Pregătire cu un profesor
Glisează →Programează o ședință de cunoaștere
Subiect și barem
Se deschide documentul PDF… Deschide PDF
Subiectul și răspunsurile sunt în același PDF. Afișăm documentul complet, cu toate paginile.
Model de pregătire · Matematică · 2024
Facultatea de Automatică și Calculatoare · Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca
Înapoi la arhivăDespre acest subiect
Culegere oficială: admiteri și simulări 2017–2023
Sursa documentelor: Admitere UTCN – Matematică. Verifică răspunsurile cu baremul după ce rezolvi subiectul.
Subiectul și baremul în format text
Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.
Subiect și barem · 185 pagini
Mai jos sunt primele 100 pagini din 185. Documentul integral rămâne disponibil în PDF.
Unele pagini conțin imagini sau text care nu poate fi extras complet. Consultă originalul pentru acele pagini.
Subiect și barem · pagina 1
TESTE GRIL ˘A DE MATEMATIC ˘A 2024 A U T O R I Prof.univ.dr. Vasile Cˆampian Prof.univ.dr. Iuliu Crivei Prof.univ.dr. Bogdan Gavrea Prof.univ.dr. Ioan Gavrea Prof.univ.dr. Dumitru Mircea Ivan Prof.univ.dr. Nicolaie Lung Prof.univ.dr. Vasile Mihes, an Prof.univ.dr. Alexandru Mitrea Prof.univ.dr. Viorica Mures, an Prof.univ.dr. Ioan Radu Peter Prof.univ.dr. Dorian Popa Prof.univ.dr. Ioan Ras, a Prof.univ.dr. Daniela Ros, ca Prof.univ.dr. Alina Sˆınt˘am˘arian Prof.univ.dr. Gheorghe Toader Prof.univ.dr. Neculae Vornicescu Conf.univ.dr. Alina-Ramona Baias Conf.univ.dr. Mihaela Berches, an Conf.univ.dr. Marius Birou Conf.univ.dr. Lucia Blaga Conf.univ.dr. Adela Cap˘at˘a Conf.univ.dr. Maria Cˆampian Conf.univ.dr. Alexandra Ciupa Conf.univ.dr. Dalia Cˆımpean Conf.univ.dr. Luminit, a Ioana Cotˆırl˘a Conf.univ.dr. Eugenia Duca Conf.univ.dr. Ovidiu Furdui Conf.univ.dr. Adrian Holhos, Conf.univ.dr. Daniela Inoan Conf.univ.dr. Daniela Marian Conf.univ.dr. Adela Carmen Novac Conf.univ.dr. Vasile Pop Conf.univ.dr. Teodor Potra Conf.univ.dr. Mircea Dan Rus Conf.univ.dr. Silvia Toader Conf.univ.dr. Constantin Cosmin Todea Lect.univ.dr. Daria Dumitras, Lect.univ.dr. Mircia Gurz˘au Lect.univ.dr. Vasile Ile Lect.univ.dr. Tania Angelica Laz˘ar Lect.univ.dr. Rozica Moga Lect.univ.dr. Vicut, a Neagos, Lect.univ.dr. Liana Timbos, Lect.univ.dr. Floare Ileana Tomut, a U. T. PRESS Cluj-Napoca 2024
Subiect și barem · pagina 2
Coordonator Prof.univ.dr. Dumitru Mircea Ivan Referent, i: Conf.univ.dr. Ovidiu Furdui Prof.univ.dr. Ioan Gavrea Prof.univ.dr. Alexandru Mitrea Conf.univ.dr. Vasile Pop Prof.univ.dr. Dorian Popa Conf.univ.dr. Mircea Dan Rus Prof.univ.dr. Neculae Vornicescu Editura U. T. PRESS 2024
Subiect și barem · pagina 3
Prefat, ˘a Culegerea de probleme Teste gril˘a de matematic˘a continu˘a tradit, ia Universit˘at, ii Tehnice din Cluj-Napoca de a selecta viitorii student, i printr-un concurs de admitere pe baza subiectelor sub form˘a de gril˘a. Prezenta culegere a fost elaborat˘a cu scopul de a contribui la o mai bun˘a preg˘atire a candidat, ilor la admitere s, i de a-i familiariza cu noua tipologie a subiectelor. Structurat˘a pe patru capitole: Algebr˘a, Analiz˘a matematic˘a, Geometrie analitic˘a s, i Trigonometrie, culegerea contribuie la recapitularea materiei din Programa pentru Bacalau- reat M mate-info 2024. Parcurgˆand toate gradele de dificultate, de la probleme foarte simple care necesit˘a un minim de cunos, tint, e, pˆan˘a la probleme a c˘aror rezolvare presupune cunos, tint, e temeinice, lucrarea este util˘a tuturor categoriilor de elevi care se preg˘atesc pentru un examen de mate- matic˘a. Fiecare problem˘a propus˘a este urmat˘a de cinci r˘aspunsuri dintre care numai unul este corect. La sfˆars, it se dau r˘aspunsurile corecte. Testele care se vor da la simularea de admitere s, i la concursul de admitere vor cont, ine probleme cu grade diferite de dificultate, alc˘atuite dup˘a modelul celor din culegere. Autorii
Subiect și barem · pagina 4
∗ ∗ ∗
Subiect și barem · pagina 5
Cuprins 1 Algebr˘a 1 2 Analiz˘a matematic˘a 33 3 Geometrie analitic˘a 73 4 Trigonometrie 79 5 Simulare admitere 13 mai 2017 89 6 Admitere 16 iulie 2017 95 7 Simulare admitere 12 mai 2018 101 8 Admitere 16 iulie 2018 107 9 Simulare admitere 18 mai 2019 113 10 Admitere 24 iulie 2019 117 11 Simulare admitere 8 mai 2021 123 12 Admitere 22 iulie 2021 129 13 Simulare admitere 7 mai 2022 135 14 Admitere 15 iulie 2022 141 15 Simulare admitere 6 mai 2023 147 16 Admitere 17 iulie 2023 153 17 Autori/Propun˘atori 159 18 R˘aspunsuri 165 19 Indicat, ii 171 v
Subiect și barem · pagina 6
∗ ∗ ∗
Subiect și barem · pagina 7
1
Algebr˘a
1
Mult, imea solut, iilor ecuat, iei z2 = 3 − 4i, z ∈ C, este:
A {1, 2} B {i, 2 − i} C {2 − i, −2 + i} D {3, −2 + i} E {2 − i, 3 + i}
2
Solut, ia ecuat, iei x(1 − lg 5) = lg(2x + x − 1) este:
A x = 1
5 B x = −1 C x = 1 D x = 1
2 E x = −5
3
Se consider˘a ecuat, ia 3{x}2 + 2{x} − 1 = 0, unde {x} este partea fract, ionar˘a a
num˘arului real x. Num˘arul solut, iilor situate ˆın intervalul [−2, 2] este:
A 2 B 1 C 4 D 3 E 0
4
Mult, imea solut, iilor reale ale sistemului
{ 2(x − 1) ≥ 4(x + 1)
x2 + 4x > 0 este:
A (−∞, −2) ∪ (1, ∞) B (−∞, −4) ∪ (2, ∞) C (−∞, −4) D (2, ∞) E (−1, 1)
5
Mult, imea valorilor parametrului real m pentru care graficul funct, iei f : R → R,
f (x) = (m + 1)x2 + 2(m + 2)x + m + 3, intersecteaz˘a axa Ox ˆın dou˘a puncte distincte
este:
A R B ∅ C {−3} D R r {−1} E R r {1}
1Subiect și barem · pagina 8
1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
Fie f ∈ R[X], f = X100 + aX99 + bX + 1.
6 Valorile coeficient, ilor a s, i b pentru care x = 1 este r˘ad˘acin˘a dubl˘a sunt:
A a = −1; b = −1 B a = 2; b = −4 C a = −2; b = 0 D a = 0; b = −2
E a = 4; b = −2
7 Valorile coeficient, ilor a s, i b pentru care f se divide cu X2 + X + 1 sunt:
A a = 1; b = 1 B a = −1; b = −1 C a = −1; b = 0 D a = 1; b = −1
E a = 0; b = −1
8 Valorile coeficient, ilor a s, i b pentru care restul ˆımp˘art, irii polinomului f la
X3 − X2 − X + 1 este X2 + X + 1 sunt:
A a = 2; b = −1 B a = 0; b = 1 C a = −1; b = 2 D a = −1; b = 1 E a = 1; b = 0
Se d˘a funct, ia f (x) = mx2 + 2(m + 1)x + m2 − 1, unde m 6 = 0 este parametru real.
9 Pentru ce valori ale lui m, f (x) > 0, ∀x ∈ R?
A m ∈ (0, +∞) B m ∈ (1 + √2, +∞) C m ∈ (0, 1 + √2) D m ∈ (1 − √2, 1 + √2)
E m ∈ (−1, 1 − √2) ∪ (1 + √2, +∞)
10 Pentru ce valori ale lui m, f (x) < 0, ∀x ∈ R?
A m ∈ (−∞, 0) B m ∈ (1 − √2, 1 + √2) C m ∈ (−1, 1 − √2)
D m ∈ (−∞, 1 − √2) E m ∈ (−1, 1 − √2) ∪ (0, ∞)
11 Pentru ce valori ale lui m funct, ia admite r˘ad˘acin˘a dubl˘a?
A m ∈ {±1} B m ∈ {1, ±√2} C m ∈ {±√2} D m ∈ {−1, 1 − √2, 1 + √2}
E m ∈ {0, 1, ±√2}
Se consider˘a ecuat, ia 2x2 − 2mx + m2 − 2m = 0, unde m ∈ R, iar x1 s, i x2 sunt r˘ad˘acinile
reale ale ecuat, iei.
12 Suma r˘ad˘acinilor x1 + x2 apart, ine intervalului
A [0, 1] B [0, 4] C R D [0, 2] E [−1, 4]
13 Suma p˘atratelor r˘ad˘acinilor x2
1 + x2
2 apart, ine intervalului
A [0, 4] B [−2, 4] C [0, 8] D R E [0, 3]
14 Produsul r˘ad˘acinilor x1x2 apart, ine intervalului
A [−2, 0] B [0, 4] C [− 1
2 , 4] D R E (0, 2)
— 2 —Subiect și barem · pagina 9
1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
Fie funct, iile fm : R → R, fm(x) = mx2 + 2(m − 1)x + m − 1, m ∈ R.
15 Mult, imea valorilor parametrului m pentru care ecuat, ia fm(x) = 0 are cel put, in o
r˘ad˘acin˘a real˘a este:
A (−∞, 1) B (−∞, 1] C R D alt r˘aspuns E [0, ∞)
16 Vˆarfurile parabolelor asociate funct, iilor fm, m 6 = 0, se g˘asesc pe:
A parabola y = x2 + 2 B dreapta x + 2y = 0 C dreapta y = x
D dreapta y = −x E o paralel˘a la Ox
Fie funct, ia g : R → R definit˘a prin g(x) =
{ x + 2, dac˘a x ≤ 0
3x + 2, dac˘a x > 0.
17 Solut, ia inecuat, iei g(x) ≥ 0 este:
A [−2, ∞) B [−2, 0] C [− 2
3 , ∞) D [−2, − 2
3 ] E [0, ∞)
18 Funct, ia g−1 : R → R este dat˘a de:
A g−1(x) =
{ x−2
3 , dac˘a x ≥ 2
x−2
4 , dac˘a x < 2 B g−1(x) =
{ x − 2, dac˘a x ≤ 2
x−2
3 , dac˘a x > 2
C g−1(x) =
{ x−1
3 , dac˘a x ≤ 2
2x − 3, dac˘a x > 2 D g−1(x) =
{ 2x − 1, dac˘a x ≤ 2
x+2
3 , dac˘a x > 2
E g−1(x) =
{ x + 2, dac˘a x ≤ 2
x+2
3 , dac˘a x > 2
19
Se dau funct, iile f, g : R → R definite prin
f (x) =
{ 5x + 1, x < 0
1 − x2, x ≥ 0 , g(x) =
{ x2, x ≤ −2
2x − 1, x > −2 .
Funct, ia h : R → R, h = f ◦ g este definit˘a prin:
A h(x) =
{ 1 − x4, x ≤ −2
4x(1 − x), x > −2 B h(x) =
1 − x4, x ≤ −2
4x(1 − x), x ≥ 1
2
2(5x − 2), −2 < x < 1
2
C h(x) =
{ 4x(1 − x), x ≤ 1
2
2(5x − 2), x > 1
2
D h(x) =
1 − x4, x < −2
2(5x − 2), x > 1
2
4x(1 − x), −2 ≤ x ≤ 1
2
E h(x) =
{ 2(5x − 2), x ≥ −2
1 − x4, x < −2
20
Fie P ∈ R[X], P (x) = x3 + ax2 + bx + c, un polinom cu r˘ad˘acinile x1, x2, x3 distincte
dou˘a cˆate dou˘a. Pentru Q ∈ R[X] polinom de grad 1,
suma Q(x1)
P ′(x1) + Q(x2)
P ′(x2) + Q(x3)
P ′(x3) este egal˘a cu
A x1 + x2 + x3 B x1x2x3 C P (x1 + x2 + x3) D 1 E 0
— 3 —Subiect și barem · pagina 10
1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
21
Fie P, Q, R : C → C funct, ii polinomiale de grad cel mult doi s, i a, b, c ∈ C astfel ca
∣
∣
∣
∣
∣
∣
P (a) Q(a) R(a)
P (b) Q(b) R(b)
P (c) Q(c) R(c)
∣
∣
∣
∣
∣
∣ = 1.
Suma
∣
∣
∣
∣
∣
∣
P (1) Q(1) R(1)
P (b) Q(b) R(b)
P (c) Q(c) R(c)
∣
∣
∣
∣
∣
∣ +
∣
∣
∣
∣
∣
∣
P (a) Q(a) R(a)
P (1) Q(1) R(1)
P (c) Q(c) R(c)
∣
∣
∣
∣
∣
∣ +
∣
∣
∣
∣
∣
∣
P (a) Q(a) R(a)
P (b) Q(b) R(b)
P (1) Q(1) R(1)
∣
∣
∣
∣
∣
∣ este:
A 0 B 1 C 3 D P (0) + Q(0) + R(0) E P (1)Q(1)R(1)
22
S˘a se g˘aseasc˘a num˘arul complex z dac˘a |z| − z = 1 + 2i.
A z = 3
2 − 2i B z = 3
2 + 2i C z = 1
2 − 3i D z = 1
2 + 3i E z = − 1
2 + 3i
Fie f : C → C, f (z) = z2 + z − ¯z.
23 Solut, iile ecuat, iei f (z) = 0 sunt:
A {0, 1 + 2i, 1 − 2i} B {0, 1 + i, 1 − i} C {0, i, −i} D {0, 2 + i, 2 − i}
E {0, −1 + i, −1 − i}
24
Se consider˘a ecuat, ia log2(9x−1 + 7) = 2 + log2(3x−1 + 1). Mult, imea solut, iilor ecuat, iei are:
A un element B dou˘a elemente C nici un element D trei elemente
E o infinitate de elemente
25
S˘a se rezolve ˆın R ecuat, ia log1+x(2x3 + 2x2 − 3x + 1) = 3.
A x = 0 B x = −2 C x = 3 D x = 1
2 E x = 1
3
26
Mult, imea solut, iilor ecuat, iei 2 lg x
lg(5x − 4) = 1 este:
A {1, 4} B {4} C {10} D ∅ E R r {0, 4
5 }
27
Se consider˘a mult, imea tripletelor de numere reale (a, b, c) care verific˘a relat, ia
a2 + b2 + c2 = 1. Atunci min(ab + bc + ac) pentru aceast˘a mult, ime este:
A −1 B − 3
4 C − 1
2 D − 1
3 E nu exist˘a minim
— 4 —Subiect și barem · pagina 11
1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
Fie A1 =
{
x ∈ N | x = 2n + 1
n + 2 , n ∈ Z
}
s, i A2 =
{
x ∈ Z | x = 2n + 1
n + 2 , n ∈ Z
}
.
28 Mult, imea A1 este:
A A1 = {1, 2, 3} B A1 = N C A1 = {−2, 1, 4} D A1 = {1, 3, 5}
E A1 = ∅
29 Mult, imea A2 este:
A A2 = {−1, 1, 3, 5} B A2 = {3, 5} C A2 = {3} D A2 = ∅ E A2 = {−1}
30
Mult, imea solut, iilor inecuat, iei log 1
3
(log3 x) ≥ 1 este:
A [3, ∞) B (0, 3
√9) C (1, 3
√3] D ( 1
3 , 1] E (0, 1) ∪ ( 3
√3, +∞)
Restul ˆımp˘art, irii polinomului X10
31 la X + 1 este:
A −1 B 0 C 1 D 9 E alt r˘aspuns
32 la (X + 1)2 este:
A −10 B −10X C 10X + 9 D −10X − 9 E X − 9
33 la (X + 1)3 este:
A −9X2 + 22 B 45X2 + 80X + 36 C X + 2 D 1 E 0
34
Mult, imea solut, iilor ecuat, iei 2An−3
n x2 + 4An−2
n x + 3Pn = 0, n ≥ 3, este:
A {n, n
2
} B {1, A2
n
} C {−3} D {A3
n
} E ∅.
35
S˘a se determine primul termen a1 s, i rat, ia q a unei progresii geometrice (an)n∈N∗ dac˘a:{ a4 − a2 = 6,
a3 − a1 = 3.
A a1 = −1; q = 3 B a1 = 3; q = 1
2 C a1 = 2; q = −2
D a1 = 1; q = 2 E a1 = 1; q = 3.
36
Care sunt valorile coeficient, ilor reali a s, i b din ecuat, ia
x3 − ax2 + bx + 1 = 0,
dac˘a aces, ti coeficient, i sunt r˘ad˘acini ale ecuat, iei?
