) = (x + 1)3
x2 − x + 1 .
354 Ecuat, ia tangentei la graficul funct, iei f ˆın punctul ˆın care graficul funct, iei intersecteaz˘a
axa Oy este:
A y − 2x + 1 = 0 B 2y − 2x + 1 = 0 C y − 4x − 1 = 0 D 4y − x + 1 = 0
E 4y − 4x + 1 = 0
355 Ecuat, ia normalei la graficul funct, iei f ˆın punctul ˆın care graficul funct, iei intersecteaz˘a
axa Oy este:
A 2y − 2x + 1 = 0 B 1
4 y − 2x + 1 = 0 C y − x + 1 = 0 D y + 1
4 x − 1 = 0
E 4y − x + 1 = 0
356
Funct, ia f (x) = 1
1 − e 1
x
, x ∈ (0, ∞), admite asimptota oblic˘a de ecuat, ie:
A y = −x − 1 B y = −x + 1
2 C y = −x + 1 D y = −x E y = x
357
Fie f : D → R, f (x) = x2 + bx + 2
x2 + 2x + c , D-domeniul maxim de definit, ie al lui f. Mult, imea
tuturor valorilor (b, c) ∈ R2 pentru care funct, ia f are o singur˘a asimptot˘a vertical˘a s, i
graficul lui f nu intersecteaz˘a asimptota orizontal˘a este:
A {(b, c) ∈ R2|b 6 = 0, c = 1} B {(b, c) ∈ R2|c = 1}
C {(b, c) ∈ R2|b = 3, c = 1} D {(b, c) ∈ R2|c = 1, b = 2 sau c = 1, b = 3}
E nici unul din r˘aspunsurile anterioare nu e corect
358
Graficul funct, iei f : R r { 3
2
} → R, f (x) =
√x2 + 1
2x − 3 admite:
A o asimptot˘a vertical˘a s, i una orizontal˘a B o asimptot˘a vertical˘a s, i una oblic˘a
C o asimptot˘a orizontal˘a s, i una oblic˘a D o asimptot˘a vertical˘a s, i dou˘a oblice
E o asimptot˘a vertical˘a s, i dou˘a orizontale
— 47 —

Subiect și barem · pagina 54

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Fie f : [0, ∞) \ {1, 2} → R, f (x) = mx−3
x2−3x+2 , unde m este un parametru real.
359 Num˘arul asimptotelor funct, iei f este:
A 1 B 2 C 3 D 4
E num˘arul asimptotelor depinde de m.
360 Num˘arul valorilor ˆıntregi ale parametrului m pentru care f are trei puncte de extrem
este:
A infinit B 4 C 3 D 2 E 1
361
Valorile lui m ∈ R astfel ˆıncˆat lim
x→−∞
√(m − 1)2x2 + 1
3x + 2 = −1 sunt:
A −2, 4 B −1, 3 C 2, 3 D −1, 4 E −2, 2
362
Funct, ia f : D → R, f (x) = x − a
x2 − b , a, b ∈ R, are pe domeniul maxim de definit, ie dou˘a
asimptote verticale dac˘a s, i numai dac˘a:
A a = b = 0 B a = 1, b = −1 C a = b = 1 D a = 2, b = 1 E b > 0, a2 6 = b
363
Abscisele punctelor ˆın care graficele funct, iilor f, g : R → R,
f (x) = x6 s, i g(x) = 2x5 − 2x − 1
sunt tangente sunt:
A 1±√2
2 B 1±√3
2 C 1±√5
2 D nu exist˘a E 0
364
Egalitatea
arctg a + arctg b = arctg a + b
1 − ab
are loc dac˘a s, i numai dac˘a numerele reale a s, i b satisfac condit, ia:
A ab > 1 B ab < 1 C ab 6 = 1 D ab > 0 E b = 0, a ∈ R
365
Num˘arul de valori ale parametrului real a ∈ [0, 1] pentru care funct, ia f : [0, 1] → R,
f (x) = x2 − |x − a|, este convex˘a pe [0, 1] este:
A 0 B 1 C 2 D 4 E infinit
366
Fie Q(x) cˆatul ˆımp˘art, irii polinomului P (x) = 99(x101 − 1) − 101 x(x99 − 1) la (x − 1)3.
Valoarea Q(1) este:
A 9999 B 18000 C 5050 D 3333 E alt r˘aspuns
— 48 —

Subiect și barem · pagina 55

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
367
Funct, ia f : R → R este derivabil˘a s, i sunt verificate condit, iile:
f (0) = 2, f ′(x) = 3 f (x), ∀x ∈ R. Valoarea f (ln 2) este:
A 2 B 4 C 6 D 16 E 32
368
Care dintre urm˘atoarele afirmat, ii este adev˘arat˘a pentru orice funct, ie f : R \ {0} → R
care are derivat˘a strict pozitiv˘a?
A f este cresc˘atoare pe R \ {0} B f este cresc˘atoare pe (0, ∞)
C f este descresc˘atoare D f este m˘arginit˘a E f este convex˘a
369
O funct, ie polinomial˘a neconstant˘a P : R → R, este strict cresc˘atoare dac˘a s, i numai dac˘a:
A P ′(x) ≥ 0, ∀x ∈ R B P ′(x) > 0, ∀x ∈ R C P ′(x) ≤ 0, ∀x ∈ R
D P ′′(x) ≥ 0, ∀x ∈ R E P ′′(x) > 0, ∀x ∈ R
Se consider˘a funct, ia f : [−2, 1] → M , M ⊂ R, f (x) = ∣
∣x3 + x2∣
∣.
370 Num˘arul punctelor de extrem ale funct, iei f este:
A 5 B 3 C 2 D 1 E 4
371 f este surjectiv˘a pentru M egal cu:
A [0, 4] B [0, ∞) C [0, 2] D [0, 27] E R
Fie f : R → R, f (x) = x(x + 1)(x + 2) · · · (x + 2019) s, i fie g = f ◦ f ◦ f .
372 f ′(0) este:
A 2019! B 0 C 2018! D 2019! + 2018! E 2019! − 2018!
373 g′(0) este:
A 2019!3 B 20193 C 20192 D 2019!2 E 2019!
374
Num˘arul punctelor de extrem ale funct, iei f : R → R, f (x) = (x−1)(x−2)2(x−3)3(x−4)4
este:
A 9 B 7 C 5 D 3 E alt r˘aspuns
375
S˘a se studieze derivabilitatea funct, iei f : [1, ∞) → R, f (x) = √x + 3 − 4√x − 1.
A f derivabil˘a pe (2, ∞) B f are ˆın (5, 0) punct de ˆıntoarcere
C f are ˆın (5, 0) punct unghiular D f este derivabil˘a ˆın x = 5
E f este derivabil˘a numai pe (5, ∞)
— 49 —

Subiect și barem · pagina 56

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
376
Dac˘a f : R → R, f (x) = 5
√ 1
6 x3 − x + sin x, atunci f ′(0) este:
A 1/ 5
√120 B −1/ 5
√120 C ∞ D nu exist˘a E −∞
377
Fie f : R → R, f (x) =
{ x2 sin 1
x , x 6 = 0
0, x = 0 . Care din afirmat, iile urm˘atoare este
adev˘arat˘a?
A f nu e continu˘a ˆın 0 B f este derivabil˘a ˆın 0 C f nu are limit˘a ˆın 0
D ∃ lim
x→0 f ′(x) E f are limit˘a la +∞, egal˘a cu 1, s, i la −∞, egal˘a cu −1
378
Se consider˘a funct, ia f : D → R, f (x) = arctg√x2 − 1 + arcsin 1
x , unde D este domeniul
maxim de definit, ie al funct, iei f . Mult, imea valorilor funct, iei f este:
A (−∞, π
2
] B R C (− π
2 , ∞) D [− π
2 , π
2 ] E (−∞, − π
2
] ∪ [ π
2 , ∞)
Se consider˘a funct, ia f : D → R, f (x) = ln(1 + √|x| − x), unde D este domeniul maxim
de definit, ie.
379 lim
x→0
f (x)
√|x| este:
A 0 B 1 C −1 D e E ∞
380 f ′( 1
4 ) este:
A 0 B 1 C −1 D 1
2 E − 1
2
381 Num˘arul punctelor de extrem local ale funct, iei f este:
A 0 B 1 C 2 D 3 E 4
382
Valoarea lui a pentru care funct, ia f : R → R, f (x) = x|x − a|, este derivabil˘a pe R este:
A a = 1 B a = −1 C a = 0 D a = 2 E a = −2
383
Fie g s, i h dou˘a funct, ii derivabile pe R s, i f : R → R, f (x) = g(x)|h(x)|. Dac˘a h(x0) = 0,
atunci funct, ia f este derivabil˘a ˆın x0 dac˘a s, i numai dac˘a:
A h′(x0) = 0 B g(x0) > 0 C g(x0) = 0 D g(x0)h′(x0) = 0 E alt r˘aspuns
384
Funct, ia f : [0, 2] → R f (x) =
{ ax
x2 + b , 0 ≤ x ≤ 1
ln(x2 − 3x + 3) + 2x, 1 < x ≤ 2 , unde a, b ∈ R,
a > 0, este o funct, ie derivabil˘a pentru:
A a = 6, b = 2 B a = 8, b = 3 C a = 8, b = 30 D a = 10, b = 4 E a − 2b = 1
— 50 —

Subiect și barem · pagina 57

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
385
Derivata funct, iei f : R → R, f (x) = 6
√x2, ˆın punctul zero, este:
A ∞ B 0 C 1/3 D 1 E nu exist˘a
386
Fie f : R → R, f (x) = x3 + 2x. Valoarea lui (f −1)′
(3) este:
A 1 B −1 C 1
3 D −2 E 1
5
387
Fie funct, ia f : R \ {1} → R, f (x) = x2 + αx + β
x − 1 , unde α, β ∈ R. Valorile lui α s, i β
pentru care f admite un extrem ˆın punctul M (0, 1) sunt:
A α = 1, β = −1 B α = 0, β = 1 C α = β = 2 D α = 3, β = −1
E α = −1, β = 1
388
Se consider˘a funct, ia f : [−1, ∞) → R,
f (x) =
{ − ln(x2 + x + 1) ; −1 ≤ x ≤ 0√x|x2 − 4| ; x > 0 .
Not˘am cu α num˘arul punctelor de extrem, cu β num˘arul punctelor unghiulare s, i cu γ
num˘arul punctelor de ˆıntoarcere ale funct, iei f. Atunci:
A α = 5, β = 0, γ = 2 B α = 5, β = γ = 1 C α = 5, β = 2, γ = 0
D α − β = 4, β − γ = 1 E α = 4, β = 0, γ = 2
389
Fie f : R → R, f (x) = ln(1 + x2) − x. Care din urm˘atoarele afirmat, ii sunt adev˘arate?
A f e strict pozitiv˘a pe R B f e strict cresc˘atoare pe R
C f e strict negativ˘a pe R D f verific˘a inegalitatea f (x) > 0, ∀x ∈ (−∞, 0)
E f verific˘a inegalitatea f (x) > 0, ∀x ∈ (0, ∞)
390
Derivata de ordinul 100, (x99 ln x)(100), x > 0, este:
A 100!x B 100!
x C −100!x D 99!x E 99!
x
391
Fie f : R → R, f (x) = x3 + 2x2 + 4x + 4. Valoarea lui (f −1)′(4) este:
A 0 B 1 C 1
4 D 1
116 E 1
68
392
Dac˘a f : R → R este o funct, ie cu derivata de ordinul al doilea continu˘a astfel ˆıncˆat
f (2) = f ′(2) = f ′′(2) = 2, iar funct, ia g : R → R este definit˘a prin g(x) = f
(√x2 + 3
)
,
atunci:
A g(1) = g′(1) = 2 B g′(1) = √2 C g(1) + g′′(1) ∈ N D g′(1) = g′′(1) = 1
E g′(1) = 1, g′′(1) = 5
4
— 51 —

Subiect și barem · pagina 58

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Fie funct, ia f dat˘a prin f (x) = 2
x2−1
393 Mult, imea r˘ad˘acinilor derivatei de ordinul doi a funct, iei este:
A {0} B {−1; 0; 1} C ∅ D {0; 2} E {0; 1}
394 Mult, imea r˘ad˘acinilor derivatei de ordinul trei a funct, iei este:
A {0} B {−1; 0; 1} C ∅ D {0; 2} E {0; 1}
Fie f : (0, +∞) → R o funct, ie de dou˘a ori derivabil˘a astfel ˆıncˆat f ′′(x) = 1
x , ∀x > 0 s, i
f (1) = f ′(1) = 0.
395 f ′(x) are expresia:
A − 1
x2 B 1 − 1
x2 C 1
x2 − 1 D ln x E alt r˘aspuns
396 f (x) are expresia:
A 2
x3 B 2
x3 − 2 C x ln x − x D x ln x + x − 1 E alt r˘aspuns
397 Num˘arul solut, iilor reale ale ecuat, iei ln x = 1 − 1
x este:
A 0 B 1 C 2 D 3 E alt r˘aspuns
Se d˘a funct, ia f : R → R, f (x) = 2x4
+ 2x2−1.
398 Care este valoarea lui f (−1)?
A 1 B 2 C 3 D 4 E 5
399 Care este solut, ia inecuat, iei f (x) ≤ 3?
A ∅ B [−1, 1] C (−∞, −1] ∪ [1, ∞) D (−∞, −1] E alt r˘aspuns
400 Num˘arul punctelor de extrem local ale funct, iei f este:
A 0 B 1 C 2 D 3 E 4
— 52 —

Subiect și barem · pagina 59

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Se consider˘a funct, ia f : R → R, f (x) = x2e−x2
.
401 Suma p˘atratelor absciselor punctelor de inflexiune ale graficului funct, iei este egal˘a cu:
A 25 B 1 C 5 + √17 D 5 E 5 − √17
402 Aria m˘arginit˘a de graficul funct, iei f ′, dreptele x = −2, x = 1 s, i axa OX este egal˘a cu:
A 1
e − 4
e2 B 4
e2 − 1
e C 3
e − 4
e4 D 1 E alt r˘aspuns
403
Funct, ia f : (−1, ∞) → R, f (x) = αx2 + 1 − ln(1 + x), α ∈ R, are dou˘a puncte de extrem
local pentru:
A α = −2 B α = −1 C α ∈ (−2, −1) D α > 2 E α < −2
404
Se d˘a funct, ia f : R → R, f (x) = ex(x2 + 6x + m), unde m este un parametru real.
Funct, ia f admite puncte de extrem pentru:
A m ∈ (−∞, 10] B m ∈ (10, ∞) C m ∈ R D m ∈ (−∞, 10) E m ∈ [10, ∞)
405
Inegalitatea ax ≥ x + 1, a > 0, are loc pentru orice x ∈ R dac˘a s, i numai dac˘a:
A a = 1 B a = e C a > 1 D a > e E a < e
406
Dac˘a mult, imea solut, iilor ecuat, iei ax = x, cu a > 1, are un singur element, atunci:
A a = 1
e B a = e C a = e 1
e D a = ee E a = 1
ee
407
Mult, imea valorilor pozitive ale lui a pentru care ecuat, ia ax = x + 2, are dou˘a solut, ii reale
este:
A (1, ∞) B (0, 1) C ( 1
e , e) D ( 1
ee , ee) E (e 1
e , ∞)
408
Mult, imea valorilor pozitive ale lui a pentru care inegalitatea ax ≥ xa, are loc pentru
orice x > 0 este:
A {e} B (0, 1) C (1, ∞) D ( 1
e , 1) E (1, e)
409
Funct, ia f : R → R, f (x) = √x2 − 2x + 2 + √x2 + 2x + 2 are proprietatea:
A este cresc˘atoate pe R B este descresc˘atoare pe (−∞, 0] s, i cresc˘atoare pe [0, ∞)
C este impar˘a D lim
x→∞
f (x)
x = lim
x→−∞
f (x)
x = 2
E graficul funct, iei f intersecteaz˘a axa Ox ˆıntr-un punct.
— 53 —

Subiect și barem · pagina 60

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
410
S˘a se determine un punct P (x0, y0) pe curba a c˘arei ecuat, ie este y = (x − 2)√x, x > 0,
ˆın care tangenta s˘a fie paralel˘a cu dreapta de ecuat, ie 2y = 5x + 2.
A P (4, 4) B P (9, 21) C P (1, −1) D P (2, 0) E P (3, √3)
411
Ecuat, ia tangentei comune la graficele funct, iilor f, g : R∗ → R, f (x) = x2, g(x) = 1
x
este:
A y = −4x − 1 B y = −x − 4 C y = −2x − 4 D y = −4x − 4
E graficele nu admit tangent˘a comun˘a
412
Funct, iile f : R → R, f (x) = x + √x2 + a s, i g : R → R, g(x) = x2 + 1 sunt tangente (au
o tangent˘a comun˘a ˆıntr-un punct comun) dac˘a:
A a = 1 + e B a = 0 C a = 1 D a = e − π E a = −1
413
Ecuat, ia tangentei la graficul funct, iei f (x) = ln
√ 2x − 1
x + 1 ˆın punctul de abscis˘a x = 2
este:
A x − 7y − 2 = 0 B x − 6y − 2 = 0 C x − 5y − 2 = 0 D x − 4y − 2 = 0
E x − 3y − 2 = 0
414
Graficele funct, iilor f (x) = ax2 + bx + 2 s, i g(x) = x − 1
x au tangent˘a comun˘a ˆın punctul
de abscis˘a x0 = 1 dac˘a:
A a + b = −1 B a = 0, b = 1 C a = 1, b = −2 D a = 3, b = −5
E a = 3, b = −4
415
Tangenta la graficul funct, iei f (x) = (a sin x + b cos x)ex ˆın punctul (0, f (0)) este paralel˘a
cu prima bisectoare, dac˘a:
A a = b = 1 B a = 2, b = 1 C a − b = 1 D a + b = 1 E a2 + b2 = 1
416
Fie x1 cea mai mic˘a r˘ad˘acin˘a a ecuat, iei x2 − 2(m + 1)x + 3m + 1 = 0. Atunci lim
m→∞ x1
este:
A 1 B 3
2 C 0 D − 1
2 E −1
417
Mult, imea valorilor paramentrului real a pentru care ecuat, ia ax − ln |x| = 0 are trei
r˘ad˘acini reale distincte este:
A (−∞, 0) B (0, 1) C (−e−1, 0) ∪ (0, e−1) D (e−1, ∞) E ∅
— 54 —

Subiect și barem · pagina 61

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Fie funct, ia f : (−∞, −1) ⋃ (−1, 1) ⋃ (1, ∞) → R,
f (x) = 2 arctg x − arctg 2x
1 − x2 .
418 lim
x→∞ f (x) este:
A π B 0 C π
2 D −1 E ∞
419 Mult, imea valorilor funct, iei este:
A {−π, 0, π} B {0} C R D (−1, ∞) E (0, ∞)
420
Mult, imea valorilor lui x ∈ R pentru care este adev˘arat˘a egalitatea
2 arctg x + arcsin 2x
1 + x2 = π
este:
A (0, ∞) B (−∞, −1) ∪ [1, ∞) C [1, ∞) D [−1, 1] E [2, ∞)
Fie f (x) = 1
2 arcsin 2x
1+x2 + arctg |x|.
421 Domeniul maxim de definit, ie al funct, iei este :
A [−1, 1] B (−1, 1) C R D R∗ E (− π
2 , π
2 )
422 f (π) este:
A 1 B π
4 C π D
√2
2 E π
2
423 Funct, ia este strict descresc˘atoare dac˘a s, i numai dac˘a x este din:
A R B (−1, 0) C (0, 1) D (−∞, −1/5) E (−∞, −1]
424
Fie f : R → R∗ o funct, ie care admite primitive s, i verific˘a relat, iile cos f (x) = 1, ∀x ∈ R
s, i |f (π) − π| ≤ π. f (100) este:
A 16π B 8π C 4π D 2π E 0
425
O primitiv˘a a funct, iei f : (0, 1) → R, f (x) = 1
2√x − x2 , este:
A arccos √x B arcsin √x C arccos 1
x D arcsin 1√x E arctg √x
— 55 —