A a = 1, b = 0 B a = 1, b ∈ R C a = 1, b = −1 D a ∈ R, b = −1 E a ∈ R, b = 1
— 5 —Subiect și barem · pagina 12
1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 37 Coeficientul lui x99 din dezvoltarea polinomului (x − 1)(x − 2)(x − 3) . . . (x − 99)(x − 100) este: A −4950 B −5050 C 99 D −100 E 3450 38 Cel mai mare divizor comun al polinoamelor (x + 1)4n+3 + x2n, n ∈ N∗ s, i x3 − 1 este: A x3 − 1 B x − 1 C x2 + x + 1 D sunt prime ˆıntre ele E (x + 1)4n+3 + x2n 39 Valoarea expresiei (1 − α)(1 − α2)(1 − α4)(1 − α5), unde α ∈ C \ R, α3 = 1, este: A −1 B 9 C 0 D 9i E 3i 40 Fie numerele reale a, b, c, d ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞). Dac˘a loga b logb c logc d = 1 atunci: A a = b ∈ (0, 1) s, i c = d ∈ (1, ∞) B a = b ∈ (1, ∞) s, i c = d ∈ (0, 1) C a = c ∈ (0, 1) s, i b = d ∈ (1, ∞) D a = d E a = c ∈ (1, ∞) s, i b = d ∈ (0, 1) 41 Suma n∑ k=1 k · k! este: A n(n + 1) B n · n! C (n + 1)! − 1 D n! E 2n · n! Se consider˘a matricea U (a, b) = a b b b b a b b b b a b b b b a . 42 Matricea U (a, b) este singular˘a dac˘a s, i numai dac˘a A a = b B a 6 = −3b C (a − b)(3b + a) = 0 D a + 3b = 0 E alt r˘aspuns 43 U 11(1, 1) este A U (1, 1) B 4100U (1, 1) C 222U (1, 1) D 220U (1, 1) E 48U (1, 1) 44 Inversa matricei U (1, 2) este: A U (1, 2) B U (1, 2) − U (1, 1) C U (1,2)−6I4 7 D nu exist˘a E alt r˘aspuns — 6 —
Subiect și barem · pagina 13
1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 45 Dac˘a a2 + b2 = 1, atunci inversa matricei ( a −b b a ) ∈ M2(R) este: A ( −a −b b −a ) B ( a b b −a ) C ( a b −b a ) D ( 1 a − 1 b 1 b 1 a ) E ( a b b a ) 46 Inversa matricei A = 1 1 1 1 2 1 2 1 1 este matricea: A 1 1 1 1 2 1 2 1 1 B −1 0 1 −1 1 0 3 −1 −1 C 1 −1 0 1 0 1 3 2 1 D 1 1 1 −1 −1 −1 2 2 1 E 1 0 −1 −1 0 2 2 1 −4 47 Matricea A = 1 2 −1 −1 3 0 2 a 3 are rangul minim pentru: A a = 0 B a = 1 C a = 7 D a = 21 E a = −21 Se consider˘a matricea: A = 1 1 1 1 1 −i −1 i 1 −1 1 −1 1 i −1 −i . 48 Determinantul matricei A este: A 16i B −16i C 16 D −16 E 0 49 A4 este: A I4 B 2I4 C 4I4 D 16I4 E 256I4 50 Num˘arul solut, iilor n ∈ Z ale ecuat, iei 16A8n + 16I4 = 257A4n este: A 16 B 8 C 4 D 2 E 1 — 7 —
Subiect și barem · pagina 14
1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 Se d˘a matricea A = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 . 51 det A este: A 1 B 0 C −1 D 2 E ∞ 52 Num˘arul de solut, ii ˆın M3(R) ale ecuat, iei X2 = A este: A 10 B 1 C 2 D 0 E ∞ 53 Sistemul de ecuat, ii cu parametrul real m, x + 2y = 1 6x − 8y = 1 5x + 2y = m , este compatibil numai dac˘a: A m = 0 B m = 1 C m = 2 D m = 3 E m = 4 54 Sistemul de ecuat, ii cu parametrii m, n ∈ R mx + y − 2z = 2 2x + y + 3z = 1 (2m − 1)x + 2y + z = n este compatibil nedeterminat pentru: A m = 3; n 6 = 3 B m 6 = 3; n = 3 C m = 3; n = 3 D m 6 = 3; n 6 = 3 E m = 5; n = 3 55 Dac˘a 1 1 2 0 1 1 0 0 1 n = 1 n 44 0 1 n 0 0 1 , n ∈ N, atunci: A n = 1 B n = 2 C n = 4 D n = 8 E n = 16 56 Fie m, n ∈ R, x1, x2, x3 r˘ad˘acinile ecuat, iei x3 + mx + n = 0 s, i matricea A = 1 1 1 x1 x2 x3 x2 1 x2 2 x2 3 . Determinantul matricei A2 este: A −4m3 − 27n2 B 4m3 − 27n2 C −4m3 + 27n2 D −2n3 − 27m2 E −3n3 − 27m2 57 Dac˘a a < b < c s, i D = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 1 1 a + 2 b + 2 c + 2 (a + 1)2 (b + 1)2 (c + 1)2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣, atunci: A D = 0 B D ≤ 0 C D < 0 D D > 0 E D = −a2 − b2 − c2 — 8 —
Subiect și barem · pagina 15
1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
58
Mult, imea valorilor a ∈ R pentru care rangul matricei
A =
1 3 5 7
−2 −1 −5 −4
2 0 4 a
este egal cu 2, este
A ∅ B {0} C {2} D {−2, 2} E R r {−2, 2}
Se consider˘a sistemul
(S) :
x +2y +3z = 1
2x −y +az = −3
3x +y +4z = b
.
59 (S) este compatibil determinat dac˘a s, i numai dac˘a
A a = 0 B a 6 = 1, b ∈ R C a = 1, b = −2
60 (S) este compatibil nederminat dac˘a
A a = 1, b = −2 B a = 1, b = 2 C a 6 = 1, b ∈ R D a = 2, b = 1
61 (S) este incompatibil dac˘a s, i numai dac˘a
A a = 1, b = 2 B a 6 = 2, b = 1 C a 6 = 1, b 6 = −2 D a 6 = 0, b = 2 E a = 1, b 6 = −2
62
Num˘arul valorilor parametrului real m pentru care sistemul
2x + 2y + mxy = 5
(m − 1)(x + y) + xy = 1
3x + 3y − xy = m + 1
, are solut, ii (x, y) ∈ R × R, este:
A 0 B 1 C 2 D 3 E 4
63
Dac˘a sistemul de ecuat, ii
2x + ay + 4z = 0
x − y − z = 0
3x − 2y − z = 0
, a ∈ R
este compatibil determinat, atunci:
A a = 1 B a ∈ R r {1} C a ∈ R∗ D a ∈ (0, ∞) E a ∈ (1, ∞)
64
Dac˘a A =
( cos t − sin t
sin t cos t
)
, t ∈ R, atunci:
A An =
( cosn t − sinn t
sinn t cosn t
)
B An =
( cos tn − sin tn
sin tn cos tn
)
C An =
( cos nt − sin nt
sin nt cos nt
)
D An =
( sin nt − cos nt
cos nt sin nt
)
E An =
( cosn t − sinn t −n sin t cos t
n sin t cos t cosn t − sinn t
)
— 9 —Subiect și barem · pagina 16
1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
65
Dac˘a A =
( √3 −1
1 √3
)
∈ M2(R), atunci A12 este:
A
( 36 1
1 36
)
B
( 1 0
0 1
)
C
( 12√3 −12
12 12√3
)
D 212
( 1 0
0 1
)
E
( (√3)12 (−1)12
1 (√3)12
)
66
Mult, imea solut, iilor ecuat, iei
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x 1 2
1 2x 3
−1 −2 x
∣
∣
∣
∣
∣
∣ + 3
∣
∣
∣
∣ x −1
2 −3
∣
∣
∣
∣ + 3 = 0 este:
A {−1} B {−1, 1, −i, i} C {−1, 0, 1 − i√3, 1 + i√3} D
{
−1, 1−i√3
2 , 1+i√3
2
}
E {−1, 1−i
2 , 1+i
2
}
Se d˘a mult, imea M = [5, 7] s, i operat, ia ∗ definit˘a prin
x ∗ y = xy − 6x − 6y + α.
67 Valoarea parametrului real α pentru care mult, imea M este parte stabil˘a ˆın raport cu
operat, ia ∗ este:
A α = 42 B α = 36 C α = −36 D α = 6 E α = −6
68 In monoidul (M, ∗), elementul neutru este:
A e = 7 B e = 6 C e = 5 D e = 1 E nu exist˘a
69 In monoidul (M, ∗), mult, imea elementelor simetrizabile este:
A [5, 7] \ {6} B {6} C {5, 7} D [5, 7] E R \ {6}
Definim pe Z × Z legea de compozit, ie (x, y) ∗ (a, b) = (xa, xb + ya).
70 Elementul neutru al legii ∗ este:
A (0, 1) B (1, 0) C (0, 0) D (1, 1) E (−1, 1)
71 Num˘arul elementelor simetrizabile (x, y) avˆand proprietatea x2 + y2 + x + y = 8, este:
A 4 B 1 C 2 D 3 E 0
72
Fie legea de compozit, ie ∗ definit˘a prin x ∗ y = x−y
1−xy , ∀x, y ∈ (−1, 1). Elementul neutru
pentru aceast˘a lege este:
A e = 0 B nu exist˘a C e = 1 D e = −1 E 1
2
— 10 —Subiect și barem · pagina 17
1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
73
Pe mult, imea Z a numerelor ˆıntregi se defines, te legea ∗ prin x ∗ y = x + y − 2, ∀x, y ∈ Z.
S˘a se determine simetricul x′ al lui x.
A x′ nu exist˘a B x′ = 1 − x C x′ = 4 − x D x′ = 1
x E x′ = −x
Pe mult, imea C a numerelor complexe definim legea de compozit, ie ∗ prin
z1 ∗ z2 = z1 + z2 − z1z2.
74 Num˘arul 2 ∗ i este:
A 2 − i B 2i C 2 + i
75 Elementul neutru fat, ˘a de ∗ este:
A 1 B 0 C i D −1
76 Elementul simetric al lui i fat, ˘a de ∗ este:
A −i B 1 − i C 1−i
2 D 1+i
2
Se consider˘a funct, ia f : R → R, f (x) = x2 − (m − 1)x + 3m − 4, m ∈ R.
77 Mult, imea valorilor lui m pentru care f se anuleaz˘a ˆın (0, 1) s, i f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (0, 1)
este:
A (−∞, 7 − 4√2) B (7 + 4√2, ∞) C {7 − 4√2, 7 + 4√2} D {7 − 4√2} E ∅
78 Mult, imea valorilor lui m pentru care f (x) < 0, ∀x ∈ (0, 1) este
A (0, 1) B (2, ∞) C (−∞, 1] D ∅ E (0, ∞)
Se consider˘a funct, ia f : R → R, f (x) = x2 − mx + 2, m ∈ R.
79 Mult, imea valorilor lui m pentru care f este strict cresc˘atoare pe intervalul [−1, 1] este
A [−2, 2] B (−∞, −2) C (−∞, −2] D R E Alt r˘aspuns
80 Mult, imea valorilor lui m pentru care f este injectiv˘a pe [−1, 1] este:
A R B (−1, 1) C (−∞, −2] ∪ (2, ∞) D (−2, 2) E Alt r˘aspuns
81
Familia de parabole asociate funct, iilor
fm(x) = (m + 1)x2 − 3mx + 2m − 1, m ∈ R r {−1},
A are un punct fix pe axa Oy B are un punct fix situat pe prima bisectoare
C are dou˘a puncte fixe D are trei puncte fixe E nu are puncte fixe
— 11 —Subiect și barem · pagina 18
1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
Fie parabolele de ecuat, ii: P1 : y = x2 + 5x + 4
s, i P2 : y = (m − 1)x2 + (4m + n − 4)x + 5m + 2n − 4, unde m, n ∈ R, m 6 = 1.
82 Parabolele se intersecteaz˘a ˆın A(−2, −2) s, i B(0, 4) dac˘a:
A m = −2, n = 9 B m = 2, n = −9 C m = 5, n = 4 D m = 1
2 , n = 3
E m = 1
3 , n = −2
83 Parabolele au singurul punct comun C(1, 10) dar nu sunt tangente dac˘a:
A m = − 2
3 , n = 1
3 B m = 2, n = − 1
3 C m = − 1
3 , n = 3 D m = −2, n = 1
2
E m = n = 2
84 Parabolele sunt tangente ˆın punctul T (−2, −2) dac˘a:
A m = 0, n = −3 B m = 2, n = −1 C m = −2, n = −1 D m = −2, n = 1
E m = 1
2 , n = −4
85
Fie E(x) = x2 − 2(m − 1)x + m + 1
mx2 − mx + 1 . Mult, imea valorilor reale ale lui m pentru care E
este bine definit˘a oricare ar fi x ∈ R, este:
A R B {4} C {−1} D (0, 4) E alt r˘aspuns
86
Mult, imea valorilor parametrului real m pentru care
(m − 1)x2 + (m − 1)x + m − 3 < 0, ∀x ∈ R
este:
A ∅ B (−∞, 1) ∪ ( 11
3 , ∞) C (−∞, 0) D (−∞, 1) E alt r˘aspuns
87
Mult, imea valorilor lui a ∈ R∗, pentru care parabolele asociate funct, iilor
fa(x) = ax2 − (a + 2)x − 1 s, i ga(x) = x2 − x − a sunt tangente, este:
A {−1, 2} B {3, −1} C {3} D { 1
3 , 3} E ∅
88
Ecuat, ia x4 + (2m − 1)x2 + 2m + 2 = 0, cu necunoscuta x s, i parametrul real m, are toate
r˘ad˘acinile reale dac˘a:
A m = 0 B 1 ≤ m ≤ 2 C −1 ≤ m ≤ − 1
2 D m ∈ ∅ E m > 1
2
89
Se d˘a ecuat, ia x3 − 3x2 + 2x − a = 0. R˘ad˘acinile ei sunt ˆın progresie aritmetic˘a dac˘a s, i
numai dac˘a
A a = 0 B a ∈ {0, 1} C a ∈ {−1, 1} D a = 2 E a = 3
— 12 —Subiect și barem · pagina 19
1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
Fie x1, x2, x3 r˘ad˘acinile ecuat, iei x3 − 2x + 3 = 0. Not˘am
Sk = xk
1 + xk
2 + xk
3 , k ∈ Z.
90 S−1 este:
A 0 B 2
3 C − 2
3 D 1 E −1
91 S−2 este:
A 4
9 B − 4
9 C 2
3 D − 3
2 E 0
92 S4 este:
A 4 B 4
9 C −4 D 8 E −8
93
Dac˘a funct, ia polinomial˘a P : R → R verific˘a egalit˘at, ile:
P (0) + · · · + P (n) = n5, n = 0, 1, . . . ,
atunci:
A P (0) = 0 B P (1) = 2 C P (0) + P (1) + P (2) = 3 D P (1) = 0 E alt r˘aspuns
94
Dac˘a funct, ia polinomial˘a P : R → R satisface egalit˘at, ile:
P (n) =
n∑
k=1
k10, n = 1, 2, . . . ,
atunci P (−2) este:
A 0 B −1 C 1023 D −1025 E alt r˘aspuns
Se d˘a ecuat, ia x3 − px2 + qx − r = 0, r 6 = 0.
95 Ecuat, ia admite dou˘a r˘ad˘acini opuse dac˘a:
A p + q = r B r2 − pq = 0 C rp − q = 1 D q2 − rp = 0 E pq − r = 0
96 R˘ad˘acinile sunt ˆın progresie geometric˘a dac˘a:
A p2r − q = 0 B p3 − rq = 0 C q2 − rp = 0 D q3 + p + q = 0 E p3r − q3 = 0
97
Mult, imea solut, iilor reale ale ecuat, iei
√
x + 2 − 4√x − 2 +
√
x + 7 − 6√x − 2 = 1
este:
A {5, 12} B {7, 10} C [2, ∞) D [6, 11] E {8, 12}
— 13 —Subiect și barem · pagina 20
1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
98
Mult, imea solut, iilor reale ale inecuat, iei √x + 2 − √x + 3 < √2 − √3 este:
A (−∞, 0) B [−2, 0) C [−2, ∞) D ∅ E (0, ∞)
Se consider˘a funct, ia f (x) = 3
√x + √x − 11.
99 Mult, imea de definit, ie a funct, iei este:
A R B [0, ∞) C (−∞, 0) D [11, ∞) E (−∞, 11)
100 Mult, imea solut, iilor reale ale ecuat, iei f (x) = 7 este:
A {27} B {0} C {11} D {1} E cont, ine cel put, in dou˘a elemente
101
Cˆate solut, ii ˆıntregi are ecuat, ia
8(4x + 4−x) − 54(2x + 2−x) + 101 = 0?
A 2 B 4 C 1 D nici una E 3
102
Mult, imea valorilor reale ale lui a, pentru care funct, ia
f : R → R, f (x) = x3 + ax + 1,
este injectiv˘a, este:
A (−∞, 0) B [0, ∞) C ∅ D {1} E R
103
Mult, imea valorilor parametrului real m pentru care ecuat, ia
(m − 2)x2 − (2m + 1)x + m − 3 = 0
are r˘ad˘acinile ˆın C \ R cu partea real˘a negativ˘a este:
A (− 1
2 , 23
24
) B (−∞, 23
24
) C [− 1
2 , ∞) D [ 23
24 , ∞) E ∅
104
Valoarea minim˘a a funct, iei f : R → R,
f (x) = (x − a1)2 + (x − a2)2 + · · · + (x − an)2
unde a1, a2, . . . , an ∈ R, se obt, ine pentru:
A x = 0 B x = a1 C x = a2 D x = a1+a2+···+an
n E x = a1+an
2
105
Funct, ia f : R → R , f (x) =
{ x2 + 2mx − 1 ; x ≤ 0
mx − 1 ; x > 0 , m ∈ R∗, este injectiv˘a dac˘a:
A m ∈ (−∞, 1) B m ∈ (1, ∞) C m ∈ (−∞, 0) D m ∈ (0, ∞) E m ∈ (−1, 1)
— 14 —Subiect și barem · pagina 21
1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
106
Fie f : R → R, f (x) =
{ x + m, x ≤ 1
2mx − 1, x > 1 . Funct, ia f este surjectiv˘a dac˘a s, i numai
dac˘a:
A m ∈ (0, 1); B m ∈ (−∞, 2]; C m = 2; D m ∈ (0, 2]; E m ∈ (−∞, 1]
107
Sistemul
{ x2 + y2 = z
x + y + z = a , are o singur˘a solut, ie (x, y, z) ∈ R × R × R, dac˘a:
A a = − 1
2 B a = 1
2 C a = 2 D a = 1
4 E a = − 1
4
108
Mult, imea solut, iilor reale ale ecuat, iei x = √2 − x este:
A ∅ B {1, −2} C {1} D [1, 2] E {2}
109
Pentru ca funct, ia f : R → B, f (x) = x2−3x+2
x2+x+1 s˘a fie surjectiv˘a, trebuie ca:
A B = R B B =
[ 9−2√21
3 , 9+2√21
3
]
C B = [1, 2] D B = (1, 2) E B = [−3, 3]
110
Mult, imea valorilor lui a ∈ R pentru care valorile funct, iei f : R → R, f (x) = x2 − ax + 1
x2 + 1 ,
sunt cuprinse ˆın intervalul (0, 3), este:
A (−4, 4) B (−∞, −4) C (0, 3) D (−2, 2) E {−2, 2}
111
Num˘arul solut, iilor (x, y) ∈ R × R ale ecuat, iei 2 | x − 2 | +3 | y − 3 |= 0 este:
A 0 B 1 C 2 D 4 E o infinitate
112
Mult, imea solut, iilor reale ale ecuat, iei √x2 − 4x + 4 + √x2 + 4x + 4 = 2x este:
A [−1, 3] B (0, ∞) C [2, ∞) D [−2, 2] E (−∞, 2]
113
Solut, ia ecuat, iei (3 − 2√2)x − 2 (√2 − 1)x = 3 este:
A −1 B ln 2 C 2 D log2
(3 − 2√2) E 1
log3(√2−1) .
114
Solut, ia ecuat, iei ( 1
2
)x + ( 1
6
)x + √2
( √2
6
)x
= 1 este:
A orice num˘ar real B 1 C 0 D − 1
2 E ecuat, ia nu are solut, ie
115
Ecuat, ia (5 + √24)√x+1 + (5 − √24)√x+1 = 98 are mult, imea solut, iilor:
A {3} B {−3; 3} C {−3} D {√3; 3} E { 1
3 ; 3}
— 15 —Subiect și barem · pagina 22
1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
Fie f : (0, 1) → R, f (x) = 1
logx 2 logx 4 + 1
logx 4 logx 8 + · · · + 1
logx 2n logx 2n+1 , unde n ≥ 5 este
un num˘ar ˆıntreg.
116 f ( 1
2 ) este:
A n
n+1 B 1 C n+1
n D 1
2
n+1
n E 2 n+1
n
117 Solut, ia ecuat, iei f (x) = 4n
n+1 este:
A 1
2 B 1
4 C 1√2 D 4 E 1
2n
118
Mult, imea solut, iilor sistemului de ecuat, ii
{ x2 + y2 = 425
lg x + lg y = 2 este:
A {(1; 1)} B {(1; 1)}; (10; 10)} C {(20; 5); (5; 20)} D {(1; 10); (10; 1)}
E {(20; 5)}
119
Solut, iile ecuat, iei log2x 4x + log4x 16x = 4 apart, in mult, imii:
A {3} B {2} C
[ 1
2√2 , 2
]
D {log2 3} E (2, ∞)
120
Mult, imea solut, iilor inecuat, iei lg ((x3 − x − 1)2) < 2 lg(x3 + x − 1) este:
A R B (0, ∞) C (1, ∞) D (0, 1) E alt r˘aspuns
Fie funct, ia f : R → R, f (x) = 9x − 5x − 4x.
121 Num˘arul de solut, ii reale ale ecuat, iei f (x) = 0 este:
A 0 B 1 C 2 D 3 E 4
122 Num˘arul de solut, ii reale ale ecuat, iei f (x) − 2√20x = 0 este:
A 0 B 1 C 2 D 3 E 4
123
Mult, imea solut, iilor ecuat, iei log3 x2 − 2 log−x 9 = 2 este:
A {x ∈ R | x < 0, x 6 = −1} B {−9} C ∅ D {9} E {− 1
3 , −9}
— 16 —Subiect și barem · pagina 23
1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
Se consider˘a funct, ia f : D → R, f (x) = ln(x + a)
√x , a ∈ R.
124 Domeniul de definit, ie al funct, iei este:
A (0, ∞) B (0, ∞) {1} C (a, ∞) D (−a, ∞) E ( −a+|a|
2 , ∞)
125 Mult, imea valorilor lui a pentru care f (x) > 0, pentru orice x ∈ D este:
A (−∞, 0) B (−1, 1) C [1, ∞) D (2, ∞) E alt r˘aspuns
126
Dac˘a log6 2 = a, atunci valoarea lui log6 324 este:
A a + 3 B 5a − 2 C 4 − 2a D a2(2 − a)4 E 3 + 2a
127
Fie a = lg 2 s, i b = lg 3. Dac˘a x = 3log27(lg 150)3
atunci:
A x = 3 − 2b + a B x = 2 + b − a C x = 1 D x + 1 = a + b E x = 81ab
128
Solut, ia S a sistemului
{ 2x5y = 250
2y5x = 40 este:
A S = ∅ B S = {(1, 3)} C S = {(1, 0), (1, 3)} D S = {(1, 0)}
E S = {(−1, 1), (1, 0)}
129 Valoarea expresiei 3
√√5 + 2 − 3
√√5 − 2 este:
A 1 B 3 C 2 D √5 E 2√5
130 Valoarea expresiei 3
√√50 + 7 − 3
√√50 − 7 este:
A 2√50 B 2 C 1 D 3 E √50
131
S, tiind c˘a a este r˘ad˘acina real˘a a ecuat, iei x3 + x + 1 = 0, s˘a se calculeze
3
√(3a2 − 2a + 2)(3a2 + 2a) + a2.
A a + 1 B 1 C 3 D 2 E a
132
Mult, imea valorilor parametrului real m pentru care
m 9x + 4(m − 1)3x + m > 1
oricare ar fi x real este:
A (−∞, 1) B [1, ∞) C (0, ∞) D (1, ∞) E ∅
— 17 —Subiect și barem · pagina 24
1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
133
Mult, imea solut, iilor inecuat, iei lg ((x − 1)10) < 10 lg x este:
A R B (0, ∞) C (0, 1) ∪ (1, ∞) D ( 1
2 , 1) ∪ (1, ∞) E ∅
134
Mult, imea solut, iilor inecuat, iei logx(1 + x) + logx2 (1 + x) + logx4 (1 + x) ≥ 7
4 este:
A (0, 1) ∪ (1, ∞) B (1, ∞) C (0, ∞) D ∅ E R
135
Valoarea sumei Sn = 1
1·4 + 1
4·7 + · · · + 1
(3n−2)(3n+1) , n ∈ N∗, este:
A n
3n+1 B 3n
3n+1 C n+1
3n+1 D n−1
3n+1 E n
3(3n+1)
136
Suma 1
2! + 2
3! + · · · + n
(n+1)! , n ∈ N∗, este egal˘a cu:
A 1
n+1 B 2n−1
2 C (n+1)!−1
(n+1)! D n2
(n+1)! E n
n+1
137
Suma n∑
k=3
A3
k Ck
n, n ≥ 3, are valoarea:
A 8C3
n B 2nA3
n C A3
n2n−3 D 2n−2C3
n+1 E 3n
138
Suma C1
n + 2C2
n + 3C3
n + · · · + nCn
n , n ∈ N∗, este egal˘a cu:
A n2n−1 B n2n − 1 C n D n(n+1)
2 E alt r˘aspuns
139
Suma
n∑
k=1
kCk
n
Ck−1
n
, n ∈ N∗, este egal˘a cu:
A n(n+1)
2 B
( n(n+1)
2
)2
C n(n+1)(2n+1)
4 D n(2n − 1) E n3 − n2 + n
140
Solut, ia ecuat, iei A6
x − 24xC4
x = 11A4
x apart, ine mult, imii:
A [5, 7] B [8, 10) C {10} D {4} E {6}
141
S˘a se determine termenul independent de a al dezvolt˘arii
( 1
3√a2 + 4
√a3
)17
.
A C6
17 B C7
17 C C8
17 D C10
17 E C11
17
142
O progresie aritmetic˘a cresc˘atoare (an)n≥1 verific˘a relat, iile a9 + a10 + a11 = 15 s, i
a9a10a11 = 120. Suma primilor 20 de termeni din progresie este:
A 150 B 100 C 120 D 110 E 160
— 18 —Subiect și barem · pagina 25
1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
143
Ecuat, ia x3 − (4 − i)x2 − (1 + i)x + a = 0, a ∈ R, are o r˘ad˘acin˘a real˘a dac˘a s, i numai dac˘a
a apart, ine mult, imii:
A {1, 2} B {0, 1} C {−1, 4} D {0, 4} E R
144
Pentru ce valori ale parametrului real b ecuat, ia
x3 + a(a + 1)x2 + ax − a(a + b) − 1 = 0
admite o r˘ad˘acin˘a independent˘a de a?
A 0 B 1 C 2 D a E −1
145
Numerele reale nenule a, b, c sunt r˘ad˘acinile ecuat, iei x3 − a x2 + b x + c = 0.
ˆIn acest caz tripletul (a, b, c) este:
A (1, 1, 1) B (−1, −1, −1) C (1, −1, 1) D (1, −1, −1) E alt r˘aspuns
146
Care este valoarea parametrului rat, ional m, dac˘a ecuat, ia
x4 − 7x3 + (13 + m)x2 − (3 + 4m)x + m = 0
admite solut, ia x1 = 2 + √3 s, i solut, iile x3 s, i x4 verific˘a relat, ia x3 = 2x4?
A −1 B 3
4 C 5
3 D 2 E 4
147
Solut, iile ecuat, iei zz + 2(z − z) = 20 + 8i, z ∈ C, sunt:
A ±2 + 4i B ±4 + 2i C 4 + 2i D 4 − 2i E alt r˘aspuns
148
Fie x1, x2, . . . , xn r˘ad˘acinile ecuat, iei xn − 3xn−1 + 2x + 1 = 0. Valoarea sumei
S =
n∑
k=1
xk
xk − 1 este:
A 3n − 5 B 2n + 1 C n
n−1 D n(n+1)
n2+n−1 E 0
149
Valoarea lui m pentru care ecuat, ia x3 − 6x2 + 11x + m = 0 are r˘ad˘acinile ˆın progresie
aritmetic˘a apart, ine mult, imii:
A [−1, 1] B [2, 4] C [−4, −2] D [−7, −5] E [5, 6]
150
Dac˘a ecuat, ia 2x3 + mx2 + 4x + 4 = 0 admite o r˘ad˘acin˘a real˘a dubl˘a, atunci m apart, ine
mult, imii:
A [−5, 0] B [0, 2] C [−8, −5] D {3} E (6, ∞)
— 19 —Subiect și barem · pagina 26
1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
151
Mult, imea valorilor lui m ∈ R pentru care ecuat, ia x3 − 28x + m = 0 are o r˘ad˘acin˘a egal˘a
cu dublul altei r˘ad˘acini este:
A {48} B {−48} C R r{48} D R r{−48} E {−48, +48}
152
Sistemul de ecuat, ii
x + y + z = 1
x2 + y2 + z2 = 3
1
x + 1
y + 1
z = 1
are:
A o solut, ie B dou˘a solut, ii C trei solut, ii D patru solut, ii E s, ase solut, ii
153
Se consider˘a ecuat, ia x4 − 5x3 + ax2 − 7x + 2 = 0 cu a parametru real. Valoarea sumei
4∑
i=1
1
xi
, unde xi sunt r˘ad˘acinile ecuat, iei, este
A − 7
2 B − 3
2 C 0 D 3
2 E 7
2
154
Valorile parametrului m ∈ R pentru care suma a dou˘a r˘ad˘acini ale ecuat, iei
x4 + 10x3 + m x2 + 50x + 24 = 0 este egal˘a cu suma celorlalte dou˘a r˘ad˘acini apart, in
mult, imii:
A [0, 10] B [−4, −1] C {5} D [30, 40] E [−1, 1]
Fie (x + 1)(x2 + 2)(x2 + 3)(x2 + 4)(x2 + 5) = 9∑
k=0
Akxk.
155 9∑
k=0
Ak este:
A 720 B 724 C 120 D 600 E alt r˘aspuns
156 4∑
k=0
A2k este:
A 360 B 120 C 100 D 240 E 300
157
Fie polinomul P ∈ C [X] , P = X3 + pX + q, cu r˘ad˘acinile x1, x2, x3. S˘a se determine
polinomul cu r˘ad˘acinile x2
1, x2
2, x2
3.
A X3 + 2pX2 + p2X − q2 B X3 + 2pX2 − 4pX + q C X3 + 2pX2 + p2X + q2
D X4 + qX2 + 5 E X3 − pX2 + qX + q2
158
Restul ˆımp˘art, irii polinomului 1 + X + X2 + · · · + X1998 la 1 + X este egal cu:
A 0 B −1 C 1 D 1997 E 1999
— 20 —Subiect și barem · pagina 27
1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
159
Polinomul (X2 + X − 1)n − X este divizibil cu polinomul X2 − 1 dac˘a s, i numai dac˘a:
A n = 2k, k ∈ N∗ B n = 3k, k ∈ N∗ C n = 2k − 1, k ∈ N∗ D n = 3k + 1, k ∈ N∗
E n = 3k + 2, k ∈ N∗
160
Polinomul (X2 + X + 1)n − X este divizibil cu polinomul X2 + 1 dac˘a s, i numai dac˘a:
A n = 3k, k ∈ N∗ B n = 4k, k ∈ N∗ C n = 4k + 1, k ∈ N D n = 4k + 2, k ∈ N∗
E n = 4k + 3, k ∈ N∗
161
Mult, imea valorilor parametrului real a, pentru care ecuat, ia x3 + ax + 1 = 0 are toate
r˘ad˘acinile reale s, i ele verific˘a relat, ia x4
1 + x4
2 + x4
3 = 18, este:
A {−12} B {3} C {−3} D {−3, 3} E ∅
162
Mult, imea valorilor parametrului real m pentru care ecuat, ia
x(x − 1)(x − 2)(x − 3) = m
are toate r˘ad˘acinile reale este:
A [−1, 9/4] B [−1, 9/16] C [−1, 9] D [1, 1/16] E ∅
163
Restul ˆımp˘art, irii polinomului P (X) = X100 + X50 − 2X4 − X3 + X + 1 la polinomul
X3 + X este:
A X + 1 B 2X2 + 1 C 2X2 − 2X − 1 D 2X2 + 2X + 1 E X2 + 1
164
Se consider˘a polinoamele cu coeficient, i complecs, i P (X) = a0 + a1X + · · · + anXn s, i
Q(X) = b0 + b1X + · · · + bmXm. S, tiind c˘a polinomul Q(X) se divide cu X − 1, s˘a se
determine suma coeficient, ilor polinomului P (Q(X)).
A
n∑
i=0
ai B
( n∑
i=0
ai
) ( m∑
i=0
bi
)
C anbm D a0 E a0b0
165
Un polinom de grad mai mare sau egal cu 2, ˆımp˘art, it la X − 1 d˘a restul 3 s, i ˆımp˘art, it la
X + 1 d˘a restul −5. Restul ˆımp˘art, irii la X2 − 1 este:
A −15 B 3X − 5 C −3X + 5 D 4X − 1
E nu se poate determina din datele problemei
166
Restul ˆımp˘art, irii polinomului X400 + 400X399 + 400 la polinomul X2 + 1 este:
A 400X + 401 B 400X − 399 C −400X + 401 D −400X + 399 E 0
— 21 —Subiect și barem · pagina 28
1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
Fie num˘arul complex z = 1 + i.
167 Num˘arul complex 1
z este:
A −1 − i B 1 − i C 1−i
2 D 1+i
2 E Alt r˘aspuns
168 Dac˘a zn este real, pentru o anume valoare n ∈ N∗, atunci num˘arul complex z2n este:
A in B −1 C 1 D 2n E (√2)n
169
Fie z1, z2 ∈ C. Dac˘a | z1 + z2 |= √3 s, i | z1 |=| z2 |= 1, atunci | z1 − z2 | este:
A 2 B 1 C √3 D √2 E √3 − 1.
170
Valoarea parametrului m ∈ R pentru care r˘ad˘acinile x1, x2, x3 ale ecuat, iei x3 +x+m = 0,
m ∈ R, verific˘a relat, ia x5
1 + x5
2 + x5
3 = 10 este:
A 1 B −1 C 3 D 2 E −2
171
Exist˘a matrice nenule X ∈ M2(R) astfel ca
( 1 a
a 1
)
X =
( 0 0
0 0
)
dac˘a s, i numai dac˘a:
A a = √2 B a ∈ {−3, 2} C a ∈ {−1, 1} D a ∈ R∗ E a ∈ {−2, 2}
172
Dac˘a x1, x2, x3 sunt r˘ad˘acinile ecuat, iei x3 − 2x2 + 2x + 6 = 0, atunci valoarea determi-
natului ∣
∣
∣
∣
∣
∣
x1 x2 x3
x2 x3 x1
x3 x1 x2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
este:
A 6 B 4 C 2 D 0 E −2
173
Dac˘a A ∈ Mn(C) este o matrice inversabil˘a astfel ca A + A−1 = 2In, atunci are loc
egalitatea:
A A = 3In B A3 + A−3 = 2In C A = −A D A2 + A−2 = In E A − A−1 = 2In
— 22 —Subiect și barem · pagina 29
1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 Fie x1, x2, x3, x4 r˘ad˘acinile polinomului P = X4 + X3 + X2 + X + 1. 174 1 x1 + 1 x2 + 1 x3 + 1 x4 este: A −1 B 1 C −2 D 1/2 E 0 175 x2 1 + x2 2 + x2 3 + x2 4 este: A 1 B −1 C −2 D −4 E 0 176 x8 1 + x18 2 + x28 3 + x38 4 este: A 1 B −23 C 24 D −1 E 4(1 + i) 177 Num˘arul solut, iilor ecuat, iei X2 = I2 ˆın M2(N) este: A 1 B 2 C 3 D 4 E 16 Se consider˘a ecuat, ia matriceal˘a X2 = 2X + 3I2, X ∈ M2(R). 178 X3 este: A 7X + 6I2 B 6X + 7I2 C I2 D X E 8X + 9I2 179 Num˘arul solut, iilor din M2(Z) ale ecuat, iei este: A 0 B 2 C 8 D 16 E infinit 180 Fie A ∈ M3,2(C). Atunci det(A · AT ) este: A strict pozitiv B strict negativ C zero D de modul 1 E 1 Se d˘a ecuat, ia: Xn = ( 3 6 2 4 ) , n ∈ N∗, X ∈ M2(R). 181 Determinantul matricei ( 3 6 2 4 ) este: A 0 B 1 C 2 D 3 E 4 182 Cˆate solut, ii are ecuat, ia pentru n impar? A 0 B 1 C 2 D n E o infinitate 183 Cˆate solut, ii are ecuat, ia pentru n par? A 0 B 1 C 2 D n E o infinitate — 23 —
Subiect și barem · pagina 30
1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
184
Mult, imea valorilor lui a ∈ R pentru care sistemul x + y + z = 0, x + 2y + az = 0,
x + 4y + a2z = 0 are solut, ie nebanal˘a, este:
A R B R r{1, 2} C {1, 3} D {1, 2} E {2, 3}
185
Dac˘a A =
( a b
c −a
)
∈ M2(R) s, i n ∈ N∗, atunci:
A An = (a2 + bc)I2 B An = (a2 + bc)nI2 C A2n = (a2 + bc)nI2
D A2n+1 = (a2 + bc)nI2 E A2n = (a2 + bc)nA
186
Mult, imea valorilor parametrului real a pentru care sistemul de ecuat, ii
ax + y + z = 0
x + ay + z = 0
x + y + az = 0
x2 + y2 + z2 = 1
este compatibil este:
A R B ∅ C {−2, 1} D R r{−2, 1} E {−2}
187
Matricea A =
1 0 1
0 1 0
1 0 1
verific˘a relat, ia A3 = pA2 + qA pentru:
A p = −2, q = 3 B p = −2, q = 2 C p = 3, q = −2 D p = −3,q = 2
E p = 1, q = 1
188
Mult, imea valorilor reale ale lui m, pentru care sistemul
mx + y + z = 1
x + 2my + z = 1
x + y + z = 0
este compatibil determinat s, i solut, ia (x, y, z) verific˘a relat, ia x + y ≥ z, este:
A (−∞, 1] B [−1, ∞) C ( 1
2 , 2
3
] ∪ (1, ∞) D (0, 1) E (−1, 1)
189
Mult, imea valorilor lui x ∈ R, pentru care determinantul
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 1 1
1 x −1 2
1 x3 −1 8
1 x2 1 4
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
este nul, este:
A {−1, 1, 2} B R r{−1, 1, −2} C {−1, 1, −2} D ∅ E {1}
— 24 —Subiect și barem · pagina 31
1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
190
Pe R se defines, te legea de compozit, ie: x ∗ y = xy − ax + by. Numerele a, b ∈ R pentru
care (R,∗) este monoid sunt:
A a = b 6 = 0 B a = 0, b = 1 C a = b = 0 sau a = −1, b = 1 D a = −1, b = 0
E nu exist˘a astfel de numere
191
Fie grupurile (C∗, ·) s, i (R∗, ·). S˘a se determine a ∈ R∗ s, i b ∈ R astfel ca funct, ia
f : C∗ → R∗, f (z) = a|z| + b, s˘a fie morfism de grupuri.
A a = 2, b = 1 B a = −1, b = 1 C a = 1, b = 0 D a = −2, b = 3 E a = 0, b = 5
192
Mult, imea elementelor inversabile ale monoidului (Z[i], ·) este:
A {−2, 2} B {−1, 1, −i, i} C {1 − i, 1 + i} D {1, i, 2i, −2} E ∅
193
Fie m ∈ Z s, i operat, ia ∗ definit˘a prin x ∗ y = xy + mx + my + a. Valoarea lui a pentru
care operat, ia ∗ defines, te o structur˘a de monoid pe Z este:
A 1 − m B m2 C m − 1 D 0 E m2 − m
Pe mult, imea numerelor reale R se defines, te legea de compozit, ie ” ∗ ” prin
x ∗ y = xy − 2x − 2y + λ, λ ∈ R.