Subiect și barem · pagina 62

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
426
Mult, imea primitivelor funct, iei f : ( 3π
4 , 5π
4
) → R, f (x) = x
cos2 x , este:
A x ctg x + ln cos x + c B − x ctg x + ln cos x + c C x tg x + ln cos x + c
D −x tg x − ln(− cos x) + c E x tg x + ln(− cos x) + c
427
Mult, imea primitivelor funct, iei f :
(
− π
2 , π
2
)
→ R, f (x) = sin x
1 + sin x , este:
A x + tg x
2 + c B 1
1+tg x
2
+ c C x + 2 tg x
2 + c D 2
1+tg x
2
+ c E x + 2
1+tg x
2
+ c
428
O primitiv˘a a funct, iei f : (0, ∞) → R , f (x) = ex
√e2x − 1 este:
A arcsin ex B arccos ex C arctg x D ln
(
ex + √e2x − 1
)
E 2√e2x − 1
429
Mult, imea primitivelor funct, iei f : R → R , f (x) = 1
√ex + 1 este:
A ln
√ex+1−1√ex+1+1 + c B ln 1√ex+1+1 + c C 2√ex + 1 + c
D − ln (√e−x + 1 + e−x/2) + c E ln (√ex + 1 − ex) + c
430
Mult, imea primitivelor funct, iei f : (0, ∞) → R , f (x) = 1
x(x3 + 1) este:
A ln x − ln(x3 + 1) + c B ln x3
x3+1 + c C 1
3 ln x3
x3+1 + c
D ln x + arctg x + c E ln x ln(x + 1) + c
431
Mult, imea primitivelor funct, iei f : R → R , f (x) = ex (x2 − 2x + 1)
(x2 + 1)2 este:
A ex arctg x + c B ex (1 + x2)−1 + c C xex
x2+1 + c D x2ex
x2+1 + c E (x+1)ex
x2+1 + c
432
Mult, imea primitivelor funct, iei f : (−∞, −1) → R, f (x) = 1
x√x2 − 1 este:
A arccos 1
x + c B arcsin 1
x + c C − arctg √x2 − 1 + c D ln √x2 − 1 + c
E arctg 1
x + c
433
Mult, imea primitivelor funct, iei f : (0, ∞) → R,
f (x) = ex + cos x
ex + cos x + sin x ,
este:
A ln(ex + cos x + sin x) + c B x + ln(ex + cos x + sin x) + c
C x
2 + ln(ex + cos x + sin x) + c D 1
2 [x + ln(ex + cos x + sin x)] + c
E x
2 − 1
2 ln(ex + cos x + sin x) + c
— 56 —

Subiect și barem · pagina 63

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
434 0∫
−2
x
√ex + (x + 2)2 dx este:
A −1 B −2 C −e D 2 − e E alt r˘aspuns
435 1∫
0
x2 + 1
x4 + 1 dx
A 5π
6√2 B 7π
6√2 C 3π
4√2 D 4π
3√2 E π
2√2 ;
436
Funct, ia f : R → R, f (x) =
{ sin x
x , x 6 = 0
a, x = 0
are primitive dac˘a s, i numai dac˘a:
A a = 0 B a = 1 C a = −1 D a > 0 E a < 0
437
Fie F : R∗ → R astfel ca: F ′(x) = 1
x , pentru orice x ∈ R∗, F (−1) = 1 s, i F (1) = 0. Atunci
F (e) + F (−e) este:
A 0 B 1 C 2 D 3 E nu exist˘a o astfel de funct, ie F
Fie F o primitiv˘a a funct, iei f : R → R, f (x) = ex2
.
438 lim
x→0
xF (x)
ex2 este:
A 0 B 1 C 1
2 D ∞ E e
439 lim
x→∞
xF (x)
ex2 este:
A ∞ B 1 C 1
2 D 0 E e
440
Funct, ia F : R → R, este continu˘a ˆın 0 s, i derivabil˘a pe R∗ astfel ca
F ′(x) =
(
sin 1
x
)2
, x ∈ R∗.
Derivata F ′(0) este:
A 0 B ∞ C 1 D nu exist˘a E alt r˘aspuns
441
Integrala
∫ 1
0
√x
(x + 3)√x + 3 dx este:
A − 1
16 − ln 15
16 B ln 3 − 1 C ln 3
4 − 1 D − 1
4 + arctg 1
4 E 1
4
— 57 —

Subiect și barem · pagina 64

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
442
lim
x→∞
1
x
∫ x
0
dy
2 + cos y
A 0 B nu exist˘a C 1√3 D 1√2 E ∞
443 5∫
−5
(2x − 1) sgn x dx
A 0 B −50 C 10 D 15 E 50
444 2∫
0
2x3 − 6x2 + 9x − 5
(x2 − 2x + 5)n dx
A 1 B −1 C 0 D 2
n E n
2
445 ∫ 1
0
2
(1 + x2)2 dx
A π
4 + 1 B π + 1
2 C π
4 + 1
2 D π
4 + 3
2 E π + 1
4
446 ∫ 3
0
√x
√x + √3 − x dx este:
A 3
2 B 2
3 C 4
3 D 3
4 E 5
3
447 8∫
3
dx
x − 1 + √x + 1
A 2
3 ln 25
8 B ln 3 C 5 D √11 E 3 arctg √3 − 2
448 ∫ e
√e
ln x
x dx este:
A 3
8 B 3
4 C e
2 D 2
e E 1
8
449
Dac˘a funct, ia polinomial˘a P : R → R verific˘a egalit˘at, ile:
P (1) + · · · + P (n) = n5, n = 1, 2, . . ., atunci integrala
∫ 1
0
P (x) dx este:
A 1
2 B 1
3 C 1
4 D 1 E 0
— 58 —

Subiect și barem · pagina 65

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
450 π
4∫
0
x sin x
cos3 x dx
A 1
2 − π
2 B π
4 C π
4 − 1
2 D π
2 − 1 E π
8 − 2
451
S˘a se calculeze
∫ 2π
0
sin(mx) cos(nx) dx, unde m s, i n sunt dou˘a numere ˆıntregi.
A 0 B mπ C π D 1 E (n + m)π
452 1∫
0
ex
1 + e2x dx
A arctg e B π
2 C arctg e − π
4 D 0 E arctg e + π
453 1∫
−1
(1 + 2x2015)e−|x| dx
A 4014
e (e − 1) B 4016
e (e − 1) C ∞ D 2
e (e − 1) E 2006 − 2006
e
454 ∫ 2
−1
min{1, x, x2} dx
A 6
5 B 5
6 C 3
4 D 4
3 E 0
455
Integrala
∫ e
1
ln x dx este:
A 1 B 2 C 0 D e − 1 E e − 2
456
Integrala
∫ e
1
ln2 x dx este:
A 1 B 2 C 0 D e − 1 E e − 2
457
S˘a se calculeze
∫ π
4
0
tg3x dx.
A 1−ln 2
2 B 1
2 C 1
2 ln 2 D ln 2 E 1
458
Solut, ia ecuat, iei
∫ x
0
t et dt = 1 este:
A 1 B 2 C 0 D e − 1 E e − 2
— 59 —

Subiect și barem · pagina 66

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
459 2e∫
1
| ln x − 1| dx
A 2 ln 2 B 2(e ln 2 − 1) C e ln 2 D 1 E ln 2 − 1
460 √3∫
0
x arctg x dx
A π B 2 −
√3
2 C 2π
3 D 2π
3 −
√3
2 E π
3 − 2√3
461 e∫
1
1 + ln x
x dx
A 3
2 B 1
2 C 1 D 5
2 E 2
462
S˘a se calculeze
a∫
0
(a − x)n−1
(a + x)n+1 dx, unde a > 0, n ∈ N∗.
A 1
2na B n
2a C a
2n D 2an E 2a
n
463 1∫
−1
sin x ln(2 + x2) dx
A 0 B ln 2 C 1 D π
2 E ln 3
464 1∫
0
x ln(1 + x) dx este:
A 1
2 B 1
2 ln 2 C ln 2 D 1
4 E 1
4 ln 2
465
lim
a→1
∫ a
0
x ln(1 − x) dx, a ∈ (0, 1):
A 0 B − 1
4 C − 1
2 D − 3
4 E −1
466 π
2∫
0
dx
2 cos x + 3 este:
A 0 B 2√5 arctg 1√5 C arctg √5 D arctg 2√5 E 1√5
— 60 —

Subiect și barem · pagina 67

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
467 4π∫
0
dx
5 + 4 cos x este:
A 4π
3 B 0 C 4
5 π D 5
4 π E π
468
Integrala
∫ 1
n
1
n+2
⌊ 1
x
⌋
dx, n ∈ N∗ este:
A 2n+3
(n+1)(n+2) B 0 C 3n D 4n
5n+1 E 6n
469
Valoarea lui In =
n∫
1
dx
x + bxc este:
A ln 2n−1
2 B ln 3·5·····(2n−1)
2·4·····(2n−2) C ln 2 − ln(2n − 1) D 1
2 ln x E 1
2 ln n
470
Dac˘a n ∈ N∗, atunci valoarea integralei ∫ nπ
2
0 e−x cos 4x dx este:
A 1
17 (1 − e− nπ
2 ) B nπ C nπ
4 D 0 E e π
2
471
Valoarea expresiei ∫ π
4
0 sin2x dx + ∫ 1
2
0 arcsin √x dx este:
A π
8 B π
3 C π
5 D π
7 E π
2
472
Valoarea integralei ∫ π
4
0 1−sin 2x
1+sin 2x dx este:
A 1 − π
4 B π
4 C 1 D 0 E π
2
473
lim
n→∞
∫ n
1
n
1
x2+x+1 dx este:
A 2π
3√3 B 2π C 3√3 D 0 E 3
474
Fie n un num˘ar natural nenul. S˘a se calculeze
∫ 1
0
{nx}2 dx, unde {a} reprezint˘a partea
fract, ionar˘a a num˘arului a.
A 1 B 1
n C 1
3 D 1
2 E 1
4
— 61 —

Subiect și barem · pagina 68

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
475 Integrala
∫ π
4
0
(tgn+2 x + tgn x)dx, unde n > 0, este:
A 1
n+1 B 1
n C π/4 D n + π
4 E 1
476 Integrala
∫ π
4
0
(tg9 x + 5 tg7 x + 5 tg5 x + tg3 x)dx este:
A 24
25 B π
24 C 25
24 D π
25 E 1
477 Integrala
∫ π
4
0
( 1
cos4 x − 1
cos2 x
)
dx este:
A π
4 B π
3 C 1
2 D 1
3 E 1
478 ∫ 2π
0
cos2(nx) dx, unde n este un num˘ar natural nenul, este:
A 0 B π C π
2 D π
n E nπ
479
Dac˘a a ∈ N s, i L(a) = lim
n→∞
1
n
∫ 1
0
[neax] dx, atunci mult, imea solut, iilor inecuat, iei L(a) ≤ e
este:
A {0, 1} B {1, 2} C ∅ D {0} E N∗
480
Limita lim
n→∞
1
n3
2n∑
k=1
k2
8 arcsin k
2n este:
A 0 B π
3 C π
6 − 2
9 D −π
3 E 1
481 ∫ π
2
0
x cos2 x dx
A π2
4 B π2−4
16 C π2
4 − 1 D π
2 E alt rezultat
— 62 —