194 Legea ” ∗ ” este asociativ˘a pentru:
A λ = 1 B λ = 2 C λ = −1 D λ = −3 E λ = 6
195 Mult, imea M = (2, ∞) este parte stabil˘a a lui R ˆın raport cu legea ” ∗ ” pentru:
A λ = 2 B λ = 3 C λ < 3 D λ ≥ 6 E λ > 6
196 Legea ” ∗ ” are element neutru pentru:
A λ = 4 B λ = 6 C λ = −6 D λ = 1 E λ = 0
197
Legea de compozit, ie x ∗ y = n
√xn + yn, determin˘a pe R o structur˘a de grup, dac˘a s, i
numai dac˘a:
A n = 1 B n = 3 C n = 2k, k ∈ N∗ D n = 2k + 1, k ∈ N∗ E n ≥ 2, n ∈ N
198
In monoidul (M2(Z), ·) mult, imea elementelor inversabile este:
A {A | det A 6 = 0} B {A | det A = 1} C {−I2, I2}
D {A | det A2 = 0} E {A | det A ∈ {−1, 1}}
— 25 —Subiect și barem · pagina 32
1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
199
S˘a se determine grupul (G, ∗), s, tiind c˘a funct, ia
f : (0, ∞) → G, f (x) = x + 1,
este un izomorfism al grupurilor ((0, ∞), ·) s, i (G, ∗).
A G = (0, ∞) s, i x ∗ y = xy B G = (1, ∞) s, i x ∗ y = xy
C G = (1, ∞) s, i x ∗ y = xy − x − y + 2 D G = R s, i x ∗ y = x + y
E G = (1, ∞) s, i x ∗ y = x + y − 1
200
Se consider˘a grupurile G = (R , +) s, i H = (R, ∗), unde x∗y = x+y+1. Funct, ia f : R → R
f (x) = ax + b este izomorfism de la G la H, dac˘a s, i numai dac˘a:
A a = b = 1 B a = −1, b = 1 C a 6 = 0, b = −1 D a = 1, b 6 = 0
E a = 1, s, i b = 0
Fie monoidul (M, ·) unde M = {Aa | a ∈ R} cu Aa =
a 0 a
0 0 0
a 0 a
.
201 Matricea A1 · A1 este:
A A1 B A2 C A3 D A4 E A−1
202 Elementul unitate este:
A I3 B A1 C A0 D A 1
2 E A−1
203 Inversul elementului A1 este:
A A 1
4 B A4 C A 1
2 D A2 E A−1
Pe R se consider˘a legea de compozit, ie x ∗ y = ax + by + c, a 6 = 0, b 6 = 0.
204 ∗ este asociativ˘a dac˘a s, i numai dac˘a
A a = b, c = 0 B a = b = 1, c ∈ R C a = b = c = 2 D a = b = −1, c = 2
E alt r˘aspuns
205 ∗ este asociativ˘a s, i admite element neutru dac˘a s, i numai dac˘a
A a = b = 1, c = 0 B a = b = 1, c ∈ R C a = b = c = 2
D a = b = 2, c = 0 E alt r˘aspuns
206 (R, ∗) este grup dac˘a s, i numai dac˘a
A a = b = 1, c = 0 B a = b = 1, c ∈ R C a = b = c = 2
D a = b = 2, c = 0 E alt r˘aspuns
— 26 —Subiect și barem · pagina 33
1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
207
Funct, ia f : Z → Z, f (x) = ax este automorfism al grupului (Z, +) dac˘a s, i numai dac˘a:
A a = 1, B a = −1 C a ∈ {−1, 1} D a ∈ Z∗ E a ∈ {0, 1}
208
Fie funct, ia f : R → R, f (x) = ax + b
x2 + 1 , a, b ∈ R. Mult, imea perechilor (a, b) ∈ R × R
pentru care imaginea funct, iei f este Im f = [−3, 1] este:
A {(0, 0)} B {(1, −√2)} C {(2√3, −2) , (−2√3, −2)} D {( 1
2 , √2) , (− 1
2 , √2)}
E {(0, 1), (1, 0)}
209
Imaginea funct, iei f : R → R, f (x) = x2 + ax + 1
x2 + x + 1 , a ∈ R, este inclus˘a ˆın intervalul [0, 2] ,
dac˘a:
A a ≥ 3 B a ≤ −2 C a ∈ [−1, 0) D a ∈ [0, 2] E a ∈ (−2, −1)
210
Mult, imea valorilor lui x, pentru care este definit radicalul 6−x2√x, cont, ine:
A 5 elemente B 7 elemente C un interval D 4 elemente E nici un element
211
Mult, imea numerelor complexe z care verific˘a ecuat, ia z2 − 2 |z| + 1 = 0 este:
A {−1, 1} B {1 − i, i + 1} C {−1, 1, (√2 − 1)i, (1 − √2)i}
D {−1, 1, 1 − i} E ∅
212
Se consider˘a ecuat, ia ax2 + bx + c = 0, unde a, b, c sunt numere ˆıntregi impare. Care din
urm˘atoarele afirmat, ii este adev˘arat˘a?
A ecuat, ia are o r˘ad˘acin˘a par˘a B ecuat, ia are o r˘ad˘acin˘a impar˘a
C ecuat, ia are dou˘a r˘ad˘acini pare D ecuat, ia nu are r˘ad˘acini ˆıntregi
E ecuat, ia are dou˘a r˘ad˘acini impare
213
Ecuat, ia √mx2 + x + 1 + √mx2 − x + 1 = x are solut, ii reale dac˘a s, i numai dac˘a:
A m = 0 B m = 1 C m = 1
2 D m = 1
4 E m > 0
214
Mult, imea valorilor lui a ∈ R pentru care ecuat, ia
x4 + 4x3 + ax2 + 4x + 1 = 0
are toate r˘ad˘acinile reale este:
A (−∞, −10] B (−∞, −10] ∪ {6} C [4, ∞) D {0} E ∅
215
Solut, iile ecuat, iei 1 − 3x−1 + 2 x
2 − 2 x
2 3 x−1
2 = 0 apart, in mult, imii:
A [−3, 0] B [0, 2] C {0; −2} D [3, ∞) E { 1
2 }
— 27 —Subiect și barem · pagina 34
1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 216 Mult, imea valorilor lui a ∈ R pentru care loga (x2 + 4) ≥ 2, ∀x ∈ R, este: A (1, 2] B [−2, 0) C (0, 4] D [2, 3] E (1, 3) 217 Solut, ia x a ecuat, iei logx(x + 1) + logx3 (x3 + 1) = 2 logx2 (x2 + 1) verific˘a: A x ∈ [0, 1) B x ∈ ∅ C x ∈ (2, 3) D x ∈ (3, 4) E x ∈ (1, 2) 218 Cel mai mare termen al dezvolt˘arii binomului (1 + √2)100 este: A T57 B T58 C T59 D T60 E T61 219 Fie m, n, p numere naturale nenule, m 6 = n. Dac˘a ˆıntr-o progresie aritmetic˘a avem an = m, s, i am = n, atunci ap este egal cu: A m + n − p B p − m − n C m + n − 2p D 2p − m − n E m + n + p Fie polinomul P (x) = x3 − x2 − x + a, unde a este un parametru real. 220 Valoarea lui a pentru care polinomul are o r˘ad˘acin˘a dubl˘a ˆıntreag˘a este: A a = 1 B a = −1 C a = 2 D a = 1 2 E a = − 3 2 221 Valoarea lui a pentru care polinomul are o r˘ad˘acin˘a tripl˘a ˆıntreag˘a este: A a = 1 B nu exist˘a un astfel de a C a = −1 D a = 2 E a = −2 Fie xn = (2 + √3)n, n ∈ N∗. 222 Cˆate perechi (an, bn) ∈ Z × Z cu proprietatea xn = an + bn √3 exist˘a pentru n fixat? A 0 B 1 C 2 D 3 E o infinitate 223 Valoarea lui a2 n − 3b2 n este: A 0 B 1 C 2 D 3 E √3 224 Cˆate solut, ii are ecuat, ia x2 = 3y2 + 1 ˆın Z × Z? A 1 B 3 C 5 D 6 E o infinitate 225 Fie x1, x2, x3, x4 s, i x5 r˘ad˘acinile ecuat, iei x5 + x4 + 1 = 0. Valoarea sumei 5∑ i=1 1 x4 i este: A −4 B −3 C −2 D −1 E 0 — 28 —
Subiect și barem · pagina 35
1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
Ecuat, ia x4 − 8x3 + ax2 − bx + 16 = 0 are toate r˘ad˘acinile pozitive, a, b ∈ R.
226 Media aritmetic˘a a r˘ad˘acinilor x1, x2, x3, x4 este
A 1 B 2 C 0 D 4 E 8
227 Media geometric˘a a r˘ad˘acinilor x1, x2, x3, x4 este
A 2 B 1 C 4 D 0 E 16
228 Valorile parametrilor a, b ∈ R pentru care ecuat, ia are toate r˘ad˘acinile reale s, i pozitive
sunt:
A a = 1, b = 0 B a = 24, b = 32 C a = 24, b = 1 D a = 32, b = 24
E a = 1, b = 32
229
Fie α ∈ C astfel ca α2 + α + 1 = 0, A ∈ M2(R) o matrice, A 6 = O2, astfel ˆıncˆat
det(I2 − A) · det(αI2 − A) = α2.
Valoarea lui det(I2 + αA + α2A2) este:
A −1 B 0 C 2 D α E 1
230
Dac˘a A ∈ M2(R), A 6 = O2 s, i exist˘a n ≥ 6 astfel ca An = O2, atunci valoarea minim˘a a
lui p ∈ N∗ pentru care Ap = O2 este:
A 2 B 3 C 4 D 5 E 6
231
Mult, imea G = {z ∈ C | azn = b}, a ∈ C∗, b ∈ C, este un subgrup al grupului (C∗, ·)
dac˘a:
A b = 0 B a = b C | a |=| b | D a = −b E an = b
232
Cˆate elemente inversabile are monoidul (Z [√2] , ·)?
A 0 B 1 C 2 D 4 E o infinitate
233
Funct, ia f (x, y) = ax + by
1 + xy , a, b ∈ R, este o lege de compozit, ie pe intervalul (−1, 1) dac˘a:
A a = b = 2 B a + b ∈ (−1, 1) C a ∈ (−1, 1) s, i b ∈ (−1, 1) D a = b ∈ [−1, 1] E
a + b = 1
234
Fie x ∗ y = x + y
1 + xy , x, y ∈ (−1, 1). Num˘arul 1
2 ∗ 1
3 ∗ · · · ∗ 1
1000 este:
A 500499
500502 B 500499
500501 C 500500
500501 D 500501
500502 E 500400
500501
— 29 —Subiect și barem · pagina 36
1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
Fie mult, imea A = {1, 2, . . . , 8}. Cˆate dintre submult, imile lui A satisfac urm˘atoarele
cerint, e?
235 au 4 elemente, ˆıl cont, in pe 2 s, i nu ˆıl cont, in pe 3:
A C3
6 B C3
7 C C3
8 D C4
6 E alt r˘aspuns
236 cel mai mic element al fiec˘arei submult, imi este 1:
A C3
6 B C3
7 C C3
8 D 28 − 1 E alt r˘aspuns
Fie mult, imea A = {1, 2, . . . , 8}. ˆIn cˆate moduri se poate scrie A ca reuniune a dou˘a
mult, imi disjuncte s, i:
237 nevide?
A 28 − 1 B C2
8 C 27 − 1 D (C2
8
)2 E 28 − 2
238 avˆand num˘ar egal de elemente?
A C3
7 B C4
8 C (C4
8
)2 D 24 E 25
Fie mult, imea A = {1, 2, . . . , 8}. Cˆate dintre submult, imile lui A satisfac urm˘atoarele
cerint, e?
239 nu cont, in numere pare:
A 15 B 16 C 32 D 127 E 128
240 cont, in cel put, in un num˘ar impar:
A 127 B 128 C 129 D 240 E 255
241 cont, in atˆat numere pare cˆat s, i impare:
A 225 B 235 C 245 D 255 E alt r˘aspuns
Un num˘ar de 8 bile numerotate de la 1 la 8 se distribuie ˆın 4 cutii etichetate A, B, C,
D. ˆIn cˆate moduri se poate face distribuirea dac˘a se admit cutii goale s, i:
242 se distribuie toate bilele?
A 212 B 215 C 216 D 58 E C4
8
243 nu este obligatoriu s˘a se distribuie toate bilele?
A 212 B 215 C 216 D 58 E C4
8
— 30 —Subiect și barem · pagina 37
1. ALGEBR ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 Se consider˘a un zar obis, nuit (un cub cu fet, ele numerotate de la 1 la 6) cu care se arunc˘a de dou˘a ori. 244 Probabilitatea de a obt, ine aceeas, i valoare ˆın ambele arunc˘ari este: A 1 6 B 1 36 C 1 21 D 2 7 E 5 36 245 Probabilitatea ca valoarea de la a doua aruncare s˘a fie mai mare decˆat cea de la prima aruncare este: A 5 6 B 5 12 C 5 18 D 5 36 E 5 72 246 Dac˘a s, tim c˘a la a doua aruncare s-a obt, inut un num˘ar mai mare decˆat cel de la prima aruncare, atunci probabilitatea ca la prima aruncare s˘a fi obt, inut 3 este: A 1 3 B 1 4 C 1 5 D 1 6 E 1 12 — 31 —
Subiect și barem · pagina 38
∗ ∗ ∗
Subiect și barem · pagina 39
2
Analiz˘a matematic˘a
247
lim
n→∞
( 1
n2 + 2
n2 + · · · + n
n2
)
este:
A 1
2 B 4 C 1 D ∞ E 0
248
lim
n→∞
(
1 + sin x
2n
)2n
este:
A e B 2
x C ex D e−x E 1
e
249
lim
n→∞
n
ln n ( n
√n − 1) este:
A 1 B e C ∞ D 0 E 1
e
250
Limita s, irului
{√n2 + n + 1
}
, n = 1, 2, . . ., unde {x} este partea fract, ionar˘a a
num˘arului real x, este:
A 0 B 1
2 C 1 D nu exist˘a E 1
3
251
Se d˘a s, irul cu termeni pozitivi (an)n≥0 prin relat, iile:
a0 = 2; a1 = 16; a2
n+1 = anan−1, ∀n ≥ 1. Limita s, irului (an)n≥0 este:
A 1 B 2 C 4 D 8 E ∞
33Subiect și barem · pagina 40
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 252 Fie a ∈ R, a > 0 un num˘ar fixat. Se consider˘a s, irurile (xn)n∈N∗ , (bn)n∈N∗ definite prin xn+1 = a 1 (n+1)! · x 1 n+1 n , n ≥ 1, x1 = 1, bn = n∏ k=1 xk. Limita lim n→∞ bn este: A √a B a C a2 D ∞ E 0 Se consider˘a s, irul (xn)n≥0 definit prin xn+1 = xn + 2 xn , x0 = 1. 253 Limita s, irului (xn)n≥0 este: A 0 B 1 C e D ∞ E nu exist˘a 254 lim n→∞ xn √n este egal˘a cu: A 1 B 2 C 3 D π E ∞ 255 Valoarea limitei lim n→∞ 3n+(−1)n 3n−(−1)n este: A 3 B 0 C ∞ D 1 E nu exist˘a, conform teoremei Stolz-Cesaro 256 lim n→∞ 3 √n3 + 2n2 + 1 − 3 √n3 − 1 este: A 0 B 1 2 C 2 3 D 1 E 4 3 257 lim n→∞ ( n2 − 3n + 1 n2 + 1 ) n2+n+1 n+1 este: A e6 B e−1 C e−3 D e−2 E e9 258 lim n→∞ ln(1 + e2n) ln(1 + e3n) este: A 1 B 1 3 C 2 D 2 3 E ln 2 259 lim n→∞ ( n2 + 1 n + 1 ) n+1 n2+1 este: A 0 B 1 C 2 D e E ∞ 260 Limita lim n→∞ 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − · · · − 2n 3n + 1 este: A 1 3 B −2 C ∞ D 2 3 E − 1 3 — 34 —
Subiect și barem · pagina 41
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 261 lim n→∞ n∏ k=1 (k + 1)2 k(k + 2) este: A 5 B 4 C 1 D 2 E 3 262 lim n→∞ n∑ k=1 1 (k + 1)√k + k√k + 1 este: A 1 B 1 √2 C 1 1 + √2 D ∞ E nu exist˘a 263 lim n→∞ n∑ k=1 2k−1 (1 + 2k)(1 + 2k+1) este: A − 1 3 B − 1 2 C 1 3 D 1 6 E 1 2 264 lim n→∞ n∑ k=1 2k + 1 k2(k + 1)2 este: A 0 B 1 3 C 2 3 D 1 E 4 3 265 lim n→∞ n∑ k=1 1 akak+1 , unde (ak), k ∈ N∗, a1 > 0, formeaz˘a o progresie aritmetic˘a cu rat, ia r > 0, este: A ∞ B 1 a1r C 1 D a1 E 0 266 Fie Sn = n∑ k=2 k2 − 2 k! , n ≥ 2. Aleget, i afirmat, ia corect˘a: A Sn < 3 B Sn > 3 C Sn = e D Sn < 0 E Sn = e − 1 2 267 Fie n ∈ N∗ s, i fie Sn = n∑ k=1 k! · (k2 + 1). Atunci Sn este: A (n + 1)! · n B 2 · n! · n C (n + 1)! D (n + 1)! − n! + 1 E (n + 1)! + n! − 1 268 lim n→∞ n∑ k=1 1 4k2 − 1 este: A 1 4 B 1 2 C 0 D −1 E nu exist˘a — 35 —
Subiect și barem · pagina 42
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
269
lim
n→∞
n∑
k=1
6
k(k + 1)(k + 3) este:
A 2
3 B 1
3 C 7
6 D 1 E 3
2
270
Limita s, irului (xn)n≥0, xn = cos
(
π√4n2 + n + 1
)
, este:
A
√2
2 B 1
2 C 0 D nu exist˘a E 1.
Se consider˘a s, irul (an)n≥1, unde a1 = 2, an+1 = n2 − 1
an
+ 2, n ≥ 1.
271 a2 este:
A 1 B 2 C 3 D 4 E 5
272 lim
n→∞
an
n este:
A 1 B 0 C ∞ D 2 E 3
273 lim
n→∞
n∑
k=1
a3
k
n4 este:
A 1
4 B 1 C // 0 D 2 E 4
274
lim
n→∞
nn
enn! este:
A 0 B 1 C e D √e E ∞
275
Fie p ∈ N \ {0, 1}, q > 0. Se cere valoarea limitei:
lim
n→∞
qn + 1
qn
qn + p + 1
qn + p . . . qn + np + 1
qn + np .
A p
√ p
q B p
√ p+q
q C p
√ q
p+q D p p
√ p
q E p2 p
√ p
q
— 36 —Subiect și barem · pagina 43
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 276 Fie x0 un ˆıntreg pozitiv. Se defines, te s, irul (xn)n≥0 prin xn+1 = xn 2 , dac˘a xn este par, 1 + xn 2 , dac˘a xn este impar, n = 0, 1, . . . Limita s, irului (xn)n≥0 este: A 0 B 1 C ∞ D e E Nu exist˘a pentru unele valori ale lui x0 277 lim n→∞ a + √a + 3 √a + · · · + n √a − n ln n , a > 0, este: A 0 B ln a C ∞ D e E a 278 lim n→∞ n∑ k=1 ( 1 2k + 1 3k ) este: A 1 B 7 2 C 8 3 D 3 2 E 0 279 lim n→∞ n∑ k=0 Ck n (2n)k este: A 0 B 1 C e 1 2 D e2 E ∞ 280 Fie pn = n∏ k=1 cos(2k−1x), x 6 = kπ. Atunci lim n→∞ pn este: A 1 B cos x x C 0 D sin x x E nu exist˘a 281 lim n→∞ n∑ k=0 Ck n n2n + k este: A 0 B 1 C 1 2 D 2 E ∞ 282 lim n→∞ n∑ k=0 kCk n n2n + k este: A 0 B 1 C 1 2 D 2 E ∞ 283 lim n→∞ ( 1 + cos nπ n )n este: A ∞ B 0 C 1 D e E nu exist˘a — 37 —
Subiect și barem · pagina 44
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 284 lim n→∞ 1 + xn(x2 + 4) x(xn + 1) , x > 0 este: A 1 x B ∞ C x D x2+4 x E alt r˘aspuns 285 lim n→∞ n∑ k=1 arcsin k n2 este: A 0 B 1 C ∞ D 1 2 E 2π 286 Se consider˘a s, irul (xn)n≥2, xn = n √ √ √ √1 + n∑ k=2 (k − 1)(k − 1)!. Limita lim n→∞ xn n este: A ∞ B 1 e C 0 D 1 E e 287 Fie x ∈ R. Not˘am cu bxc partea ˆıntreag˘a a num˘arului real x. Limita s, irului xn = bxc + b32xc + · · · + b(2n − 1)2xc n3 , n ≥ 1, este: A x 2 B 1 C 0 D 3x 4 E 4x 3 288 lim n→∞ 1 n ln ( a n 1 + a n 2 + · · · + a n n ) , unde a ∈ (1, ∞), este: A 1 − ln a B 1 + ln a C 2 + ln a D − ln a E ln a — 38 —
Subiect și barem · pagina 45
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
Se consider˘a s, irul (xn)n≥0, definit prin relat, ia de recurent, ˘a xn+1 = exn − 1, x0 ∈ R.
289 Num˘arul valorilor lui x0 pentru care s, irul este constant este:
A 0 B 1 C 2 D 5 E 10
290 S, irul este cresc˘ator dac˘a s, i numai dac˘a x0 apart, ine mult, imii:
A (−∞, 0) B [0, ∞) C (−∞, 0] D (0, ∞) E R
291 Dac˘a x0 > 0, lim
n→∞ xn este:
A ∞ B 0 C nu exist˘a D 1 E 2e
292 S, irul este convergent dac˘a s, i numai dac˘a x0 apart, ine mult, imii:
A ∅ B {0} C (−∞, 0] D (−∞, 0) E (0, ∞)
293 Pentru x0 = −1, lim
n→∞ nxn este:
A −2 B −1 C 0 D 1 E nu exist˘a
Se consider˘a s, irul (xn)n≥1 definit prin relat, ia de recurent, ˘a xn+1 = x2
n − xn + 1, x1 ∈ R.
294 Dac˘a x100 = 1, atunci x2 este:
A 1 B 0 C −1 D 2 E 1
2
295 S, irul este convergent dac˘a s, i numai dac˘a x1 apart, ine mult, imii:
A [0, 1] B (0, 1) C {0, 1} D {1} E [−1, 1]
296 Dac˘a x1 = 2, atunci lim
n→∞
x1x2 · · · xn
xn+1
este:
A 0 B 1 C 2 D +∞ E nu exist˘a
297 Dac˘a x1 = 2, atunci lim
n→∞
( 1
x1 + 1
x2 + · · · + 1
xn
)
este:
A 1 B 2 C √2 D e E +∞
298
S, irul (xn)n≥0, definit prin relat, ia de recurent, ˘a xn+1 = 2xn
2 , x0 ∈ R, are limita 2,
dac˘a s, i numai dac˘a x0 apart, ine mult, imii:
A {2} B [−2, 2] C (−∞, 2] D [2, 4) E alt r˘aspuns
— 39 —Subiect și barem · pagina 46
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 Valorile limitelor urm˘atoare sunt: 299 lim n→∞ n √2 A 1 B 0 C 1 2 D 2 E ∞ 300 lim n→∞(2 − n √2)n A 1 2 B 0 C 1 D 2 E ∞ 301 lim n→∞(2 − √2)(2 − 3 √2) · · · (2 − n √2) A 0 B 1 C 2 D √2 E e 302 Fie (an)n≥1 un s, ir de numere reale, astfel ca s, irul 1 + 1 2 + · · · + 1 n − an ln n, n ≥ 1, s˘a fie m˘arginit. Limita s, irului (an)n≥1 este: A e B 0 C ∞ D 1 E 1 e 303 Fie a ∈ R astfel ˆıncˆat s, irul (xn)n≥1, xn = ( 1 + 1 3 + 1 5 + · · · + 1 2n − 1 ) − a ( 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n ) , s˘a fie m˘arginit. Limita lui este: A 0 B ln 2 C 2 D − ln 2 E 1 2 304 Fie γ = lim n→∞ (1 + 1 2 + · · · + 1 n − ln n) constanta lui Euler. Limita lim n→∞ √n ( e1+ 1 3 +···+ 1 2n−1 − 2 e 1 2 + 1 4 +···+ 1 2n ) este: A − 1 2 e γ 2 B eγ C − γ 2 D − γ 4 E e γ 2 305 Limita s, irului n √(√2 )n + ( 3 √3 )n + · · · + ( n √n)n , n = 2, 3, . . . , este: A 1 B √2 C 3 √3 D 5 √5 E e1/e 306 lim n→∞ ln 2 2 + ln 3 3 + · · · + ln n n ln2 n este: A 1 B 0 C 1 2 D 2 E nu exist˘a — 40 —
Subiect și barem · pagina 47
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
307
S, irul an = 19 + 29 + · · · + n9 − a n10, a ∈ R, este convergent dac˘a:
A a = 9 B a = 10 C a = 1/9 D a = 1/10
E nu exist˘a un astfel de a
308
Fie s, irul (xn)n≥1, xn = ac + (a + ab)c2 + · · · + (a + ab + · · · + abn)cn+1.
Atunci, pentru orice a, b, c ∈ R cu propriet˘at, ile |c| < 1, b 6 = 1 s, i |bc| < 1, avem:
A (xn) nu este convergent B lim
n→∞ xn = 0 C lim
n→∞ xn = 1
D lim
n→∞ xn = a+bc
(1−ab)c E lim
n→∞ xn = ac
(1−bc)(1−c)
309
Pentru num˘arul natural n ≥ 1, not˘am cu xn cel mai mare num˘ar natural p pentru care
este adev˘arat˘a inegalitatea 3p ≤ 2008 · 2n. Atunci lim
n→∞
xn
n este:
A 0 B 1 C log3 2 D 2008 E Limita nu exist˘a
Fie 0 < b < a s, i (xn)n∈N unde x0 = 1, x1 = a + b,
xn+2 = (a + b)xn+1 − ab xn, n ∈ N.
310 Dac˘a 0 < b < a s, i l = lim
n→∞
xn+1
xn atunci
A l = a B l = b C l = a
b D l = b
a E nu se poate calcula
311 Dac˘a 0 < b < a < 1 s, i L = lim
n→∞
n∑
k=0
xk atunci:
A L = 1 B L = 1
(1−a)(1−b) C L = 2−a−b
(1−a)(1−b) D L = a+b
(1−a)(1−b) E L = a+b−1
(1−a)(1−b)
312
Mult, imea tuturor valorilor lui a pentru care s, irul (xn)n≥0 definit prin recurent, a
x0 = a, xn+1 = x2
n − 4xn + 6, este convergent este:
A {1} B [−1, 2] C {0} D (0, 1) E [1, 3]
313
lim
n→∞
( (p + n)!
n!np
)n
, p ∈ N este:
A ∞ B 0 C e D e1/6 E e p(p+1)
2
— 41 —Subiect și barem · pagina 48
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 314 Cˆate s, iruri convergente de numere reale (xn)n≥1 verific˘a relat, ia 10∑ k=1 x2 n+k = 10, pentru orice n ∈ N? A 1 B 10 C 0 D o infinitate E 2 315 S, irul (xn)n≥1, xn = 1 + 1 22 + · · · + 1 n2 are limita π2 6 . S˘a se calculeze limita s, irului (yn)n≥1, yn = 1 + 1 32 + · · · + 1 (2n−1)2 . A π2 8 B π2 3 C π2 16 D π 3 E π2 12 316 Fie xn solut, ia ecuat, iei tg x = x din intervalul (nπ, nπ + π 2 ), n ∈ N. Valoarea limitei lim n→∞ n ( nπ + π 2 − xn ) este: A 1 B 0 C 1 π D π 2 E π 4 317 Mult, imea valorilor funct, iei f : (0, ∞) → R, f (x) = x 1 x este: A [ −1, e 1 e ] B R C [0, 1] D (0, 1 e ) ∪ [1, e] E ( 0, e 1 e ] 318 lim x→1 xx − xx2 (1 − x)2 este: A e B −1 C 1 D −e E 0 319 lim x→+0 ((1 + x)x − 1)x este: A 0 B 1 C e D ∞ E nu exist˘a 320 lim x→0 x − de n ori sin ︷ ︸︸ ︷ sin(sin(· · · (sin x) · · · )) x3 A 0 B n/2 C n/3 D n/4 E alt r˘aspuns 321 lim x→0 (1 + ax) 1 x − (1 + x) a x x , a ∈ R. A a(1−a) 2 B a(1 − a) C 0 D a e E a(1−a) 2 ea — 42 —
Subiect și barem · pagina 49
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 322 lim x→∞ arcsin(sin x) x A 0 B 1 C ∞ D −∞ E nu exist˘a 323 lim x→0 x ⌊ 1 x ⌋ este: A 0 B ∞ C nu exist˘a D −1 E 1 324 lim x→1 sin (ax2 + bx + c) x2 − 1 , unde a, b, c ∈ R astfel ˆıncˆat a + b + c = π, este: A a + b B π − a − b C 2a + b D − 2a+b 2 E 2(a + b) 325 lim x→∞ x − sin x x + sin x este: A 0 B 1 C nu exist˘a D 1 2 E ∞ 326 lim x→0 √x + 4 − 2 3 √x + 8 − 2 A 3 B 1 3 C 2 3 D nu exist˘a E 0 327 lim x→0 m∑ k=1 arctg k2x m∑ k=1 ln(1 + k3x) A m(m+1) m+2 B 2 3 2m+1 m(m+1) C (m+1)(2m+1) 2m2 D 0 E π 2e 328 lim x→0 ax 1 a2x 2 · · · anx n − 1 x , a1, a2, . . . , an > 0, este: A ln(a1a2 · · · an) B ln a1 + ln a2 + · · · + ln an C ln(a1a2 2 · · · an n) D ea1+2a2+···+nan E ea1+a2+···+an 329 lim x→∞ ( 2x + √x2 − 1 )n + ( 2x − √x2 − 1 )n xn A 2n B 2n − 3n C 1 D 3n + 1 E 0 330 lim x→∞ ( x − x2 ln ( 1 + 1 x )) A ∞ B −∞ C 0 D 1 E 1 2 — 43 —
Subiect și barem · pagina 50
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 331 lim x→∞ ( x − √x2 + x + 1 ) A −1 B 0 C 1 2 D − 1 2 E 1 332 lim x→0 xe− 1 x A 0 B e C −∞ D nu exist˘a E 1 333 lim x→∞ ( x ( 1 + 1 x )x − ex ) A − e 2 B e C 0 D ∞ E 2e 334 lim x→2 (5 − 2x)tg πx 4 este: A e 2 π B e π 4 C e 4 π D e π 2 E e 8 π Valoarea limitelor: 335 lim x→0 sin xn − sinn x xn+2 , n ∈ N, n ≥ 2; A ∞ B 0 C − n 6 D n 6 E 1 336 lim x→0 ( 1 sin x − 1 ex − 1 ) . A e B 1 2 C e 2 D − 1 2 E 0 337 lim x→0 tg(sin x) − x x3 A 1/3 B 1/6 C ∞ D −1 E π/2 338 lim x→0 ( ax + bx + cx 3 ) 1 x , a, b, c > 0, A 3 √abc B nu exist˘a C ln abc D a+b+c 3 E 1 339 lim x→0 ( (1 + x) 1 x e ) 1 x A 1 B 0 C e D √e E 1√e — 44 —
Subiect și barem · pagina 51
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 340 lim x→0 ( cos x cos 2x ) 1 x2 A 1 B e2 C e 3 2 D e 1 2 E e3 341 lim x→0 ( tg x x ) 1 sin2 x A 3 √2 B 3 √e C e D e−1 E e 3 2 342 lim x→∞ ( x − √x2 + x + 1 ln(ex + x) x ) este: A 0 B 1 C −1 D − 1 2 E ∞ 343 lim x→0(ax + x) 1 sin x , a > 0, este: A ae B eln a C a D 1 E ea 344 lim x→0 x>0 (x2) 1 ln x A 0 B e2 C 1 D 2 E nu exist˘a 345 lim n→∞ n2 · ( e 1 n+1 − e 1 n ) : A -1 B 1 C −∞ D Limita nu exist˘a E e 346 lim n→∞ ( lim x→0 (1 + tg2(x) + tg2(2x) + · · · + tg2(nx)) 1 n3x2 ) este: A e 1 3 B e3 C 1 e D 1 E ∞ 347 Dac˘a |a| > 1, atunci limita lim n→∞ 1 1 + an are valoarea: A 0 B 1 C 2 D ∞ E limita nu exist˘a, pentru a < −1 348 Pentru ce valori ale parametrilor reali a s, i b avem lim x→∞ (√x2 + x + 1 + √x2 + 2x + 2 − ax − b ) = 0? A a = b = 1 B a = b = −1 C a = 2, b = 1 D a = 1, b = 2 E a = 2, b = 3 2 — 45 —
Subiect și barem · pagina 52
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 Se consider˘a funct, ia f : D → R, f (x) = arcsin ( x − √1 − x2 ) , unde D este domeniul maxim de definit, ie. 349 Mult, imea punctelor de continuitate ale funct, iei este: A [−1, 1] B (−1, 1) C (0, 1) D [0, 1] E alt r˘aspuns 350 Mult, imea punctelor de derivabilitate ale funct, iei este: A [−1, 1] B [0, 1] C [0, 1) D (0, 1) E alt r˘aspuns 351 Mult, imea punctelor ˆın care funct, ia are derivat˘a este: A [−1, 1] B [0, 1] C [0, 1) D (0, 1] E alt r˘aspuns Fie f : R → R o funct, ie continu˘a. Ce concluzie se poate trage asupra funct, iei f dac˘a: 352 lim x→−∞ f (x) = −∞ s, i lim x→+∞ f (x) = +∞. A f este strict cresc˘atoare B f este injectiv˘a C f este surjectiv˘a D f este inversabil˘a E f nu este injectiv˘a 353 lim x→−∞ f (x) = lim x→+∞ f (x) = +∞. A f este descresc˘atoare B f este injectiv˘a C f este surjectiv˘a D f este inversabil˘a E f nu este injectiv˘a 354 f este injectiv˘a. A f este surjectiv˘a B f este strict monoton˘a C f are cel put, in dou˘a zerouri D f este inversabil˘a E f este o funct, ie impar˘a 355 lim x→∞ (ex + x)n+1 − e(n+1)x xenx , n > 0, este: A 1 B n + 1 C 0 D ∞ E e 356 Funct, ia f definit˘a prin f (x) = lim n→∞ x2enx + x enx + 1 A este definit˘a numai pentru x ≤ 0 B este definit˘a s, i continu˘a pe R C este definit˘a s, i derivabil˘a pe R D este definit˘a pe R dar nu este continu˘a pe R E este definit˘a numai pentru x = 0 — 46 —
Subiect și barem · pagina 53
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
357
Fie funct, ia f : R r {−1} → R, f (x) = lim
n→∞
xn + x
x2n + 1 .
Care din afirmat, iile de mai jos sunt adev˘arate?
A f nu e bine definit˘a pe (−∞, −1) c˘aci limita nu exist˘a. B f este continu˘a ˆın 1.
C singurul punct de discontinuitate este x = 1. D f are limit˘a ˆın x = −1.
E f continu˘a pe (−∞, 1).
358
Mult, imea punctelor de continuitate ale funct, iei f : R → R,
f (x) = lim
n→∞
1 + x2n
1 + x + x2 + · · · + x2n
este:
A R B R \ {−1, 1} C R∗ D R \ {−1, 0, 1} E R \ {−1}
359
Ecuat, ia x2 + 1 = me− 1
x , unde m este un parametru real, are trei solut, ii reale s, i distincte
dac˘a:
A m = −1 B m = 2e C m = π D m = 3√2 E m = 7
360
Ecuat, ia m e 2
x−1 = x, m ∈ R, are dou˘a r˘ad˘acini reale s, i distincte dac˘a s, i numai dac˘a m
apart, ine mult, imii:
A (0, ∞) B (1, ∞) C (−∞, 1) D (0, 1) E (−1, 1)
361
Fie funct, ia f (x) = |x3 − 1|
ax2 + bx . Valorile numerelor reale a s, i b pentru care dreapta y = x+4
este asimptot˘a la ∞ sunt:
A a = 4; b = 1 B a = 1; b = −4 C a = −4; b = 1 D a = 1; b = 4
E a = −1; b = −4
Fie funct, ia f : R → R, f (x) = (x + 1)3
x2 − x + 1 .
362 Ecuat, ia tangentei la graficul funct, iei f ˆın punctul ˆın care graficul funct, iei intersecteaz˘a
axa Oy este:
A y − 2x + 1 = 0 B 2y − 2x + 1 = 0 C y − 4x − 1 = 0 D 4y − x + 1 = 0
E 4y − 4x + 1 = 0
363 Ecuat, ia normalei la graficul funct, iei f ˆın punctul ˆın care graficul funct, iei intersecteaz˘a
axa Oy este:
A 2y − 2x + 1 = 0 B 1
4 y − 2x + 1 = 0 C y − x + 1 = 0 D y + 1
4 x − 1 = 0
E 4y − x + 1 = 0
— 47 —Subiect și barem · pagina 54
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
364
Funct, ia f (x) = 1
1 − e 1
x
, x ∈ (0, ∞), admite asimptota oblic˘a de ecuat, ie:
A y = −x − 1 B y = −x + 1
2 C y = −x + 1 D y = −x E y = x
365
Fie f : D → R, f (x) = x2 + bx + 2
x2 + 2x + c , D-domeniul maxim de definit, ie al lui f. Mult, imea
tuturor valorilor (b, c) ∈ R2 pentru care funct, ia f are o singur˘a asimptot˘a vertical˘a s, i
graficul lui f nu intersecteaz˘a asimptota orizontal˘a este:
A {(b, c) ∈ R2|b 6 = 0, c = 1} B {(b, c) ∈ R2|c = 1}
C {(b, c) ∈ R2|b = 3, c = 1} D {(b, c) ∈ R2|c = 1, b = 2 sau c = 1, b = 3}
E nici unul din r˘aspunsurile anterioare nu e corect
366
Graficul funct, iei f : R r { 3
2
} → R, f (x) =
√x2 + 1
2x − 3 admite:
A o asimptot˘a vertical˘a s, i una orizontal˘a B o asimptot˘a vertical˘a s, i una oblic˘a
C o asimptot˘a orizontal˘a s, i una oblic˘a D o asimptot˘a vertical˘a s, i dou˘a oblice
E o asimptot˘a vertical˘a s, i dou˘a orizontale
Fie f : [0, ∞) \ {1, 2} → R, f (x) = mx−3
x2−3x+2 , unde m este un parametru real.
367 Num˘arul asimptotelor funct, iei f este:
A 1 B 2 C 3 D 4
E num˘arul asimptotelor depinde de m.