Subiect și barem · pagina 69

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Fie funct, ia f : R → R definit˘a prin f (a) =
∫ 1
0
|x − a| dx.
482 Valoarea f (2) este:
A − 5
2 B 0 C x2
2 − 1 D 1
2 E 3
2
483 Valoarea f ′(2) este:
A 1 B 0 C x D − 1
2 E 3
2
484 Valoarea minim˘a a funct, iei este:
A 0 B 1
4 C 1
6 D 1
2 E − 1
4
485 π∫
0
sin(2x)
sin4 x + cos4 x dx este:
A π
4 B 2 C 0 D π E 1
486 π
2∫
0
sin3 x dx
A 1 B 1
3 C 2 D 2
3 E 4
3
‘
487 π
2∫
0
| sin x − cos x| dx
A 1 B 2(√2 − 1) C 2√2 D 2 − √2 E 3
488 π∫
0
arcsin(sin x) dx
A π2
4 B 8π2 C 1 D 2π E π2
2
489 ∫ π
0
arcsin (cos3 x) dx
A π2
4 B 0 C 1 D π2
8 E π2
6
— 63 —

Subiect și barem · pagina 70

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Fie f : R → R, f (x) = sin2n x
cos2n x + sin2n x , unde n ∈ N∗ este fixat.
490 Funct, ia f este o funct, ie periodic˘a avˆand perioada principal˘a egal˘a cu:
A 2π B π
2 C π D π
4 E alt r˘aspuns
491 Funct, ia f + c, c ∈ R, are o primitiv˘a periodic˘a dac˘a s, i numai dac˘a c are valoarea:
A π B −1
2 C −π
4 D −π E 2π
492
lim
n→∞
∫ π/3
0
sinn x
sinn x + cosn x dx
A π
12 B π
8 C π
6 D 0 E ∞
493 2π∫
0
x sin100 x
sin100 x + cos100 x dx
A 0 B π2
4 C π2
2 D 2π E π2
494
Se consider˘a funct, iile: fn : (0, ∞) → R, fn(x) = 1
x(xn + 1) , n ∈ N∗ s, i fie Fn : (0, ∞) → R
primitiva funct, iei fn al c˘arei grafic trece prin punctul A(1, 0). Solut, ia inecuat, iei
| lim
n→∞ Fn(x)| ≤ 1 este:
A (0, e] B [ 1√e , e] C [ 1
e , e] D [ 1
e , ∞) E ∅
495
lim
x→∞
x∫
0
t2e−t dt
A 0 B ln 3 C 2 D 1 E ∞
496
lim
n→∞
1
n
n∫
1
x − 1
x + 1 dx
A 0 B 1 C 2 D e E ∞
497
Integrala
∫ 1
0
1
sin(a + x) sin(b + x) dx, 0 < a < b < 2, este:
A ln sin(a+1) sin b
sin a sin(b+1) B 1
sin(b−a) ln sin b
sin a C ln(ab)
sin(b−a) D sin(a+1)
sin(b+1) E alt r˘aspuns
— 64 —

Subiect și barem · pagina 71

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Fie In =
1∫
0
x2004 cos(n x) dx, n ∈ N.
498 Limita s, irului (In) este:
A 0 B 1 C 2 D cos 1 E nu exist˘a
499 Limita s, irului (n In)n≥0 este:
A 0 B 1 C 2 D cos 1 E nu exist˘a
S˘a se calculeze:
500
∫ 2
1
x3 − x − 2
x3ex dx;
A − 3
4e2 B 3
4e2 C 1
e D 1
e2 E − 1
2e2
Fie I =
∫ 1
0
x
1 + x + x2 + x3 dx s, i J =
∫ 1
0
1 + x + x2
1 + x + x2 + x3 dx. Atunci
501 I este:
A π
8 − ln 2
4 B π
8 + ln 2
4 C π
4 + ln 2
2 D π
4 − ln 2
2 E π
4 + ln 2
502 J este:
A π
8 + 3 ln 2
4 B π
8 − ln 2
4 C π
2 + 3 ln 2
2 D π
2 − 3 ln 2
2 E π
4 − ln 2
503
lim
n→∞ n3
∫ n+3
n
x3
x6 + 1 dx
A 0 B ∞ C 1 D 1
2 E 3
504
Se consider˘a s, irul (an)n∈N, a0 = −1, an+1 = 2 +
∫ 1
an
e−x2
dx, n = 0, 1, . . . .
Care dintre afirmat, iile de mai jos este adev˘arat˘a?
A (an+1 − an)(an − an−1) ≤ 0, ∀n ∈ N∗ B an ≥ 2, ∀n ∈ N∗ C an ≤ 2, ∀n ∈ N∗
D s, irul (an)n∈N este cresc˘ator E s, irul (an)n∈N este descresc˘ator
505
Fie F : R → R, F (x) =
x2
∫
0
et3
dt. Atunci F ′(2) este:
A 4e64 B e8 C 12e8 D 3e2 E 12e6
— 65 —

Subiect și barem · pagina 72

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Fie fn : [0, +∞) → R, fn(x) =
∫ x2
0
tn · et dt, n ∈ N∗.
506 f1(x) este:
A ex2
(x2 − 1) + 1 B ex2
(x2 + 1) + 1 C ex2
(x2 + 1) − 1 D ex2
x2 + 1 E ex2
507 f ′
n(1) este:
A e B 2e C 2e − 1 D e − 1 E e + 1
508 lim
n→∞ fn(1) este:
A e B 1 C 0 D ∞ E e2
509
lim
t→0
1
t
∫ 2t
t
ln(1 + x)
sin x dx
A ∞ B 0 C 1 D 2 E ln 2
sin 1
510
lim
n→∞
1
n
1∫
0
[nx] dx
A 1 B ∞ C 0 D 1
2 E 2
511
lim
n→∞
n+1∫
n
dx
√x3 + x + 1 este:
A ln π B 0 C 1 D ln 2 E ln 3
512
Aria domeniului m˘arginit de axa Ox, curba y = ln x s, i de tangenta la aceast˘a curb˘a care
trece prin origine este:
A e B e
2 − 1 C e
2 D e − 1 E 2e
513
Aria cuprins˘a ˆıntre axa Ox, dreptele x = 0 s, i x = π s, i graficul funct, iei f : [0, π] → R ,
f (x) = x sin x
1 + cos2 x este egal˘a cu:
A π2
2 B π2
6 C π2
4 D π2
8 E π2
2√2
— 66 —

Subiect și barem · pagina 73

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Se consider˘a integrala I =
∫ π
0
x f (sin x) dx, unde f este o funct, ie continu˘a pe un interval
ce cont, ine [0, 1] .
514 Are loc egalitatea:
A I = π ∫ π
2
0 f (sin x) dx B I = π ∫ π
0 f (sin x) dx C I = π
2
∫ π
2
0 f (sin x) dx
D I = 2π ∫ π
2
0 f (cos x) dx E I = π
2
∫ π
2
0 f (cos x) dx
515 I1 =
∫ π
0
x sin x dx
1 + sin2 x este:
A π√2 ln (3 + 2√2) B π
2√2 ln (3 + 2√2) C π
2√2 ln (3 − 2√2) D π√2 ln (3 − 2√2)
E π
2 ln (3 + √2)
516
Aria domeniului m˘arginit de graficul funct, iei f : [0, 3π
4
] → R,
f (x) = cos x
1 + cos x ,
axa Ox s, i dreptele x = 0 s, i x = 3π
4 , este:
A π
4 B tg 3π
8 C 2π D π
4 + tg 3π
8 − 2 E 0
Fie g : R → R inversa funct, iei f : R → R, f (x) = x + ex.
517 g(1) este:
A −1 B 0 C 1 D ∞ E 1
3
518 Limita lim
x→0
sin x
g(ex) este:
A 1 B 1
2 C 2 D 3
2 E 0
519 Integrala
1+e∫
1
g(t) dt este:
A 1
2 B e + 1
2 C 2e + 3
2 D 3
2 E e + 1
— 67 —

Subiect și barem · pagina 74

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Se consider˘a funct, ia f : R → R, f (x) = x − e−x s, i fie g inversa lui f .
520 f ′(x) are expresia:
A 1 + ex B 1 + e−x C xe−x D 1 − e−x−1 E e−x−1
521 g′(−1) este:
A 0 B −1 C 2 D 1
2 E 1
e
522
∫ 1
0
f (x) dx este:
A 1
e − 1
2 B 3
2 − 1
e C 1
2 − 1
e D 1
e − 3
2 E 3
2 + 1
e
523
∫ 1−1/e
−1
g(x) dx este:
A −1 B 0 C 3
2 − 2
e D 3
2 + 1
e E 1
e − 1
2
524
lim
n→∞
∫ 1
0
n
√xn + (1 − x)n dx este:
A 0 B 1 C 3
4 D 1
2 E 1
4
525
lim
n→∞
1
n
∫ 1
0
ln (1 + enx) dx este:
A 0 B e C 1
2 D ln 2 E 1
3
526
lim
n→∞
∫ n
1
ln x
n ln n + x ln x dx este:
A 0 B 1 C 1
2 D ∞ E ln 2
527
Fie {x} partea fract, ionar˘a a num˘arului real x. Atunci, lim
n→∞n
∫ π
0
{ − x}n dx este:
A 0 B 1 C 2 D 3 E alt r˘aspuns
528
lim
t→0
∫ 3t
2t
x
ln x dx este:
A 0 B nu exist˘a C ln ln 3
ln 2 D ln 3
2 E ln 3
ln 2
— 68 —

Subiect și barem · pagina 75

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
529
lim
n→∞ n
0∫
−1
(x + ex)n dx este:
A e B 0 C ∞ D 1 + e E 1/2
530 3∫
1
ln x
x2 + 3 dx
A π ln 3
3√3 B π ln 3
12√3 C π ln 6
6√3 D π
2√3 E alt r˘aspuns
531 2∫
0
arctg x
x2 + 2x + 2 dx
A π B 2π C 1
2 arctg 2 arctg 1
2 D 0 E 1
532
lim
n→∞
∫ n
0
arctg x
x2 + x + 1 dx
A π2
6√2 B π2
6√3 C π2
6 D 0 E ∞
533
Limita s, irului
∫ 1
0
{nx}
1 + xdx, n = 1, 2, . . . , unde {x} reprezint˘a partea fract, ionar˘a a
num˘arului real x, este:
A ln 2 B ln 3 C ln 4 D ln 5 E alt r˘aspuns
534
Integrala
∫ 1
0
sin (x − {nx}) dx, unde {x} reprezint˘a partea fract, ionar˘a a
num˘arului real x s, i n > 1 un ˆıntreg, este:
A π B π/2 C 1 − cos n D sin (1 − n) E alt r˘aspuns
— 69 —