368 Num˘arul valorilor ˆıntregi ale parametrului m pentru care f are trei puncte de extrem
este:
A infinit B 4 C 3 D 2 E 1
369
Valorile lui m ∈ R astfel ˆıncˆat lim
x→−∞
√(m − 1)2x2 + 1
3x + 2 = −1 sunt:
A −2, 4 B −1, 3 C 2, 3 D −1, 4 E −2, 2
370
Funct, ia f : D → R, f (x) = x − a
x2 − b , a, b ∈ R, are pe domeniul maxim de definit, ie dou˘a
asimptote verticale dac˘a s, i numai dac˘a:
A a = b = 0 B a = 1, b = −1 C a = b = 1 D a = 2, b = 1 E b > 0, a2 6 = b
— 48 —Subiect și barem · pagina 55
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
371
Abscisele punctelor ˆın care graficele funct, iilor f, g : R → R,
f (x) = x6 s, i g(x) = 2x5 − 2x − 1
sunt tangente sunt:
A 1±√2
2 B 1±√3
2 C 1±√5
2 D nu exist˘a E 0
372
Egalitatea
arctg a + arctg b = arctg a + b
1 − ab
are loc dac˘a s, i numai dac˘a numerele reale a s, i b satisfac condit, ia:
A ab > 1 B ab < 1 C ab 6 = 1 D ab > 0 E b = 0, a ∈ R
373
Num˘arul de valori ale parametrului real a ∈ [0, 1] pentru care funct, ia f : [0, 1] → R,
f (x) = x2 − |x − a|, este convex˘a pe [0, 1] este:
A 0 B 1 C 2 D 4 E infinit
374
Fie Q(x) cˆatul ˆımp˘art, irii polinomului P (x) = 99(x101 − 1) − 101 x(x99 − 1) la (x − 1)3.
Valoarea Q(1) este:
A 9999 B 18000 C 5050 D 3333 E alt r˘aspuns
375
Funct, ia f : R → R este derivabil˘a s, i sunt verificate condit, iile:
f (0) = 2, f ′(x) = 3 f (x), ∀x ∈ R. Valoarea f (ln 2) este:
A 2 B 4 C 6 D 16 E 32
376
Care dintre urm˘atoarele afirmat, ii este adev˘arat˘a pentru orice funct, ie f : R \ {0} → R
care are derivat˘a strict pozitiv˘a?
A f este cresc˘atoare pe R \ {0} B f este cresc˘atoare pe (0, ∞)
C f este descresc˘atoare D f este m˘arginit˘a E f este convex˘a
377
O funct, ie polinomial˘a neconstant˘a P : R → R, este strict cresc˘atoare dac˘a s, i numai dac˘a:
A P ′(x) ≥ 0, ∀x ∈ R B P ′(x) > 0, ∀x ∈ R C P ′(x) ≤ 0, ∀x ∈ R
D P ′′(x) ≥ 0, ∀x ∈ R E P ′′(x) > 0, ∀x ∈ R
— 49 —Subiect și barem · pagina 56
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
Se consider˘a funct, ia f : [−2, 1] → M , M ⊂ R, f (x) = ∣
∣x3 + x2∣
∣.
378 Num˘arul punctelor de extrem ale funct, iei f este:
A 5 B 3 C 2 D 1 E 4
379 f este surjectiv˘a pentru M egal cu:
A [0, 4] B [0, ∞) C [0, 2] D [0, 27] E R
Fie f : R → R, f (x) = x(x + 1)(x + 2) · · · (x + 2019) s, i fie g = f ◦ f ◦ f .
380 f ′(0) este:
A 2019! B 0 C 2018! D 2019! + 2018! E 2019! − 2018!
381 g′(0) este:
A 2019!3 B 20193 C 20192 D 2019!2 E 2019!
382
Num˘arul punctelor de extrem ale funct, iei f : R → R, f (x) = (x−1)(x−2)2(x−3)3(x−4)4
este:
A 9 B 7 C 5 D 3 E alt r˘aspuns
383
S˘a se studieze derivabilitatea funct, iei f : [1, ∞) → R, f (x) = √x + 3 − 4√x − 1.
A f derivabil˘a pe (2, ∞) B f are ˆın (5, 0) punct de ˆıntoarcere
C f are ˆın (5, 0) punct unghiular D f este derivabil˘a ˆın x = 5
E f este derivabil˘a numai pe (5, ∞)
384
Dac˘a f : R → R, f (x) = 5
√ 1
6 x3 − x + sin x, atunci f ′(0) este:
A 1/ 5
√120 B −1/ 5
√120 C ∞ D nu exist˘a E −∞
385
Fie f : R → R, f (x) =
{ x2 sin 1
x , x 6 = 0
0, x = 0 . Care din afirmat, iile urm˘atoare este
adev˘arat˘a?
A f nu e continu˘a ˆın 0 B f este derivabil˘a ˆın 0 C f nu are limit˘a ˆın 0
D ∃ lim
x→0 f ′(x) E f are limit˘a la +∞, egal˘a cu 1, s, i la −∞, egal˘a cu −1
— 50 —Subiect și barem · pagina 57
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
386
Se consider˘a funct, ia f : D → R, f (x) = arctg√x2 − 1 + arcsin 1
x , unde D este domeniul
maxim de definit, ie al funct, iei f . Mult, imea valorilor funct, iei f este:
A (−∞, π
2
] B R C (− π
2 , ∞) D [− π
2 , π
2 ] E (−∞, − π
2
] ∪ [ π
2 , ∞)
Se consider˘a funct, ia f : D → R, f (x) = ln(1 + √|x| − x), unde D este domeniul maxim
de definit, ie.
387 lim
x→0
f (x)
√|x| este:
A 0 B 1 C −1 D e E ∞
388 f ′( 1
4 ) este:
A 0 B 1 C −1 D 1
2 E − 1
2
389 Num˘arul punctelor de extrem local ale funct, iei f este:
A 0 B 1 C 2 D 3 E 4
390
Valoarea lui a pentru care funct, ia f : R → R, f (x) = x|x − a|, este derivabil˘a pe R este:
A a = 1 B a = −1 C a = 0 D a = 2 E a = −2
391
Fie g s, i h dou˘a funct, ii derivabile pe R s, i f : R → R, f (x) = g(x)|h(x)|. Dac˘a h(x0) = 0,
atunci funct, ia f este derivabil˘a ˆın x0 dac˘a s, i numai dac˘a:
A h′(x0) = 0 B g(x0) > 0 C g(x0) = 0 D g(x0)h′(x0) = 0 E alt r˘aspuns
392
Funct, ia f : [0, 2] → R f (x) =
{ ax
x2 + b , 0 ≤ x ≤ 1
ln(x2 − 3x + 3) + 2x, 1 < x ≤ 2 , unde a, b ∈ R,
a > 0, este o funct, ie derivabil˘a pentru:
A a = 6, b = 2 B a = 8, b = 3 C a = 8, b = 30 D a = 10, b = 4 E a − 2b = 1
393
Derivata funct, iei f : R → R, f (x) = 6
√x2, ˆın punctul zero, este:
A ∞ B 0 C 1/3 D 1 E nu exist˘a
394
Fie f : R → R, f (x) = x3 + 2x. Valoarea lui (f −1)′
(3) este:
A 1 B −1 C 1
3 D −2 E 1
5
— 51 —Subiect și barem · pagina 58
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
395
Fie funct, ia f : R \ {1} → R, f (x) = x2 + αx + β
x − 1 , unde α, β ∈ R. Valorile lui α s, i β
pentru care f admite un extrem ˆın punctul M (0, 1) sunt:
A α = 1, β = −1 B α = 0, β = 1 C α = β = 2 D α = 3, β = −1
E α = −1, β = 1
396
Se consider˘a funct, ia f : [−1, ∞) → R,
f (x) =
{ − ln(x2 + x + 1) ; −1 ≤ x ≤ 0√x|x2 − 4| ; x > 0 .
Not˘am cu α num˘arul punctelor de extrem, cu β num˘arul punctelor unghiulare s, i cu γ
num˘arul punctelor de ˆıntoarcere ale funct, iei f. Atunci:
A α = 5, β = 0, γ = 2 B α = 5, β = γ = 1 C α = 5, β = 2, γ = 0
D α − β = 4, β − γ = 1 E α = 4, β = 0, γ = 2
397
Fie f : R → R, f (x) = ln(1 + x2) − x. Care din urm˘atoarele afirmat, ii sunt adev˘arate?
A f e strict pozitiv˘a pe R B f e strict cresc˘atoare pe R
C f e strict negativ˘a pe R D f verific˘a inegalitatea f (x) > 0, ∀x ∈ (−∞, 0)
E f verific˘a inegalitatea f (x) > 0, ∀x ∈ (0, ∞)
398
Derivata de ordinul 100, (x99 ln x)(100), x > 0, este:
A 100!x B 100!
x C −100!x D 99!x E 99!
x
399
Fie f : R → R, f (x) = x3 + 2x2 + 4x + 4. Valoarea lui (f −1)′(4) este:
A 0 B 1 C 1
4 D 1
116 E 1
68
400
Dac˘a f : R → R este o funct, ie cu derivata de ordinul al doilea continu˘a astfel ˆıncˆat
f (2) = f ′(2) = f ′′(2) = 2, iar funct, ia g : R → R este definit˘a prin g(x) = f
(√x2 + 3
)
,
atunci:
A g(1) = g′(1) = 2 B g′(1) = √2 C g(1) + g′′(1) ∈ N D g′(1) = g′′(1) = 1
E g′(1) = 1, g′′(1) = 5
4
— 52 —Subiect și barem · pagina 59
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
Fie funct, ia f dat˘a prin f (x) = 2
x2−1
401 Mult, imea r˘ad˘acinilor derivatei de ordinul doi a funct, iei este:
A {0} B {−1; 0; 1} C ∅ D {0; 2} E {0; 1}
402 Mult, imea r˘ad˘acinilor derivatei de ordinul trei a funct, iei este:
A {0} B {−1; 0; 1} C ∅ D {0; 2} E {0; 1}
Fie f : (0, +∞) → R o funct, ie de dou˘a ori derivabil˘a astfel ˆıncˆat f ′′(x) = 1
x , ∀x > 0 s, i
f (1) = f ′(1) = 0.
403 f ′(x) are expresia:
A − 1
x2 B 1 − 1
x2 C 1
x2 − 1 D ln x E alt r˘aspuns
404 f (x) are expresia:
A 2
x3 B 2
x3 − 2 C x ln x − x D x ln x + x − 1 E alt r˘aspuns
405 Num˘arul solut, iilor reale ale ecuat, iei ln x = 1 − 1
x este:
A 0 B 1 C 2 D 3 E alt r˘aspuns
Se d˘a funct, ia f : R → R, f (x) = 2x4
+ 2x2−1.
406 Care este valoarea lui f (−1)?
A 1 B 2 C 3 D 4 E 5
407 Care este solut, ia inecuat, iei f (x) ≤ 3?
A ∅ B [−1, 1] C (−∞, −1] ∪ [1, ∞) D (−∞, −1] E alt r˘aspuns
408 Num˘arul punctelor de extrem local ale funct, iei f este:
A 0 B 1 C 2 D 3 E 4
— 53 —Subiect și barem · pagina 60
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
Se consider˘a funct, ia f : R → R, f (x) = x2e−x2
.
409 Suma p˘atratelor absciselor punctelor de inflexiune ale graficului funct, iei este egal˘a cu:
A 25 B 1 C 5 + √17 D 5 E 5 − √17
410 Aria m˘arginit˘a de graficul funct, iei f ′, dreptele x = −2, x = 1 s, i axa OX este egal˘a cu:
A 1
e − 4
e2 B 4
e2 − 1
e C 3
e − 4
e4 D 1 E alt r˘aspuns
411
Funct, ia f : (−1, ∞) → R, f (x) = αx2 + 1 − ln(1 + x), α ∈ R, are dou˘a puncte de extrem
local pentru:
A α = −2 B α = −1 C α ∈ (−2, −1) D α > 2 E α < −2
412
Se d˘a funct, ia f : R → R, f (x) = ex(x2 + 6x + m), unde m este un parametru real.
Funct, ia f admite puncte de extrem pentru:
A m ∈ (−∞, 10] B m ∈ (10, ∞) C m ∈ R D m ∈ (−∞, 10) E m ∈ [10, ∞)
413
Inegalitatea ax ≥ x + 1 are loc pentru orice x ∈ R dac˘a s, i numai dac˘a:
A a = 1 B a = e C a > 1 D a > e E a < e
414
Dac˘a mult, imea solut, iilor ecuat, iei ax = x, cu a > 1, are un singur element, atunci:
A a = 1
e B a = e C a = e 1
e D a = ee E a = 1
ee
415
Mult, imea valorilor pozitive ale lui a pentru care ecuat, ia ax = x + 2, are dou˘a solut, ii reale
este:
A (1, ∞) B (0, 1) C ( 1
e , e) D ( 1
ee , ee) E (e 1
e , ∞)
416
Mult, imea valorilor pozitive ale lui a pentru care inegalitatea ax ≥ xa, are loc pentru
orice x > 0 este:
A {e} B (0, 1) C (1, ∞) D ( 1
e , 1) E (1, e)
417
Funct, ia f : R → R, f (x) = √x2 − 2x + 2 + √x2 + 2x + 2 are proprietatea:
A este cresc˘atoate pe R B este descresc˘atoare pe (−∞, 0] s, i cresc˘atoare pe [0, ∞)
C este impar˘a D lim
x→∞
f (x)
x = lim
x→−∞
f (x)
x = 2
E graficul funct, iei f intersecteaz˘a axa Ox ˆıntr-un punct.
— 54 —Subiect și barem · pagina 61
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 418 S˘a se determine un punct P (x0, y0) pe curba a c˘arei ecuat, ie este y = (x − 2)√x, x > 0, ˆın care tangenta s˘a fie paralel˘a cu dreapta de ecuat, ie 2y = 5x + 2. A P (4, 4) B P (9, 21) C P (1, −1) D P (2, 0) E P (3, √3) 419 Ecuat, ia tangentei comune la graficele funct, iilor f, g : R∗ → R, f (x) = x2, g(x) = 1 x este: A y = −4x − 1 B y = −x − 4 C y = −2x − 4 D y = −4x − 4 E graficele nu admit tangent˘a comun˘a 420 Funct, iile f : R → R, f (x) = x + √x2 + a s, i g : R → R, g(x) = x2 + 1 sunt tangente (au o tangent˘a comun˘a ˆıntr-un punct comun) dac˘a: A a = 1 + e B a = 0 C a = 1 D a = e − π E a = −1 421 Ecuat, ia tangentei la graficul funct, iei f (x) = ln √ 2x − 1 x + 1 ˆın punctul de abscis˘a x = 2 este: A x − 7y − 2 = 0 B x − 6y − 2 = 0 C x − 5y − 2 = 0 D x − 4y − 2 = 0 E x − 3y − 2 = 0 422 Graficele funct, iilor f (x) = ax2 + bx + 2 s, i g(x) = x − 1 x au tangent˘a comun˘a ˆın punctul de abscis˘a x0 = 1 dac˘a: A a + b = −1 B a = 0, b = 1 C a = 1, b = −2 D a = 3, b = −5 E a = 3, b = −4 423 Tangenta la graficul funct, iei f (x) = (a sin x + b cos x)ex ˆın punctul (0, f (0)) este paralel˘a cu prima bisectoare, dac˘a: A a = b = 1 B a = 2, b = 1 C a − b = 1 D a + b = 1 E a2 + b2 = 1 424 Fie x1 cea mai mic˘a r˘ad˘acin˘a a ecuat, iei x2 − 2(m + 1)x + 3m + 1 = 0. Atunci lim m→∞ x1 este: A 1 B 3 2 C 0 D − 1 2 E −1 425 Mult, imea valorilor paramentrului real a pentru care ecuat, ia ax − ln |x| = 0 are trei r˘ad˘acini reale distincte este: A (−∞, 0) B (0, 1) C (−e−1, 0) ∪ (0, e−1) D (e−1, ∞) E ∅ — 55 —
Subiect și barem · pagina 62
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
Fie funct, ia f : (−∞, −1) ⋃ (−1, 1) ⋃ (1, ∞) → R,
f (x) = 2 arctg x − arctg 2x
1 − x2 .
426 lim
x→∞ f (x) este:
A π B 0 C π
2 D −1 E ∞
427 Mult, imea valorilor funct, iei este:
A {−π, 0, π} B {0} C R D (−1, ∞) E (0, ∞)
428
Mult, imea valorilor lui x ∈ R pentru care este adev˘arat˘a egalitatea
2 arctg x + arcsin 2x
1 + x2 = π
este:
A (0, ∞) B (−∞, −1) ∪ [1, ∞) C [1, ∞) D [−1, 1] E [2, ∞)
Fie f (x) = 1
2 arcsin 2x
1+x2 + arctg |x|.
429 Domeniul maxim de definit, ie al funct, iei este :
A [−1, 1] B (−1, 1) C R D R∗ E (− π
2 , π
2 )
430 f (π) este:
A 1 B π
4 C π D
√2
2 E π
2
431 Funct, ia este strict descresc˘atoare dac˘a s, i numai dac˘a x este din:
A R B (−1, 0) C (0, 1) D (−∞, −1/5) E (−∞, −1]
432
Fie f : R → R∗ o funct, ie care admite primitive s, i verific˘a relat, iile cos f (x) = 1, ∀x ∈ R
s, i |f (π) − π| ≤ π. f (100) este:
A 16π B 8π C 4π D 2π E 0
433
O primitiv˘a a funct, iei f : (0, 1) → R, f (x) = 1
2√x − x2 , este:
A arccos √x B arcsin √x C arccos 1
x D arcsin 1√x E arctg √x
— 56 —Subiect și barem · pagina 63
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 434 Mult, imea primitivelor funct, iei f : ( 3π 4 , 5π 4 ) → R, f (x) = x cos2 x , este: A x ctg x + ln cos x + c B − x ctg x + ln cos x + c C x tg x + ln cos x + c D −x tg x − ln(− cos x) + c E x tg x + ln(− cos x) + c 435 Mult, imea primitivelor funct, iei f : ( − π 2 , π 2 ) → R, f (x) = sin x 1 + sin x , este: A x + tg x 2 + c B 1 1+tg x 2 + c C x + 2 tg x 2 + c D 2 1+tg x 2 + c E x + 2 1+tg x 2 + c 436 O primitiv˘a a funct, iei f : (0, ∞) → R , f (x) = ex √e2x − 1 este: A arcsin ex B arccos ex C arctg x D ln ( ex + √e2x − 1 ) E 2√e2x − 1 437 Mult, imea primitivelor funct, iei f : R → R , f (x) = 1 √ex + 1 este: A ln √ex+1−1√ex+1+1 + c B ln 1√ex+1+1 + c C 2√ex + 1 + c D − ln (√e−x + 1 + e−x/2) + c E ln (√ex + 1 − ex) + c 438 Mult, imea primitivelor funct, iei f : (0, ∞) → R , f (x) = 1 x(x3 + 1) este: A ln x − ln(x3 + 1) + c B ln x3 x3+1 + c C 1 3 ln x3 x3+1 + c D ln x + arctg x + c E ln x ln(x + 1) + c 439 Mult, imea primitivelor funct, iei f : R → R , f (x) = ex (x2 − 2x + 1) (x2 + 1)2 este: A ex arctg x + c B ex (1 + x2)−1 + c C xex x2+1 + c D x2ex x2+1 + c E (x+1)ex x2+1 + c 440 Mult, imea primitivelor funct, iei f : (−∞, −1) → R, f (x) = 1 x√x2 − 1 este: A arccos 1 x + c B arcsin 1 x + c C − arctg √x2 − 1 + c D ln √x2 − 1 + c E arctg 1 x + c 441 Mult, imea primitivelor funct, iei f : (0, ∞) → R, f (x) = ex + cos x ex + cos x + sin x , este: A ln(ex + cos x + sin x) + c B x + ln(ex + cos x + sin x) + c C x 2 + ln(ex + cos x + sin x) + c D 1 2 [x + ln(ex + cos x + sin x)] + c E x 2 − 1 2 ln(ex + cos x + sin x) + c — 57 —
Subiect și barem · pagina 64
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
442 0∫
−2
x
√ex + (x + 2)2 dx este:
A −1 B −2 C −e D 2 − e E alt r˘aspuns
443 1∫
0
x2 + 1
x4 + 1 dx
A 5π
6√2 B 7π
6√2 C 3π
4√2 D 4π
3√2 E π
2√2 ;
444
Funct, ia f : R → R, f (x) =
{ sin x
x , x 6 = 0
a, x = 0
are primitive dac˘a s, i numai dac˘a:
A a = 0 B a = 1 C a = −1 D a > 0 E a < 0
445
Fie F : R∗ → R astfel ca: F ′(x) = 1
x , pentru orice x ∈ R∗, F (−1) = 1 s, i F (1) = 0. Atunci
F (e) + F (−e) este:
A 0 B 1 C 2 D 3 E nu exist˘a o astfel de funct, ie F
Fie F o primitiv˘a a funct, iei f : R → R, f (x) = ex2
.