Subiect și barem · pagina 76

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Urm˘atoarele enunt, uri teoretice pot fi utile pentru rezolvarea unor probleme din
culegere.
535
Fie xn > 0, n ∈ N∗, astfel ca
lim
n→∞
( xn+1
xn
)n
< 1.
Atunci lim
n→∞ xn = 0.
536
Fie f : [0, b − a] → (0, ∞) o funct, ie continu˘a s, i a < b. Atunci
∫ b
a
f (x − a)
f (x − a) + f (b − x) dx = b − a
2 .
537
Fie f : (−1, 1] → R o funct, ie continu˘a. Atunci,
lim
n→∞ n
∫ 1
a
xnf (x) dx = f (1), −1 < a < 1.
538
Fie f : [0, 1] → R continu˘a. Atunci,
lim
n→∞ n
∫ 1
0
xn f (xn) dx =
∫ 1
0
f (t) dt.
539
Dac˘a f : [0, ∞) → R este continu˘a s, i are perioada T > 0, atunci
lim
n→∞
∫ 1
0
f (nx) dx = 1
T
∫ T
0
f (x) dx.
540
Fie a, b > 0. Dac˘a f : [−b, b] → R este o funct, ie continu˘a par˘a, atunci
∫ b
−b
f (x)
ax + 1 dx =
∫ b
0
f (x) dx.
541
Fie a, b ∈ R. Dac˘a f : R → R este o funct, ie integrabil˘a cu perioada T > 0, atunci
integrala ∫ a+T
a
f (x + b) dx,
nu depinde de a s, i b.
— 70 —

Subiect și barem · pagina 77

2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
542
(Prima formula de medie pentru integrala Riemann) Dac˘a f : [a, b] → R este continu˘a s, i
g : [a, b] → [0, ∞) este integrabil˘a, atunci exist˘a c ∈ [a, b] astfel ˆıncˆat
∫ b
a
f (x)g(x)dx = f (c)
∫ b
a
g(x)dx.
— 71 —

Subiect și barem · pagina 78

∗ ∗ ∗

Subiect și barem · pagina 79

3
Geometrie analitic˘a
543
Fie punctele A(λ, 1), B(2, 3), C(3, −1). S˘a se determine λ astfel ˆıncˆat punctul A s˘a se
afle pe dreapta determinat˘a de punctele B s, i C.
A 2 B 3 C 5
2 D 1
2 E 2
3
544
Dreptele 4x − y + 2 = 0, x − 4y − 8 = 0, x + 4y − 8 = 0 determin˘a un triunghi. Centrul
cercului ˆınscris ˆın triunghi este
A ( 6
5 , 0) B ( 6
5 , 1) C ( 5
6 , 0) D ( 5
6 , 1) E ( 6
5 , 5
6
)
545
Triunghiul ABC are latura [AB] pe dreapta 4x + y − 8 = 0, latura [AC] pe dreapta
4x + 5y − 24 = 0, iar vˆarfurile B s, i C pe axa Ox. Ecuat, ia medianei corespunz˘atoare
vˆarfului A este:
A 2x + 3y = 0 B 3x + 2y = 0 C 5x + y = 9 D 4x + 3y − 16 = 0
E x + 4y − 17 = 0
546
Se dau punctele A(2, 1) s, i B(0, −1). Ecuat, ia simetricei dreptei AB fat, ˘a de dreapta OA
este:
A x + 2y − 1 = 0 B 3x − 7y + 1 = 0 C 2x + y + 5 = 0 D x + y + 1 = 0
E x − 7y + 5 = 0
547
Fie triunghiul ABC, unde B(−4, −5). Ecuat, ia ˆın˘alt, imii duse din A
este 5x + 3y − 4 = 0. Ecuat, ia dreptei BC este:
A 5y − 3x + 13 = 0 B 3x − 5y + 37 = 0 C y = −5 D x + y − 2 = 0 E y − 2x = 3
73

Subiect și barem · pagina 80

3. GEOMETRIE ANALITIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
548 ˆIn sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(3, 4), B(−3, −4) s, i
C(3, −4). Coordonatele centrului cercului circumscris
triunghiului ABC sunt:
A (1, 1) B (−1, 0) C (0, 0) D (0, 1) E (0, −1)
549
Fie C simetricul punctului A(−1, −3) fat, ˘a de punctul B(2, 1). Care sunt coordonatele
punctului C?
A (5, 5) B (4, 5) C (6, 5) D (5, 6) E (4, 6)
550
Fie punctele A(0, 2) s, i B(3, 3). Not˘am cu P proiect, ia punctului O(0, 0) pe dreapta AB.
Care sunt coordonatele punctului P ? Care este aria triunghiului OAB?
A (− 3
5 , − 9
5
) ; 3 B (− 3
5 , − 9
5
) ; 6 C ( 3
5 , − 9
5
) ; 3 D (− 3
5 , 9
5
) ; 3 E (− 3
5 , 9
5
) ; 6
551
Fie A(0, −1), d1 : x − y + 1 = 0 s, i d2 : 2x − y = 0. Coordonatele punctelor B ∈ d1 s, i
C ∈ d2 pentru care dreptele d1 s, i d2 sunt mediane ˆın triunghiul ABC sunt:
A (0, 1), (3, 6) B (0, 1), (0, 1) C (−1, 0), (1, 1) D (0, 0), (−1, 1)
E (−1, −1), (1, 1)
552
Fie dreptele
(AB) : x + 2y − 1 = 0
(BC) : 2x − y + 1 = 0
(AC) : 2x + y − 1 = 0
care determin˘a triunghiul ABC. Bisectoarea unghiului B are ecuat, ia:
A x − 3y + 2 = 0 B x + y − 1 = 0 C 3x − y + 2 = 0 D x − y + 1 = 0
E x − y + 5 = 0
553
Pentru ce valori ale parametrului α ecuat, iile 3αx − 8y + 13 = 0,
(α + 1)x − 2αy − 5 = 0 reprezint˘a dou˘a drepte paralele:
A α1 = −2, α2 = 1
3 B α1 = −2, α2 = − 1
3 C α1 = 2, α2 = 2
3
D α1 = 2, α2 = − 2
3 E α1 = 1
2 , α2 = 3
554
Se consider˘a ˆın plan punctele A(0, 0), B(2, 0) s, i dreapta de ecuat, ie d : x − 2y + 10 = 0.
Valoarea minim˘a a sumei S(M ) = M A + M B, cˆand punctul M parcurge dreapta d este:
A 2 B 10 C √101 D √98 E 7√2
555
Dreapta care trece prin C(1, 2), neparalel˘a cu AB fat, ˘a de care punctele A(−1, 1) s, i
B(5, −3) sunt egal dep˘artate, are ecuat, ia:
A 3x + y − 5 = 0 B 2x + y − 4 = 0 C 3x + 2y − 6 = 0 D 2x + 3y − 4 = 0
E 2x + 3y − 6 = 0
— 74 —

Subiect și barem · pagina 81

3. GEOMETRIE ANALITIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
556
Fie punctele A(1, 1), B(2, −3), C(6, 0). Coordonatele punctului D pentru care ABCD
este paralelogram sunt:
A (4, 4) B (5, 4) C (3, 5) D (3, 3) E (4, 5)
557
Raza cercului care trece prin punctele A(−4, 0), B(4, 4), O(0, 0) este:
A 6 B 7 C 8 D 2√10 E 3√5
558
Laturile AB, BC, CA ale triunghiului ABC au respectiv ecuat, iile:
x + 21y − 22 = 0, 5x − 12y + 7 = 0, 4x − 33y + 146 = 0.
Distant, a de la centrul de greutate al triunghiului ABC la latura BC este:
A 1 B 2 C 3 D 4 E 5
Se dau punctele A(0, 1), B(−1, 0), C(6, 2), s, i D(1, 1).
559 Simetricul punctului C fat, ˘a de dreapta AB este:
A C′
(−6, 2) B C′
(6, −2) C C′
(−6, −2) D C′
(1, 7) E C′
(1, 4)
560 Coordonatele punctului M ∈ AB pentru care suma DM + M C este minim˘a sunt:
A (1, −3) B (1, 2) C (−1, 2) D (1, 3) E (2, 3)
561 Coordonatele punctului M ∈ AB pentru care suma DM 2 + M C2 este minim˘a sunt:
A (3, 4) B ( 7
4 , 15
4 ) C (2, 3) D ( 7
3 , 3) E (3, 5)
Se consider˘a ˆın planul xOy punctele S(0, 12), T (16, 0) s, i Q(x, y) un punct variabil situat
pe segmentul [ST ]. Punctele P s, i R apart, in axelor de coordonate astfel ˆıncˆat patrulaterul
OP QR s˘a fie dreptunghi.
562 Ecuat, ia dreptei ST este:
A 3x + 4y − 48 = 0 B −3x − 4y + 12 = 0 C 3y − 4x − 36 = 0 D 3x − y + 12 = 0
E y − 4x + 64 = 0
563 Aria dreptunghiului OP QR este:
A −3x2 + 12x B 12x − 3
4 x2 C 3x2 + 12x D −4x2 + 12x E 48x − 3
4 x2
564 Valoarea maxim˘a a ariei dreptunghiului OP QR este:
A 32 B 48 C 64 D 96 E 84
— 75 —

Subiect și barem · pagina 82

3. GEOMETRIE ANALITIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Punctul A(−4, 1) este un vˆarf al p˘atratului ABCD parcurs ˆın sens trigonometric, c˘aruia
ˆıi cunoas, tem o diagonal˘a de ecuat, ie 3x − y − 2 = 0.
565 Aria p˘atratului ABCD este:
A 45 B 15 C 90 D 30 E 45
2
566 Punctul C are coordonatele:
A (4, −1) B (5, −2) C (6, 1) D ( 9
2 , − 7
2 ) E ( 11
2 , − 1
2 )
Fie ˆın planul xOy punctele A(4, 0), B(5, 1), C(1, 5), D(0, 4).
567 Patrulaterul ABCD este:
A patrulater oarecare B trapez isoscel C romb D dreptunghi
E trapez dreptunghic
568 Aria patrulaterului este
A 4 B 8 C 1 D 16 E 2
569 Simetricul punctului A fat, ˘a de dreapta BC este punctul de coordonate
A (1, 5) B (5, 1) C (5, 2) D (6, 2) E (6, 4)
570 ˆIn sistemul cartezian xOy, o dreapt˘a variabil˘a d care cont, ine punctul A(0, 5) intersecteaz˘a
dreptele x − 2 = 0 s, i x − 3 = 0 ˆın punctele B, respectiv C. S˘a se determine panta m a
dreptei d astfel ˆıncˆat segmentul BC s˘a aib˘a lungime minim˘a.
A m = 0 B m = −1 C m ∈ R D m = 2 E nu exist˘a
571
Fie dreapta D : x + y = 0 s, i punctele A(4, 0), B(0, 3). Valoarea minim˘a a sumei
M A2 + M B2, pentru M ∈ D este:
A 99
4 B 25 C 101
4 D 26 E 105
4
— 76 —

Subiect și barem · pagina 83

3. GEOMETRIE ANALITIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Se consider˘a expresia E(x, y) = x2 + y2 − 6x − 10y.
572 Distant, a de la punctul (x, y) la punctul (3, 5) este:
A √E(x, y) + 34 B √E(x, y) − 34 C √E(x, y) D √E(x, y) + 1
E alt r˘aspuns
573 Valoarea minim˘a a lui E(x, y), pentru (x, y) ∈ R2, este:
A 0 B −34 C 34 D −1 E 1
574 Se consider˘a mult, imea D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 − 2y ≤ 0}. Valoarea maxim˘a a lui
E(x, y), pentru (x, y) ∈ D, este:
A 8 B 0 C 4 D 6 E 2
Fie ABC un triunghi. Not˘am cu G centrul s˘au de greutate, cu O centrul cercului cir-
cumscris, cu H ortocentrul, cu I centrul cercului ˆınscris s, i a = BC, b = CA, c = AB.
575 Punctul M din planul triunghiului ABC pentru care −−→
M A + −−→
M B + −−→
M C = ~0 este:
A G B H C I D O E A
576 Punctul N din planul triunghiului ABC pentru care a−−→
N A + b−−→
N B + c−−→
N C = ~0 este:
A G B H C I D O E A
577 Punctul R din planul triunghiului ABC pentru care −→
RA + −−→
RB + −→
RC = −−→
RH este:
A G B H C I D O E A
— 77 —

Subiect și barem · pagina 84

∗ ∗ ∗

Subiect și barem · pagina 85

4
Trigonometrie
578
Funct, ia f : R → R, f (x) = sin(4x) + cos (√2x), are perioada:
A 2 B 2π C √2π D √2 E nu este periodic˘a
579
Valoarea lui arcsin(sin 3) este:
A 3 B −3 C 0 D π − 3 E − cos 3
580
Valoarea lui sin 15◦ este:
A
√6−√2
2 B
√3−√2
4 C
√6−√3
4 D
√6−√2
4 E
√6−√5
4
Fie numerele complexe zk = cos 2kπ
5 + i sin 2kπ
5 , k = 1, 2, 3, 4.
581 Ecuat, ia polinomial˘a ale c˘arei r˘ad˘acini sunt numerele zk (k = 1, 2, 3, 4) este:
A x4 + 1 = 0 B x5 − 1 = 0 C x5 + 1 = 0 D x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 E
x4 + x2 + 1 = 0
582 Valoarea expresiei cos 2π
5 + cos 4π
5 + cos 6π
5 + cos 8π
5 este:
A −1 B 0 C 1
2 D 1 E 2
583 Valoarea expresiei cos 2π
5 este:
A
√5+1
4 B
√5−1
2 C
√5−1
4 D
√5+1
2 E 1
79

Subiect și barem · pagina 86

4. TRIGONOMETRIE Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
584
cos x cos 5π
4 − sin x sin 5π
4 = 1 dac˘a s, i numai dac˘a:
A x ∈ {2kπ − π
4 | k ∈ Z} B x ∈ {kπ ± 5π
4 | k ∈ Z} C x ∈ {kπ − 5π
4 | k ∈ Z}
D x ∈ {2kπ − 5π
4 | k ∈ Z} E x ∈ {2kπ ± 5π
4 | k ∈ Z}
Se consider˘a funct, ia f (x) = cos2n x + sin2n x, n ∈ N, n ≥ 2, x ∈ R.
585 Mult, imea solut, iilor ecuat, iei f (x) = 1 este:
A {2kπ}k∈Z B {2kπ + π
2
}
k∈Z C {kπ + π
2
}
k∈Z D {k π
2
}
k∈Z E ∅
586 Mult, imea valorilor funct, iei f este
A [0, 1] B [−1, 1] C [0, 1
n ] D [ 1
2n−1 , 1] E Alt r˘aspuns
Se consider˘a ecuat, ia: (sin x + cos x)n − a sin x cos x + 1 = 0, n ∈ N, a ∈ R.
587 Pentru n = 2 ecuat, ia are solut, ie dac˘a s, i numai dac˘a
A a ∈ [2, 6] B a ∈ (−∞, −2] ∪ [6, ∞) C a ∈ (−2, 6) D a ∈ (−1, 1] E alt r˘aspuns
588 Pentru n = 1 s, i a = 3 mult, imea solut, iilor ecuat, iei este:
A {kπ|k ∈ Z} B ∅ C {(2k + 1)π|k ∈ Z} ∪ {2kπ − π
2 |k ∈ Z}
D { π
6 + 2kπ|k ∈ Z} E {2kπ + π
4 |k ∈ Z}
589
Dac˘a x ∈ (π, 2π) s, i cos x = 7
25 , atunci sin x este:
A − 24
25 B − 7
8 C − 23
25 D 7
8 E 24
25
590
tg π
12 are valoarea:
A
√3+1√3−1 B 1
2+√3 C
√3
6 D 2√3 E alt r˘aspuns
Fie x1 s, i x2 r˘ad˘acinile ecuat, iei x2 − 2√2x + 1 = 0.
591 arctg x1 + arctg x2 este:
A π
2 B π
8 C 3π
8 D 3π
4 E π
4
592 arctg x1 · arctg x2 este:
A π2
8 B 3π2
16 C 3π2
64 D 3π2
32 E π2
16
— 80 —

Subiect și barem · pagina 87

4. TRIGONOMETRIE Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
593
Fie x ∈ [π, 3π
2 ] cu proprietatea c˘a tg x = 1
2 . Atunci perechea (sin x, cos x) este:
A
( 1√5 , 2√5
)
B
( −1√5 , 2√5
)
C
( −1√5 , −2√5
)
D
( −2√5 , −1√5
)
E
( 2√5 , 1√5
)
594
Pentru orice a, b ∈ R expresia (cos a + cos b)2 + (sin a + sin b)2 este egal˘a cu:
A 2 sin2(a + b) B 2 cos2(a + b) C 4 sin2 a−b
2 D 4 cos2 a−b
2 E 2
595
Oricare ar fi x ∈ R, suma sin6 x + cos6 x este egal˘a cu:
A 3 − sin2 x cos2 x B 1 − 3 sin2 2x C 1 D 2
3 E 1 − 3 sin2 x cos2 x
596
Dac˘a E = cos2(a + b) + cos2(a − b) − cos 2a · cos 2b atunci, pentru orice a, b ∈ R are loc
egalitatea:
A 2E = 1 B E = 1 C 2E + 1 = 0 D E = 0 E E = −1
597
Dac˘a numerele reale α s, i β satisfac egalitatea
(cos α + cos β)2 + (sin α + sin β)2 = 2 cos2 α − β
2 ,
atunci:
A α − β = π
3 B α − β ∈ {2kπ|k ∈ Z.} C α − β ∈ {(2k + 1)π|k ∈ Z.}
D α − β ∈ { π
2 + 4kπ|k ∈ Z.} E α − β ∈ { π
6 + 10kπ|k ∈ Z.}
598
Num˘arul arctg 1
3 + arctg 1
5 + arctg 1
7 + arctg 1
8 este egal cu:
A π
12 B π
6 C π
4 D 5π
12 E π
2
599
Inversa funct, iei f : [ π
2 , 3π
2
] → [−1, 1] , f (x) = sin x, este funct, ia f −1 : [−1, 1] → [ π
2 , 3π
2
]
definit˘a prin:
A f −1(x) = π + arcsin x B f −1(x) = π − arcsin x C f −1(x) = arcsin x
D f −1(x) = 2π − arcsin x E f −1(x) = −π + arcsin x
600
Egalitatea arcsin(sin x) = x are loc pentru:
A orice x ∈ R B orice x ∈ R astfel ˆıncˆat sin x ∈ (−1, 1)
C orice x ∈ [0, 2π) D ∅ E orice x ∈ [− π
2 , π
2
]
— 81 —

Subiect și barem · pagina 88

4. TRIGONOMETRIE Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
601
Mult, imea valorilor lui m ∈ R pentru care expresia
E(x) =
√
cos4 x + m sin2 x +
√
sin4 x + m cos2 x
este constant˘a pe R este:
A {0} B {0, 4} C {1, 4} D {−1, 0} E ∅
602
Valorile minim˘a m s, i maxim˘a M ale expresiei E(x) = cos2 x − 4 sin x, unde x ∈ R, sunt:
A m = −1, M = 1 B m = −5, M = 5 C m = −4, M = 3
D m = −4, M = 4 E m = −3, M = 3
603
Mult, imea solut, iilor ecuat, iei 2 cos2 x − 11 cos x + 5 = 0 este:
A ∅ B {− π
3 + 2kπ|k ∈ Z} C {± π
4 + 2kπ|k ∈ Z}
D {− π
3 + 2kπ|k ∈ Z} ∪ { π
3 + 2kπ|k ∈ Z} E { π
3 + 2kπ|k ∈ Z} ∪ { π
4 + kπ|k ∈ Z}
604
Ecuat, ia 4 sin2 x − 4 sin x + 1 = 0 are urm˘atoarea mult, ime de solut, ii:
A {(−1)k π
4 + kπ|k ∈ Z} B {(−1)k π
3 + kπ|k ∈ Z} C {(−1)k π
6 + kπ|k ∈ Z}
D {(−1)k+1 π
3 + 2kπ|k ∈ Z} E {(−1)k+1 π
4 + 2kπ|k ∈ Z}
605
Dac˘a x ∈ R s, i sin(π cos x) = cos(π sin x), atunci cos 4x este:
A − 1
8 B 1
8 C − 1
2 D 1
2 E 0
Fie Sn, n ∈ N∗, mult, imea solut, iilor ecuat, iei sin x sin 2x . . . sin nx = 1.
606 S1 este:
A { π
2 + 2kπ|k ∈ Z} B {(−1)k π
2 + 2kπ|k ∈ Z} C {kπ|k ∈ Z} D { π
2 , 5π
2 } E ∅
607 S100 este:
A { π
101 + kπ/k ∈ Z} B { π
101 + 2kπ/k ∈ Z} C ∅ D
100⊔
n=1
{ π
5n + kπ
n+1 /k ∈ Z}
E { π
6 + k π/k ∈ Z}
608
Mult, imea solut, iilor ecuat, iei cos 2x = cos x este:
A { 2kπ
3 |k ∈ Z} ∪ { 2kπ
7 |k ∈ Z} B { 2kπ
3 |k ∈ Z} C { 2kπ
7 |k ∈ Z} D {2kπ|k ∈ Z}
E {π + 2kπ|k ∈ Z}
— 82 —