446 lim
x→0
xF (x)
ex2 este:
A 0 B 1 C 1
2 D ∞ E e
447 lim
x→∞
xF (x)
ex2 este:
A ∞ B 1 C 1
2 D 0 E e
448
Funct, ia F : R → R, este continu˘a ˆın 0 s, i derivabil˘a pe R∗ astfel ca
F ′(x) =
(
sin 1
x
)2
, x ∈ R∗.
Derivata F ′(0) este:
A 0 B ∞ C 1 D nu exist˘a E alt r˘aspuns
449
Integrala
∫ 1
0
√x
(x + 3)√x + 3 dx este:
A − 1
16 − ln 15
16 B ln 3 − 1 C ln 3
4 − 1 D − 1
4 + arctg 1
4 E 1
4
— 58 —Subiect și barem · pagina 65
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 450 lim x→∞ 1 x ∫ x 0 dy 2 + cos y A 0 B nu exist˘a C 1√3 D 1√2 E ∞ 451 5∫ −5 (2x − 1) sgn x dx A 0 B −50 C 10 D 15 E 50 452 2∫ 0 2x3 − 6x2 + 9x − 5 (x2 − 2x + 5)n dx A 1 B −1 C 0 D 2 n E n 2 453 ∫ 1 0 2 (1 + x2)2 dx A π 4 + 1 B π + 1 2 C π 4 + 1 2 D π 4 + 3 2 E π + 1 4 454 ∫ 3 0 √x √x + √3 − x dx este: A 3 2 B 2 3 C 4 3 D 3 4 E 5 3 455 8∫ 3 dx x − 1 + √x + 1 A 2 3 ln 25 8 B ln 3 C 5 D √11 E 3 arctg √3 − 2 456 ∫ e √e ln x x dx este: A 3 8 B 3 4 C e 2 D 2 e E 1 8 457 Dac˘a funct, ia polinomial˘a P : R → R verific˘a egalit˘at, ile: P (1) + · · · + P (n) = n5, n = 1, 2, . . ., atunci integrala ∫ 1 0 P (x) dx este: A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 E 0 — 59 —
Subiect și barem · pagina 66
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
458 π
4∫
0
x sin x
cos3 x dx
A 1
2 − π
2 B π
4 C π
4 − 1
2 D π
2 − 1 E π
8 − 2
459
S˘a se calculeze
∫ 2π
0
sin(mx) cos(nx) dx, unde m s, i n sunt dou˘a numere ˆıntregi.
A 0 B mπ C π D 1 E (n + m)π
460 1∫
0
ex
1 + e2x dx
A arctg e B π
2 C arctg e − π
4 D 0 E arctg e + π
461 1∫
−1
(1 + 2x2015)e−|x| dx
A 4014
e (e − 1) B 4016
e (e − 1) C ∞ D 2
e (e − 1) E 2006 − 2006
e
462 ∫ 2
−1
min{1, x, x2} dx
A 6
5 B 5
6 C 3
4 D 4
3 E 0
463
Integrala
∫ e
1
ln x dx este:
A 1 B 2 C 0 D e − 1 E e − 2
464
Integrala
∫ e
1
ln2 x dx este:
A 1 B 2 C 0 D e − 1 E e − 2
465
S˘a se calculeze
∫ π
4
0
tg3x dx.
A 1−ln 2
2 B 1
2 C 1
2 ln 2 D ln 2 E 1
466
Solut, ia ecuat, iei
∫ x
0
t et dt = 1 este:
A 1 B 2 C 0 D e − 1 E e − 2
— 60 —Subiect și barem · pagina 67
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 467 2e∫ 1 | ln x − 1| dx A 2 ln 2 B 2(e ln 2 − 1) C e ln 2 D 1 E ln 2 − 1 468 √3∫ 0 x arctg x dx A π B 2 − √3 2 C 2π 3 D 2π 3 − √3 2 E π 3 − 2√3 469 e∫ 1 1 + ln x x dx A 3 2 B 1 2 C 1 D 5 2 E 2 470 S˘a se calculeze a∫ 0 (a − x)n−1 (a + x)n+1 dx, unde a > 0, n ∈ N∗. A 1 2na B n 2a C a 2n D 2an E 2a n 471 1∫ −1 sin x ln(2 + x2) dx A 0 B ln 2 C 1 D π 2 E ln 3 472 1∫ 0 x ln(1 + x) dx este: A 1 2 B 1 2 ln 2 C ln 2 D 1 4 E 1 4 ln 2 473 lim a→1 ∫ a 0 x ln(1 − x) dx, a ∈ (0, 1): A 0 B − 1 4 C − 1 2 D − 3 4 E −1 474 π 2∫ 0 dx 2 cos x + 3 este: A 0 B 2√5 arctg 1√5 C arctg √5 D arctg 2√5 E 1√5 — 61 —
Subiect și barem · pagina 68
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
475 4π∫
0
dx
5 + 4 cos x este:
A 4π
3 B 0 C 4
5 π D 5
4 π E π
476
Integrala
∫ 1
n
1
n+2
⌊ 1
x
⌋
dx, n ∈ N∗ este:
A 2n+3
(n+1)(n+2) B 0 C 3n D 4n
5n+1 E 6n
477
Valoarea lui In =
n∫
1
dx
x + [x] este:
A ln 2n−1
2 B ln 3·5·····(2n−1)
2·4·····(2n−2) C ln 2 − ln(2n − 1) D 1
2 ln x E 1
2 ln n
478
Dac˘a n ∈ N∗, atunci valoarea integralei ∫ nπ
2
0 e−x cos 4x dx este:
A 1
17 (1 − e− nπ
2 ) B nπ C nπ
4 D 0 E e π
2
479
Valoarea expresiei ∫ π
4
0 sin2x dx + ∫ 1
2
0 arcsin √x dx este:
A π
8 B π
3 C π
5 D π
7 E π
2
480
Valoarea integralei ∫ π
4
0 1−sin 2x
1+sin 2x dx este:
A 1 − π
4 B π
4 C 1 D 0 E π
2
481
lim
n→∞
∫ n
1
n
1
x2+x+1 dx este:
A 2π
3√3 B 2π C 3√3 D 0 E 3
482
Fie n un num˘ar natural nenul. S˘a se calculeze
∫ 1
0
{nx}2 dx, unde {a} reprezint˘a partea
fract, ionar˘a a num˘arului a.
A 1 B 1
n C 1
3 D 1
2 E 1
4
— 62 —Subiect și barem · pagina 69
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
483 Integrala
∫ π
4
0
(tgn+2 x + tgn x)dx, unde n > 0, este:
A 1
n+1 B 1
n C π/4 D n + π
4 E 1
484 Integrala
∫ π
4
0
(tg9 x + 5 tg7 x + 5 tg5 x + tg3 x)dx este:
A 24
25 B π
24 C 25
24 D π
25 E 1
485 Integrala
∫ π
4
0
( 1
cos4 x − 1
cos2 x
)
dx este:
A π
4 B π
3 C 1
2 D 1
3 E 1
486 ∫ 2π
0
cos2(nx) dx, unde n este un num˘ar natural nenul, este:
A 0 B π C π
2 D π
n E nπ
487
Dac˘a a ∈ N s, i L(a) = lim
n→∞
1
n
∫ 1
0
[neax] dx, atunci mult, imea solut, iilor inecuat, iei L(a) ≤ e
este:
A {0, 1} B {1, 2} C ∅ D {0} E N∗
488
Limita lim
n→∞
1
n3
2n∑
k=1
k2
8 arcsin k
2n este:
A 0 B π
3 C π
6 − 2
9 D −π
3 E 1
489 ∫ π
2
0
x cos2 x dx
A π2
4 B π2−4
16 C π2
4 − 1 D π
2 E alt rezultat
— 63 —Subiect și barem · pagina 70
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 Fie funct, ia f : R → R definit˘a prin f (a) = ∫ 1 0 |x − a| dx. 490 Valoarea f (2) este: A − 5 2 B 0 C x2 2 − 1 D 1 2 E 3 2 491 Valoarea f ′(2) este: A 1 B 0 C x D − 1 2 E 3 2 492 Valoarea minim˘a a funct, iei este: A 0 B 1 4 C 1 6 D 1 2 E − 1 4 493 π∫ 0 sin(2x) sin4 x + cos4 x dx este: A π 4 B 2 C 0 D π E 1 494 π 2∫ 0 sin3 x dx A 1 B 1 3 C 2 D 2 3 E 4 3 495 π 2∫ 0 | sin x − cos x| dx A 1 B 2(√2 − 1) C 2√2 D 2 − √2 E 3 496 π∫ 0 arcsin(sin x) dx A π2 4 B 8π2 C 1 D 2π E π2 2 497 ∫ π 0 arcsin (cos3 x) dx A π2 4 B 0 C 1 D π2 8 E π2 6 — 64 —
Subiect și barem · pagina 71
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 Fie f : R → R, f (x) = sin2n x cos2n x + sin2n x , unde n ∈ N∗ este fixat. 498 Funct, ia f este o funct, ie periodic˘a avˆand perioada principal˘a egal˘a cu: A 2π B π 2 C π D π 4 E alt r˘aspuns 499 Funct, ia f + c, c ∈ R, are o primitiv˘a periodic˘a dac˘a s, i numai dac˘a c are valoarea: A π B −1 2 C −π 4 D −π E 2π 500 lim n→∞ ∫ π/3 0 sinn x sinn x + cosn x dx A π 12 B π 8 C π 6 D 0 E ∞ 501 2π∫ 0 x sin100 x sin100 x + cos100 x dx A 0 B π2 4 C π2 2 D 2π E π2 502 Se consider˘a funct, iile: fn : (0, ∞) → R, fn(x) = 1 x(xn + 1) , n ∈ N∗ s, i fie Fn : (0, ∞) → R primitiva funct, iei fn al c˘arei grafic trece prin punctul A(1, 0). Solut, ia inecuat, iei | lim n→∞ Fn(x)| ≤ 1 este: A (0, e] B [ 1√e , e] C [ 1 e , e] D [ 1 e , ∞) E ∅ 503 lim x→∞ x∫ 0 t2e−t dt A 0 B ln 3 C 2 D 1 E ∞ 504 lim n→∞ 1 n n∫ 1 x − 1 x + 1 dx A 0 B 1 C 2 D e E ∞ 505 Integrala ∫ 1 0 1 sin(a + x) sin(b + x) dx, 0 < a < b < 2, este: A ln sin(a+1) sin b sin a sin(b+1) B 1 sin(b−a) ln sin b sin a C ln(ab) sin(b−a) D sin(a+1) sin(b+1) E alt r˘aspuns — 65 —
Subiect și barem · pagina 72
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 Fie In = 1∫ 0 x2004 cos(n x) dx, n ∈ N. 506 Limita s, irului (In) este: A 0 B 1 C 2 D cos 1 E nu exist˘a 507 Limita s, irului (n In)n≥0 este: A 0 B 1 C 2 D cos 1 E nu exist˘a S˘a se calculeze: 508 ∫ 2 1 x3 − x − 2 x3ex dx; A − 3 4e2 B 3 4e2 C 1 e D 1 e2 E − 1 2e2 Fie I = ∫ 1 0 x 1 + x + x2 + x3 dx s, i J = ∫ 1 0 1 + x + x2 1 + x + x2 + x3 dx. Atunci 509 I este: A π 8 − ln 2 4 B π 8 + ln 2 4 C π 4 + ln 2 2 D π 4 − ln 2 2 E π 4 + ln 2 510 J este: A π 8 + 3 ln 2 4 B π 8 − ln 2 4 C π 2 + 3 ln 2 2 D π 2 − 3 ln 2 2 E π 4 − ln 2 511 lim n→∞ n3 ∫ n+3 n x3 x6 + 1 dx A 0 B ∞ C 1 D 1 2 E 3 512 Se consider˘a s, irul (an)n∈N, a0 = −1, an+1 = 2 + ∫ 1 an e−x2 dx, n = 0, 1, . . . . Care dintre afirmat, iile de mai jos este adev˘arat˘a? A (an+1 − an)(an − an−1) ≤ 0, ∀n ∈ N∗ B an ≥ 2, ∀n ∈ N∗ C an ≤ 2, ∀n ∈ N∗ D s, irul (an)n∈N este cresc˘ator E s, irul (an)n∈N este descresc˘ator 513 Fie F : R → R, F (x) = x2 ∫ 0 et3 dt. Atunci F ′(2) este: A 4e64 B e8 C 12e8 D 3e2 E 12e6 — 66 —
Subiect și barem · pagina 73
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 Fie fn : [0, +∞) → R, fn(x) = ∫ x2 0 tn · et dt, n ∈ N∗. 514 f1(x) este: A ex2 (x2 − 1) + 1 B ex2 (x2 + 1) + 1 C ex2 (x2 + 1) − 1 D ex2 x2 + 1 E ex2 515 f ′ n(1) este: A e B 2e C 2e − 1 D e − 1 E e + 1 516 lim n→∞ fn(1) este: A e B 1 C 0 D ∞ E e2 517 lim t→0 1 t ∫ 2t t ln(1 + x) sin x dx A ∞ B 0 C 1 D 2 E ln 2 sin 1 518 lim n→∞ 1 n 1∫ 0 [nx] dx A 1 B ∞ C 0 D 1 2 E 2 519 lim n→∞ n+1∫ n dx √x3 + x + 1 este: A ln π B 0 C 1 D ln 2 E ln 3 520 Aria domeniului m˘arginit de axa Ox, curba y = ln x s, i de tangenta la aceast˘a curb˘a care trece prin origine este: A e B e 2 − 1 C e 2 D e − 1 E 2e 521 Aria cuprins˘a ˆıntre axa Ox, dreptele x = 0 s, i x = π s, i graficul funct, iei f : [0, π] → R , f (x) = x sin x 1 + cos2 x este egal˘a cu: A π2 2 B π2 6 C π2 4 D π2 8 E π2 2√2 — 67 —
Subiect și barem · pagina 74
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 Se consider˘a integrala I = ∫ π 0 x f (sin x) dx, unde f este o funct, ie continu˘a pe un interval ce cont, ine [0, 1] . 522 Are loc egalitatea: A I = π ∫ π 2 0 f (sin x) dx B I = π ∫ π 0 f (sin x) dx C I = π 2 ∫ π 2 0 f (sin x) dx D I = 2π ∫ π 2 0 f (cos x) dx E I = π 2 ∫ π 2 0 f (cos x) dx 523 I1 = ∫ π 0 x sin x dx 1 + sin2 x este: A π√2 ln (3 + 2√2) B π 2√2 ln (3 + 2√2) C π 2√2 ln (3 − 2√2) D π√2 ln (3 − 2√2) E π 2 ln (3 + √2) 524 Aria domeniului m˘arginit de graficul funct, iei f : [0, 3π 4 ] → R, f (x) = cos x 1 + cos x , axa Ox s, i dreptele x = 0 s, i x = 3π 4 , este: A π 4 B tg 3π 8 C 2π D π 4 + tg 3π 8 − 2 E 0 Fie g : R → R inversa funct, iei f : R → R, f (x) = x + ex. 525 g(1) este: A −1 B 0 C 1 D ∞ E 1 3 526 Limita lim x→0 sin x g(ex) este: A 1 B 1 2 C 2 D 3 2 E 0 527 Integrala 1+e∫ 1 g(t) dt este: A 1 2 B e + 1 2 C 2e + 3 2 D 3 2 E e + 1 — 68 —
Subiect și barem · pagina 75
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
Se consider˘a funct, ia f : R → R, f (x) = x − e−x s, i fie g inversa lui f .