Subiect și barem · pagina 89

4. TRIGONOMETRIE Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
609
Mult, imea solut, iilor ecuat, iei sin x = cos 3x este:
A { π
8 + kπ
2 |k ∈ Z} B {− π
4 + kπ|k ∈ Z} C { π
8 , 3π
4
} D {− 4k±1
8 π|k ∈ Z}
E { π
8 + kπ
2 |k ∈ Z} ∪ {− π
4 + kπ|k ∈ Z}
610
Mult, imea solut, iilor ecuat, iei sin 5x = sin x este:
A
{ kπ
5−(−1)k |k ∈ Z
}
B { kπ
5 |k ∈ Z} C { kπ
10 |k ∈ Z}
D {(−1)k arcsin 1
5 + kπ|k ∈ Z} E {(−1)k π
3 + kπ|k ∈ Z}
611
Ecuat, ia 2 tg x + ctg x = 3 are urm˘atoarele solut, ii ˆın intervalul [0, π
2
] :
A π
4 s, i π
6 B π
4 s, i arctg(−5) C π
12 D π
4 s, i arctg 1
2 E π
4 s, i arctg 2
612
Dac˘a √3 sin x + cos x − 2 = 0, atunci:
A x = (−1)k π
2 − π
6 , k ∈ Z; B x = π
6 + (−1)k π
2 , k ∈ Z;
C x = (−1)k π
2 + kπ − π
6 , k ∈ Z; D x = kπ − π
6 , k ∈ Z; E x = kπ, k ∈ Z
613
Ecuat, ia sin x + p cos x = 2p, p ∈ R, are solut, ii pentru:
A |p| > 5 B p ∈
[
− 1√3 , 1√3
]
C |p| > 2
3 D |p| = 3 E 3p2 > 1
614
Solut, iile ecuat, iei −2 sin2 x + cos2 x + 4 sin x cos x − 2 = 0 sunt:
A arctg 1
2 + kπ, k ∈ Z B arctg 1
3 + 2kπ, k ∈ Z C arctg 1
6 + 2kπ, k ∈ Z D
arctg 1
3 + kπ, k ∈ Z E arctg 1 + 2kπ, k ∈ Z
615
Valoarea lui cos x care verific˘a ecuat, ia 2 sin2 2x − 2 sin x sin 3x = 4 cos x + cos 2x este:
A 1
2 B
√3
2 C − 1
2 D
√2
2 E 0
616
Urm˘atoarea mult, ime reprezint˘a solut, ia ecuat, iei sin2 x + tg2 x = 3
2 :
A {(−1)k π
4 + kπ|k ∈ Z} ∪ {(−1)k+1 π
3 + kπ|k ∈ Z} B { π
4 , π
2 , 3π
4
}
C {± π
3 + 2kπ|k ∈ Z} D {(−1)k π
6 + kπ|k ∈ Z} E {± π
4 + kπ|k ∈ Z}
617
Mult, imea tuturor valorilor x ∈ R care verific˘a egalitatea
3(cos4 x + sin4 x) − 2(sin6 x + cos6 x) = 1
este:
A ∅ B R C { π
2 + 2kπ|k ∈ Z} D {kπ|k ∈ Z} E {2kπ|k ∈ N}
— 83 —

Subiect și barem · pagina 90

4. TRIGONOMETRIE Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
618
Mult, imea solut, iilor ecuat, iei
(√ 1 − sin x
1 + sin x −
√ 1 + sin x
1 − sin x
) (√ 1 − cos x
1 + cos x −
√ 1 + cos x
1 − cos x
)
= −4
este:
A {kπ|k ∈ Z} B ⋃
k∈Z
(π + 2kπ, 2π + 2kπ) C ⋃
k∈Z
((2k − 1) π
2 , kπ)
D { π
2 + kπ|k ∈ Z} E {2kπ|k ∈ Z}
619
Fie x ∈ R. Valoarea expresiei
(
sin x − 2 3
√sin x cos2 x
)2
+
(
cos x − 2 3
√
sin2 x cos x
)2
este:
A 1 B 2 C sin x + cos x D sin3 x + cos3 x E 3
√sin x + 3
√cos x
620
Ecuat, ia cos4 x − sin4 x = 1 + sin 2x are urm˘atoarea mult, ime de solut, ii:
A ∅ B { π
6 + kπ|k ∈ Z} C { 3π
4 + kπ|k ∈ Z} D {kπ|k ∈ Z} ∪ {− π
4 + kπ|k ∈ Z}
E {2kπ|k ∈ Z}
621
Egalitatea max(sin x, cos x) =
√3
2 este adev˘arat˘a dac˘a s, i numai dac˘a:
A x ∈ { π
6 + 2kπ|k ∈ Z} B x ∈ { π
3 + 2kπ|k ∈ Z} C x ∈ {− π
6 , π
6 , π
3
}
D x ∈ { 11π
6 + 2kπ|k ∈ Z}
E x ∈ {± π
6 + 2kπ|k ∈ Z} ∪ { π
3 + 2kπ|k ∈ Z} ∪ { 2π
3 + 2kπ|k ∈ Z}
622
Mult, imea solut, iilor ecuat, iei 4 sin x cos3 x − 4 sin3 x cos x = 1 este:
A {(−1)k π
2 + kπ|k ∈ Z} B { π
8 + kπ
8 |k ∈ Z} C { π
8 + kπ
2 |k ∈ Z} D {− π
8 , π
8
}
E { π
8 + kπ
4 |k ∈ Z}
623
Solut, ia ecuat, iei 2 arcsin x = arccos 2x este:
A
√3−1
4 B π
4 C π
6 D √2 − 1 E
√3−1
2
624
Mult, imea tuturor valorilor parametrului real m pentru care ecuat, ia
(sin x − m)2 + (2m sin x − 1)2 = 0 are solut, ii este:
A [−1, 1] B
{
−
√2
2 ,
√2
2
}
C {−1, 0, 1} D [− 1
2 , 0) ∪ (0, 1
2
] E { 1
2
}
625
Dac˘a S este mult, imea solut, iilor ecuat, iei (1 − cos x)4 + 2 sin2 x2 = 0, atunci:
A S = ∅ B S ∩ Q = ∅ C S = {π} D S = {0} E S = {0, 2π}
— 84 —

Subiect și barem · pagina 91

4. TRIGONOMETRIE Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
626
Ecuat, ia sin x + cos 2x = m, m ∈ R , are solut, ii dac˘a s, i numai dac˘a:
A m ∈ [0, 9
8
] B m = 1 C m = −3 D m < −2 E m ∈ [−2, 9
8
]
627
Mult, imea tuturor valorilor parametrului real m pentru care ecuat, ia
cos2 x + (m + 1) sin x = 2m − 1 are solut, ii este:
A [1, 2] B ∅ C {0} D [0, 2] E [3, ∞)
628
Ecuat, ia sin6 x + cos6 x = m, m ∈ R, are solut, ii dac˘a s, i numai dac˘a:
A m ≤ 2 B 1
4 ≤ m ≤ 1 C m = 1 D 0 ≤ m ≤ 2 E 1
2 ≤ m ≤ 1
629
Mult, imea solut, iilor ecuat, iei sin x + sin 2x = 2 este:
A {kπ|k ∈ Z} B { kπ
2 |k ∈ Z} C { kπ
3 |k ∈ Z}
D {arcsin 1
2 + kπ|k ∈ Z} E ∅
Se consider˘a funct, ia f : [0, 2π] → R, f (x) = 3 cos2 x − 4 sin x.
630 Solut, ia ecuat, iei f (x) = 1
4 este:
A { π
6 , 5π
6 } B { π
3 , 2π
3 } C { π
6 , π
3 } D { π
4 , 3π
4 } E { π
6 , 11π
6 }
631 Valoarea maxim˘a a funct, iei f este:
A −1 B 13
3 C 3 D 11
3 E 14
3
632 Mult, imea valorilor lui a ∈ R pentru care ecuat, ia f (x) = a are solut, ie este:
A [−4, 13
3 ] B [−3, 11
3 ] C [−4, 14
3 ] D [−3, 13
3 ] E [−4, 11
3 ]
633 Num˘arul solut, iilor ecuat, iei f (x) = 5 este:
A 2 B 1 C 0 D 3 E 4
634
S˘a se arate c˘a dac˘a a = 41, b = 28 s, i c = 15, atunci triunghiul ABC este:
A dreptunghic B ascut, itunghic C obtuzunghic D isoscel E echilateral
635
S˘a se determine unghiurile A s, i C ale triunghiului ABC dac˘a a = √2, b = 2, B = π
4 .
A A = π
4 , C = π
2 B A = π
6 , C = 7π
12 C A = π
3 , C = 5π
12
D A = 7π
12 , C = π
6 E A = 5π
12 , C = π
3
— 85 —

Subiect și barem · pagina 92

4. TRIGONOMETRIE Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
636 ˆIn triunghiul ABC avem BC = 4, m(̂ A) = 60◦, m(̂ B) = 45◦. Atunci AC are lungimea:
A
√6
3 B 2√6
3 C √6 D 4√6
3 E 5√6
3
Fie z =
(
1 + 2i
1 − i
)2005
.
637 Valoarea lui z este:
A 1 B 2i C −i D i E −2i + 1
638 Modulul lui z + i este:
A √2 B 2 C 1 D √3 E √5
639 Valoarea expresiei 2z + ¯z este
A −i B −2i C 2i + 3 D 3 E i
Fie x = 1
4 (√3 + i). Atunci:
640 x2004 este
A −1+i√3
22005 B − 1
22004 C 0 D 1
22004 E
√3+i
22005
641 x2008 este
A −1+i√3
22009 B − 1
22008 C 0 D 1
22008 E
√3+i
22009
642
Dac˘a n ∈ N, n ≥ 2 s, i S = {z ∈ C | (z + i)n = (z − i)n}, atunci:
A S are n elemente, ∀ n ∈ N, n ≥ 2;
B S = {(−1)n−1 + tg kπ
n | 1 ≤ k ≤ n; k ∈ N; k 6 = n
2 }
C S = {(−1)n−1 + ctg kπ
n | 1 ≤ k ≤ n − 1; k ∈ N}
D S = {ctg kπ
n | 1 ≤ k ≤ n − 1; k ∈ N}
E S ∩ R are cel mult dou˘a elemente, ∀n ∈ N, n ≥ 2
643
Fie triunghiul ABC pentru care tg A
2 = a
b+c . Atunci triunghiul este:
A echilateral B dreptunghic cu A = π
2 C dreptunghic cu B = π
2 sau C = π
2
D ascut, itunghic E obtuzunghic
— 86 —

Subiect și barem · pagina 93

4. TRIGONOMETRIE Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
644
Fie z =
(√3 + i)n
(√3 − i)m , m, n ∈ N. S˘a se determine relat, ia dintre m s, i n astfel ˆıncˆat z s˘a fie
real.
A n − m = 6k, k ∈ N B n + m = 3k, k ∈ N C n − m = 3k, k ∈ Z D n − m = 0
E n + m = 6k, k ∈ N
645
Num˘arul E = (cos α − i sin α)(cos 5α + i sin 5α) este real pentru
A α = kπ
4 , k ∈ Z; B α = kπ
2 , k ∈ Z; C α = kπ, k ∈ Z;
D α = kπ
3 , k ∈ Z; E α = 2kπ
3 , k ∈ Z
Fie num˘arul complex u = 2 + 2i.
646 Forma trigonometric˘a a num˘arului complex u este:
A u = √2(cos π
2 + i sin π
2 ) B u = √8(cos π
4 + i sin π
4 ) C u = 2√2(cos 3π
4 − i sin 3π
4 )
D u = √8(cos π
2 + i sin π
2 ) E u = 2√2(cos π
4 − i sin π
4 )
647 u100 este:
A 2100 B 2100i C −2150i D −2150 E −2200
648 Fie mult, imea A = {z ∈ C : |z − 1| ≤ |z − i| s, i |z − u| ≤ 1}. Modulul lui z ∈ A pentru
care argumentul lui z este minim este:
A 3 B √8 C √7 D 1 E √6
Se consider˘a numerele complexe
z1 = sin a − cos a + i(sin a + cos a), z2 = sin a + cos a + i(sin a − cos a).
649 Mult, imea valorilor lui a pentru care num˘arul complex w = zn
1 +zn
2 are modulul maxim
este:
A {2kπ|k ∈ Z} B { kπ
n + π
2 |k ∈ Z} C { 2kπ
n |k ∈ Z} D { kπ
n |k ∈ Z} E alt r˘aspuns
650 Mult, imea valorilor lui a pentru care z1 + z2 ∈ R este:
A {kπ|k ∈ Z} B {2kπ|k ∈ Z} C {kπ + π
2 |k ∈ Z} D ∅ E {2kπ + π
2 |k ∈ Z}
651 Valorile lui n pentru care zn
1 zn
2 , n ∈ N∗, este real s, i pozitiv sunt:
A n = 5 B n = 4k, k ∈ N∗ C n = 8k + 1, k ∈ N∗ D n = 0 E n = 8k + 2, k ∈ Z
— 87 —

Subiect și barem · pagina 94

4. TRIGONOMETRIE Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Pentru n s, i k numere naturale nenule cu n fixat, not˘am ak = cos 2kπ
n − 2 + i sin 2kπ
n .
652 Valoarea an este:
A 1 B i C −1 D 0 E −i
653 Valoarea sumei a1 + a2 + · · · + an, n > 1, este:
A −2n B 2n C 1 − 2n D ni − 2n E i + 2n
654 Valoarea produsului a1a2 . . . an este:
A 2n − 1 B (−1)n−1(2n+1 − 1) C (2n − 1)(−1)n D (−1)n(2n − 1) E 0
655
S˘a se calculeze expresia E = (√3 − i)8(−1 + i√3)11:
A E = 211; B E = 219; C E = 215; D E = 25; E 27
656
Dac˘a z + 1
z = 2 cos α, atunci expresia E = zn + z−n are, pentru orice n ∈ Z s, i pentru
orice α ∈ R, valoarea:
A zi sin nα B cos nα + i sin nα C tg nα D 2 cos nα E sin nα + tg nα
657
Cˆate r˘ad˘acini complexe are ecuat, ia z3 = z?
A 1 B 2 C 3 D 4 E 5
658
Cˆate r˘ad˘acini complexe are ecuat, ia zn−1 = i z, n > 2, n ∈ N?
A n − 2 B n − 1 C n D n + 1 E n + 2
659
Fie num˘arul complex z =
( √3 − i
1 + i
)12
. Este adev˘arat˘a afirmat, ia
A z = 26 B arg z = π C |z| = 212 D z = 64i E arg z = 2π
— 88 —

Subiect și barem · pagina 95

5
Simulare admitere 12 mai 2018
660
∫ 1
−1
ln
(
x + √1 + x2
)
dx este:
A −e B ln 2 C − ln 2 D 0 E 2 ln 2
661
∫ 1
0
dx
2x2 − 2x + 1 este:
A π B π
4 C π
2 D ln 2 E π
2 ln 2
662
∫ 1
0
√ x
1 + x3 dx este:
A 3
2 ln 3 B 2
3 ln (√2 + √3) C 2
3 ln 2 D 2
3 ln (1 + √2) E 3
2 ln 2
663
∫ 1
−1
x
ex + x + 1 dx este:
A 0 B ln e
1+e C ln e+1
e−1 D e+1
e−1 E ln e
2+e
89

Subiect și barem · pagina 96

5. SIMULARE ADMITERE 12 MAI 2018 Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
664 lim
x→∞
2x + 1
x + 1 este:
A 0 B 2 C 1 D ∞ E e
665 lim
x→∞
(
ln (ex + 2x) − √x2 − 4x + 1
)
este:
A ∞ B 0 C 2 D ln 2 E 4
666 lim
x→1
xxa − xxb
ln2 x , a, b ∈ R, este:
A a − b
2 B b − a C ea − eb D ab(a − b) E a − b
Se consider˘a funct, ia f : R → R, f (x) = e2x(x2 + x + m), unde m este un parametru
real.
667 f (0) este:
A 0 B m + 3 C e2(m + 3) D m E −m
668 f este monoton˘a pe R dac˘a s, i numai dac˘a m apart, ine mult, imii:
A [ 1
4 , 1] B [0, ∞) C (0, ∞) D R E [ 1
2 , ∞)
669 f are dou˘a puncte de extrem dac˘a s, i numai dac˘a m apart, ine mult, imii:
A (−∞, 1
2 ) B [0, ∞) C (−2, 2) D R E (−1, 1)
670
Fie f : R → R, f (x) = |x − a| sin x, unde a este un parametru real. Num˘arul valorilor lui
a pentru care f este derivabil˘a pe R este:
A 2 B 0 C 1 D infinit E 4
671
Se consider˘a s, irul (xn)n≥0 definit prin formula de recurent, ˘a xn+1 = x2
n − 2xn + 2,
x0 = a ∈ R. S, irul este convergent dac˘a s, i numai dac˘a a apart, ine mult, imii:
A [1, 2] B [−1, 1] C [0, 2] D [0, 1] E [−1, 0]
672
Dac˘a a = log6 2, atunci log3 12 este:
A 4 B 2 + a
2 − a C a + 4
a + 3 D 1 + a
1 − a E 1
4
— 90 —

Subiect și barem · pagina 97

5. SIMULARE ADMITERE 12 MAI 2018 Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Ecuat, ia x2 − 2mx + 2m2 − 2m = 0, unde m este un parametru real, are r˘ad˘acinile reale
x1 s, i x2.
673 Suma x1 + x2 este:
A 2m B 2 C 2m2 − 2m D m E −m
674 Mult, imea valorilor produsului x1 x2 este:
A [0, 4] B [− 1
2 , 4] C [ 1
2 , 2] D [−1, 2] E R
Se consider˘a ecuat, ia x5 + a2x4 + 1 = 0, a ∈ R, cu r˘ad˘acinile xi, i = 1, . . . , 5.
675 Valoarea sumei
5∑
i=1
xi este:
A −5a B a4 C −a2 D 0 E −a4
676 Valoarea sumei
5∑
i=1
1
x4
i
este:
A 0 B a4 C −5a4 D −4a2 E a3
677 Mult, imea valorilor lui a pentru care dou˘a dintre r˘ad˘acinile ecuat, iei au partea imagi-
nar˘a negativ˘a este:
A [−1, 1] B ∅ C (−∞, 0] D (−∞, 0) E R
678
Num˘arul valorilor parametrului real a pentru care sistemul



ax + y + z = 0
x + ay + z = 0
x + y + az = 0
x2 + y2 + z2 = 3
are cel put, in o solut, ie este:
A 0 B 2 C 1 D 3 E infinit
679
Fie A ∈ M2(R) s, i λ ∈ R astfel ca A2 − λA + λ2I2 = O2. Matricea A2018 este:
A λ2018I2 B A C λ2016A2 D λ2A2 E O2
— 91 —

Subiect și barem · pagina 98

5. SIMULARE ADMITERE 12 MAI 2018 Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Se consider˘a grupul (G, ?), unde G = (−1, 1) s, i x ? y = x + y
1 + xy .
680 2
3 ? 3
4 este:
A 9
12 B 0 C 1 D 14
15 E 17
18
681 Elementul neutru al grupului (G, ?) este:
A 1
2 B 0 C − 1
2 D
√2
2 E
√2 − 1
√2 + 1
682 Dac˘a ((0, ∞), · ) este grupul multiplicativ al numerelor reale pozitive, atunci funct, ia
cresc˘atoare f : G → (0, ∞), f (x) = a + x
b − x , este un izomorfism de grupuri pentru:
A a = b = 2 B a = −b = 1 C a = −b = −1 D a = b = −1 E a = b = 1
683 1
2 ? 1
4 ? · · · ? 1
10 este:
A 5
6 B 10
13 C 11
15 D 7
9 E 8
9
684
Num˘arul valorilor parametrului real m pentru care ecuat, ia√cos4 x + 4 sin2 x + √sin4 x + 4 cos2 x = m are solut, ii este:
A 0 B 1 C 2 D 3 E infinit
Fie f : [0, 3π] → R, f (x) = sin x + cos(4x).
685 f
( π
2
)
este:
A 2 B 1 C 0 D √2 E 2√2
686 Num˘arul solut, iilor ecuat, iei f (x) = 2 este:
A 1 B 2 C 3 D 4 E 6
687
Ecuat, iile dreptelor care sunt la distant, ˘a 2 de punctul A(2, 1) s, i trec prin originea O(0, 0)
sunt:
A alt r˘aspuns B 3x + 4y = 0 C y = ±x D 2x ± y = 0 E x ± 2y = 0
— 92 —

Subiect și barem · pagina 99

5. SIMULARE ADMITERE 12 MAI 2018 Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2025
Se consider˘a punctele A(6, 0), B(0, 3) s, i O(0, 0) ˆın plan.
688 Ecuat, ia ˆın˘alt, imii din O a triunghiului AOB este:
A x = 2y B 2y = 3x C y = 2x D x = y E 3x = y
689 Coordonatele centrului de greutate al triunghiului AOB sunt:
A (2, 1) B (1, 1) C (1, 2) D (2, 2) E (3, 2)
— 93 —

Subiect și barem · pagina 100

∗ ∗ ∗

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Examen de admitere · 2024Matematică · 22 iulie 2024Deschide fișa Model de pregătire · 2024Matematică · Culegere oficială: admiteri și simulări 2017–2023Deschide fișa Model de pregătire · 2026Matematică · Culegere oficială de teste-grilă, 166 de paginiDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă simulare din 2024 pentru Matematică, la Facultatea de Automatică și Calculatoare. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.