528 f ′(x) are expresia:
A 1 + ex B 1 + e−x C xe−x D 1 − e−x−1 E e−x−1
529 g′(−1) este:
A 0 B −1 C 2 D 1
2 E 1
e
530
∫ 1
0
f (x) dx este:
A 1
e − 1
2 B 3
2 − 1
e C 1
2 − 1
e D 1
e − 3
2 E 3
2 + 1
e
531
∫ 1−1/e
−1
g(x) dx este:
A −1 B 0 C 3
2 − 2
e D 3
2 + 1
e E 1
e − 1
2
532
lim
n→∞
∫ 1
0
n
√xn + (1 − x)n dx este:
A 0 B 1 C 3
4 D 1
2 E 1
4
533
lim
n→∞
1
n
∫ 1
0
ln (1 + enx) dx este:
A 0 B e C 1
2 D ln 2 E 1
3
534
lim
n→∞
∫ n
1
ln x
n ln n + x ln x dx este:
A 0 B 1 C 1
2 D ∞ E ln 2
535
Fie {x} partea fract, ionar˘a a num˘arului real x. Atunci, lim
n→∞n
∫ π
0
{ − x}n dx este:
A 0 B 1 C 2 D 3 E alt r˘aspuns
536
lim
t→0
∫ 3t
2t
x
ln x dx este:
A 0 B nu exist˘a C ln ln 3
ln 2 D ln 3
2 E ln 3
ln 2
— 69 —Subiect și barem · pagina 76
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 537 lim n→∞ n 0∫ −1 (x + ex)n dx este: A e B 0 C ∞ D 1 + e E 1/2 538 3∫ 1 ln x x2 + 3 dx A π ln 3 3√3 B π ln 3 12√3 C π ln 6 6√3 D π 2√3 E alt r˘aspuns 539 2∫ 0 arctg x x2 + 2x + 2 dx A π B 2π C 1 2 arctg 2 arctg 1 2 D 0 E 1 540 lim n→∞ ∫ n 0 arctg x x2 + x + 1 dx A π2 6√2 B π2 6√3 C π2 6 D 0 E ∞ — 70 —
Subiect și barem · pagina 77
2. ANALIZ ˘A MATEMATIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 Urm˘atoarele enunt, uri teoretice pot fi utile pentru rezolvarea unor probleme din culegere. 541 Fie xn > 0, n ∈ N∗, astfel ca lim n→∞ ( xn+1 xn )n < 1. Atunci lim n→∞ xn = 0. 542 Fie f : [0, b − a] → (0, ∞) o funct, ie continu˘a s, i a < b. Atunci ∫ b a f (x − a) f (x − a) + f (b − x) dx = b − a 2 . 543 Fie f : (−1, 1] → R o funct, ie continu˘a. Atunci, lim n→∞ n ∫ 1 a xnf (x) dx = f (1), −1 < a < 1. 544 Fie f : [0, 1] → R continu˘a. Atunci, lim n→∞ n ∫ 1 0 xn f (xn) dx = ∫ 1 0 f (t) dt. 545 Dac˘a f : [0, ∞) → R este continu˘a s, i are perioada T > 0, atunci lim n→∞ ∫ 1 0 f (nx) dx = 1 T ∫ T 0 f (x) dx. 546 Fie a, b > 0. Dac˘a f : [−b, b] → R este o funct, ie continu˘a par˘a, atunci ∫ b −b f (x) ax + 1 dx = ∫ b 0 f (x) dx. 547 Fie a, b ∈ R. Dac˘a f : R → R este o funct, ie integrabil˘a cu perioada T > 0, atunci integrala ∫ a+T a f (x + b) dx, nu depinde de a s, i b. — 71 —
Subiect și barem · pagina 78
∗ ∗ ∗
Subiect și barem · pagina 79
3 Geometrie analitic˘a 548 Fie punctele A(λ, 1), B(2, 3), C(3, −1). S˘a se determine λ astfel ˆıncˆat punctul A s˘a se afle pe dreapta determinat˘a de punctele B s, i C. A 2 B 3 C 5 2 D 1 2 E 2 3 549 Dreptele 4x − y + 2 = 0, x − 4y − 8 = 0, x + 4y − 8 = 0 determin˘a un triunghi. Centrul cercului ˆınscris ˆın triunghi este A ( 6 5 , 0) B ( 6 5 , 1) C ( 5 6 , 0) D ( 5 6 , 1) E ( 6 5 , 5 6 ) 550 Triunghiul ABC are latura [AB] pe dreapta 4x + y − 8 = 0, latura [AC] pe dreapta 4x + 5y − 24 = 0, iar vˆarfurile B s, i C pe axa Ox. Ecuat, ia medianei corespunz˘atoare vˆarfului A este: A 2x + 3y = 0 B 3x + 2y = 0 C 5x + y = 9 D 4x + 3y − 16 = 0 E x + 4y − 17 = 0 551 Se dau punctele A(2, 1) s, i B(0, −1). Ecuat, ia simetricei dreptei AB fat, ˘a de dreapta OA este: A x + 2y − 1 = 0 B 3x − 7y + 1 = 0 C 2x + y + 5 = 0 D x + y + 1 = 0 E x − 7y + 5 = 0 552 Fie triunghiul ABC, unde B(−4, −5). Ecuat, ia ˆın˘alt, imii duse din A este 5x + 3y − 4 = 0. Ecuat, ia dreptei BC este: A 5y − 3x + 13 = 0 B 3x − 5y + 37 = 0 C y = −5 D x + y − 2 = 0 E y − 2x = 3 73
Subiect și barem · pagina 80
3. GEOMETRIE ANALITIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 553 ˆIn sistemul cartezian de coordonate xOy se consider˘a punctele A(3, 4), B(−3, −4) s, i C(3, −4). Coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC sunt: A (1, 1) B (−1, 0) C (0, 0) D (0, 1) E (0, −1) 554 Fie C simetricul punctului A(−1, −3) fat, ˘a de punctul B(2, 1). Care sunt coordonatele punctului C? A (5, 5) B (4, 5) C (6, 5) D (5, 6) E (4, 6) 555 Fie punctele A(0, 2) s, i B(3, 3). Not˘am cu P proiect, ia punctului O(0, 0) pe dreapta AB. Care sunt coordonatele punctului P ? Care este aria triunghiului OAB? A (− 3 5 , − 9 5 ) ; 3 B (− 3 5 , − 9 5 ) ; 6 C ( 3 5 , − 9 5 ) ; 3 D (− 3 5 , 9 5 ) ; 3 E (− 3 5 , 9 5 ) ; 6 556 Fie A(0, −1), d1 : x − y + 1 = 0 s, i d2 : 2x − y = 0. Coordonatele punctelor B ∈ d1 s, i C ∈ d2 pentru care dreptele d1 s, i d2 sunt mediane ˆın triunghiul ABC sunt: A (0, 1), (3, 6) B (0, 1), (0, 1) C (−1, 0), (1, 1) D (0, 0), (−1, 1) E (−1, −1), (1, 1) 557 Fie dreptele (AB) : x + 2y − 1 = 0 (BC) : 2x − y + 1 = 0 (AC) : 2x + y − 1 = 0 care determin˘a triunghiul ABC. Bisectoarea unghiului B are ecuat, ia: A x − 3y + 2 = 0 B x + y − 1 = 0 C 3x − y + 2 = 0 D x − y + 1 = 0 E x − y + 5 = 0 558 Pentru ce valori ale parametrului α ecuat, iile 3αx − 8y + 13 = 0, (α + 1)x − 2αy − 5 = 0 reprezint˘a dou˘a drepte paralele: A α1 = −2, α2 = 1 3 B α1 = −2, α2 = − 1 3 C α1 = 2, α2 = 2 3 D α1 = 2, α2 = − 2 3 E α1 = 1 2 , α2 = 3 559 Se consider˘a ˆın plan punctele A(0, 0), B(2, 0) s, i dreapta de ecuat, ie d : x − 2y + 10 = 0. Valoarea minim˘a a sumei S(M ) = M A + M B, cˆand punctul M parcurge dreapta d este: A 2 B 10 C √101 D √98 E 7√2 560 Dreapta care trece prin C(1, 2), neparalel˘a cu AB fat, ˘a de care punctele A(−1, 1) s, i B(5, −3) sunt egal dep˘artate, are ecuat, ia: A 3x + y − 5 = 0 B 2x + y − 4 = 0 C 3x + 2y − 6 = 0 D 2x + 3y − 4 = 0 E 2x + 3y − 6 = 0 — 74 —
Subiect și barem · pagina 81
3. GEOMETRIE ANALITIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 561 Fie punctele A(1, 1), B(2, −3), C(6, 0). Coordonatele punctului D pentru care ABCD este paralelogram sunt: A (4, 4) B (5, 4) C (3, 5) D (3, 3) E (4, 5) 562 Raza cercului care trece prin punctele A(−4, 0), B(4, 4), O(0, 0) este: A 6 B 7 C 8 D 2√10 E 3√5 563 Laturile AB, BC, CA ale triunghiului ABC au respectiv ecuat, iile: x + 21y − 22 = 0, 5x − 12y + 7 = 0, 4x − 33y + 146 = 0. Distant, a de la centrul de greutate al triunghiului ABC la latura BC este: A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 Se dau punctele A(0, 1), B(−1, 0), C(6, 2), s, i D(1, 1). 564 Simetricul punctului C fat, ˘a de dreapta AB este: A C′ (−6, 2) B C′ (6, −2) C C′ (−6, −2) D C′ (1, 7) E C′ (1, 4) 565 Coordonatele punctului M ∈ AB pentru care suma DM + M C este minim˘a sunt: A (1, −3) B (1, 2) C (−1, 2) D (1, 3) E (2, 3) 566 Coordonatele punctului M ∈ AB pentru care suma DM 2 + M C2 este minim˘a sunt: A (3, 4) B ( 7 4 , 15 4 ) C (2, 3) D ( 7 3 , 3) E (3, 5) Se consider˘a ˆın planul xOy punctele S(0, 12), T (16, 0) s, i Q(x, y) un punct variabil situat pe segmentul [ST ]. Punctele P s, i R apart, in axelor de coordonate astfel ˆıncˆat patrulaterul OP QR s˘a fie dreptunghi. 567 Ecuat, ia dreptei ST este: A 3x + 4y − 48 = 0 B −3x − 4y + 12 = 0 C 3y − 4x − 36 = 0 D 3x − y + 12 = 0 E y − 4x + 64 = 0 568 Aria dreptunghiului OP QR este: A −3x2 + 12x B 12x − 3 4 x2 C 3x2 + 12x D −4x2 + 12x E 48x − 3 4 x2 569 Valoarea maxim˘a a ariei dreptunghiului OP QR este: A 32 B 48 C 64 D 96 E 84 — 75 —
Subiect și barem · pagina 82
3. GEOMETRIE ANALITIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 Punctul A(−4, 1) este un vˆarf al p˘atratului ABCD parcurs ˆın sens trigonometric, c˘aruia ˆıi cunoas, tem o diagonal˘a de ecuat, ie 3x − y − 2 = 0. 570 Aria p˘atratului ABCD este: A 45 B 15 C 90 D 30 E 45 2 571 Punctul C are coordonatele: A (4, −1) B (5, −2) C (6, 1) D ( 9 2 , − 7 2 ) E ( 11 2 , − 1 2 ) Fie ˆın planul xOy punctele A(4, 0), B(5, 1), C(1, 5), D(0, 4). 572 Patrulaterul ABCD este: A patrulater oarecare B trapez isoscel C romb D dreptunghi E trapez dreptunghic 573 Aria patrulaterului este A 4 B 8 C 1 D 16 E 2 574 Simetricul punctului A fat, ˘a de dreapta BC este punctul de coordonate A (1, 5) B (5, 1) C (5, 2) D (6, 2) E (6, 4) 575 ˆIn sistemul cartezian xOy, o dreapt˘a variabil˘a d care cont, ine punctul A(0, 5) intersecteaz˘a dreptele x − 2 = 0 s, i x − 3 = 0 ˆın punctele B, respectiv C. S˘a se determine panta m a dreptei d astfel ˆıncˆat segmentul BC s˘a aib˘a lungime minim˘a. A m = 0 B m = −1 C m ∈ R D m = 2 E nu exist˘a 576 Fie dreapta D : x + y = 0 s, i punctele A(4, 0), B(0, 3). Valoarea minim˘a a sumei M A2 + M B2, pentru M ∈ D este: A 99 4 B 25 C 101 4 D 26 E 105 4 — 76 —
Subiect și barem · pagina 83
3. GEOMETRIE ANALITIC ˘A Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
Se consider˘a expresia E(x, y) = x2 + y2 − 6x − 10y.
577 Distant, a de la punctul (x, y) la punctul (3, 5) este:
A √E(x, y) + 34 B √E(x, y) − 34 C √E(x, y) D √E(x, y) + 1
E alt r˘aspuns
578 Valoarea minim˘a a lui E(x, y), pentru (x, y) ∈ R2, este:
A 0 B −34 C 34 D −1 E 1
579 Se consider˘a mult, imea D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 − 2y ≤ 0}. Valoarea maxim˘a a lui
E(x, y), pentru (x, y) ∈ D, este:
A 8 B 0 C 4 D 6 E 2
Fie ABC un triunghi. Not˘am cu G centrul s˘au de greutate, cu O centrul cercului cir-
cumscris, cu H ortocentrul, cu I centrul cercului ˆınscris s, i a = BC, b = CA, c = AB.
580 Punctul M din planul triunghiului ABC pentru care −−→
M A + −−→
M B + −−→
M C = ~0 este:
A G B H C I D O E A
581 Punctul N din planul triunghiului ABC pentru care a−−→
N A + b−−→
N B + c−−→
N C = ~0 este:
A G B H C I D O E A
582 Punctul R din planul triunghiului ABC pentru care −→
RA + −−→
RB + −→
RC = −−→
RH este:
A G B H C I D O E A
— 77 —Subiect și barem · pagina 84
∗ ∗ ∗
Subiect și barem · pagina 85
4 Trigonometrie 583 Funct, ia f : R → R, f (x) = sin(4x) + cos (√2x), are perioada: A 2 B 2π C √2π D √2 E nu este periodic˘a 584 Valoarea lui arcsin(sin 3) este: A 3 B −3 C 0 D π − 3 E − cos 3 585 Valoarea lui sin 15◦ este: A √6−√2 2 B √3−√2 4 C √6−√3 4 D √6−√2 4 E √6−√5 4 Fie numerele complexe zk = cos 2kπ 5 + i sin 2kπ 5 , k = 1, 2, 3, 4. 586 Ecuat, ia polinomial˘a ale c˘arei r˘ad˘acini sunt numerele zk (k = 1, 2, 3, 4) este: A x4 + 1 = 0 B x5 − 1 = 0 C x5 + 1 = 0 D x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 E x4 + x2 + 1 = 0 587 Valoarea expresiei cos 2π 5 + cos 4π 5 + cos 6π 5 + cos 8π 5 este: A −1 B 0 C 1 2 D 1 E 2 588 Valoarea expresiei cos 2π 5 este: A √5+1 4 B √5−1 2 C √5−1 4 D √5+1 2 E 1 79
Subiect și barem · pagina 86
4. TRIGONOMETRIE Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
589
cos x cos 5π
4 − sin x sin 5π
4 = 1 dac˘a s, i numai dac˘a:
A x ∈ {2kπ − π
4 | k ∈ Z} B x ∈ {kπ ± 5π
4 | k ∈ Z} C x ∈ {kπ − 5π
4 | k ∈ Z}
D x ∈ {2kπ − 5π
4 | k ∈ Z} E x ∈ {2kπ ± 5π
4 | k ∈ Z}
Se consider˘a funct, ia f (x) = cos2n x + sin2n x, n ∈ N, n ≥ 2, x ∈ R.
590 Mult, imea solut, iilor ecuat, iei f (x) = 1 este:
A {2kπ}k∈Z B {2kπ + π
2
}
k∈Z C {kπ + π
2
}
k∈Z D {k π
2
}
k∈Z E ∅
591 Mult, imea valorilor funct, iei f este
A [0, 1] B [−1, 1] C [0, 1
n ] D [ 1
2n−1 , 1] E Alt r˘aspuns
Se consider˘a ecuat, ia: (sin x + cos x)n − a sin x cos x + 1 = 0, n ∈ N, a ∈ R.
592 Pentru n = 2 ecuat, ia are solut, ie dac˘a s, i numai dac˘a
A a ∈ [2, 6] B a ∈ (−∞, −2] ∪ [6, ∞) C a ∈ (−2, 6) D a ∈ (−1, 1] E alt r˘aspuns
593 Pentru n = 1 s, i a = 3 mult, imea solut, iilor ecuat, iei este:
A {kπ|k ∈ Z} B ∅ C {(2k + 1)π|k ∈ Z} ∪ {2kπ − π
2 |k ∈ Z}
D { π
6 + 2kπ|k ∈ Z} E {2kπ + π
4 |k ∈ Z}
594
Dac˘a x ∈ (π, 2π) s, i cos x = 7
25 , atunci sin x este:
A − 24
25 B − 7
8 C − 23
25 D 7
8 E 24
25
595
tg π
12 are valoarea:
A
√3+1√3−1 B 1
2+√3 C
√3
6 D 2√3 E alt r˘aspuns
Fie x1 s, i x2 r˘ad˘acinile ecuat, iei x2 − 2√2x + 1 = 0.
596 arctg x1 + arctg x2 este:
A π
2 B π
8 C 3π
8 D 3π
4 E π
4
597 arctg x1 · arctg x2 este:
A π2
8 B 3π2
16 C 3π2
64 D 3π2
32 E π2
16
— 80 —Subiect și barem · pagina 87
4. TRIGONOMETRIE Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
598
Fie x ∈ [π, 3π
2 ] cu proprietatea c˘a tg x = 1
2 . Atunci perechea (sin x, cos x) este:
A
( 1√5 , 2√5
)
B
( −1√5 , 2√5
)
C
( −1√5 , −2√5
)
D
( −2√5 , −1√5
)
E
( 2√5 , 1√5
)
599
Pentru orice a, b ∈ R expresia (cos a + cos b)2 + (sin a + sin b)2 este egal˘a cu:
A 2 sin2(a + b) B 2 cos2(a + b) C 4 sin2 a−b
2 D 4 cos2 a−b
2 E 2
600
Oricare ar fi x ∈ R, suma sin6 x + cos6 x este egal˘a cu:
A 3 − sin2 x cos2 x B 1 − 3 sin2 2x C 1 D 2
3 E 1 − 3 sin2 x cos2 x
601
Dac˘a E = cos2(a + b) + cos2(a − b) − cos 2a · cos 2b atunci, pentru orice a, b ∈ R are loc
egalitatea:
A 2E = 1 B E = 1 C 2E + 1 = 0 D E = 0 E E = −1
602
Dac˘a numerele reale α s, i β satisfac egalitatea
(cos α + cos β)2 + (sin α + sin β)2 = 2 cos2 α − β
2 ,
atunci:
A α − β = π
3 B α − β ∈ {2kπ|k ∈ Z.} C α − β ∈ {(2k + 1)π|k ∈ Z.}
D α − β ∈ { π
2 + 4kπ|k ∈ Z.} E α − β ∈ { π
6 + 10kπ|k ∈ Z.}
603
Num˘arul arctg 1
3 + arctg 1
5 + arctg 1
7 + arctg 1
8 este egal cu:
A π
12 B π
6 C π
4 D 5π
12 E π
2
604
Inversa funct, iei f : [ π
2 , 3π
2
] → [−1, 1] , f (x) = sin x, este funct, ia f −1 : [−1, 1] → [ π
2 , 3π
2
]
definit˘a prin:
A f −1(x) = π + arcsin x B f −1(x) = π − arcsin x C f −1(x) = arcsin x
D f −1(x) = 2π − arcsin x E f −1(x) = −π + arcsin x
605
Egalitatea arcsin(sin x) = x are loc pentru:
A orice x ∈ R B orice x ∈ R astfel ˆıncˆat sin x ∈ (−1, 1)
C orice x ∈ [0, 2π) D ∅ E orice x ∈ [− π
2 , π
2
]
— 81 —Subiect și barem · pagina 88
4. TRIGONOMETRIE Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
606
Mult, imea valorilor lui m ∈ R pentru care expresia
E(x) =
√
cos4 x + m sin2 x +
√
sin4 x + m cos2 x
este constant˘a pe R este:
A {0} B {0, 4} C {1, 4} D {−1, 0} E ∅
607
Valorile minim˘a m s, i maxim˘a M ale expresiei E(x) = cos2 x − 4 sin x, unde x ∈ R, sunt:
A m = −1, M = 1 B m = −5, M = 5 C m = −4, M = 3
D m = −4, M = 4 E m = −3, M = 3
608
Mult, imea solut, iilor ecuat, iei 2 cos2 x − 11 cos x + 5 = 0 este:
A ∅ B {− π
3 + 2kπ|k ∈ Z} C {± π
4 + 2kπ|k ∈ Z}
D {− π
3 + 2kπ|k ∈ Z} ∪ { π
3 + 2kπ|k ∈ Z} E { π
3 + 2kπ|k ∈ Z} ∪ { π
4 + kπ|k ∈ Z}
609
Ecuat, ia 4 sin2 x − 4 sin x + 1 = 0 are urm˘atoarea mult, ime de solut, ii:
A {(−1)k π
4 + kπ|k ∈ Z} B {(−1)k π
3 + kπ|k ∈ Z} C {(−1)k π
6 + kπ|k ∈ Z}
D {(−1)k+1 π
3 + 2kπ|k ∈ Z} E {(−1)k+1 π
4 + 2kπ|k ∈ Z}
610
Dac˘a x ∈ R s, i sin(π cos x) = cos(π sin x), atunci cos 4x este:
A − 1
8 B 1
8 C − 1
2 D 1
2 E 0
Fie Sn, n ∈ N∗, mult, imea solut, iilor ecuat, iei sin x sin 2x . . . sin nx = 1.
611 S1 este:
A { π
2 + 2kπ|k ∈ Z} B {(−1)k π
2 + 2kπ|k ∈ Z} C {kπ|k ∈ Z} D { π
2 , 5π
2 } E ∅
612 S100 este:
A { π
101 + kπ/k ∈ Z} B { π
101 + 2kπ/k ∈ Z} C ∅ D
100⊔
n=1
{ π
5n + kπ
n+1 /k ∈ Z}
E { π
6 + k π/k ∈ Z}
613
Mult, imea solut, iilor ecuat, iei cos 2x = cos x este:
A { 2kπ
3 |k ∈ Z} ∪ { 2kπ
7 |k ∈ Z} B { 2kπ
3 |k ∈ Z} C { 2kπ
7 |k ∈ Z} D {2kπ|k ∈ Z}
E {π + 2kπ|k ∈ Z}
— 82 —Subiect și barem · pagina 89
4. TRIGONOMETRIE Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
614
Mult, imea solut, iilor ecuat, iei sin x = cos 3x este:
A { π
8 + kπ
2 |k ∈ Z} B {− π
4 + kπ|k ∈ Z} C { π
8 , 3π
4
} D {− 4k±1
8 π|k ∈ Z}
E { π
8 + kπ
2 |k ∈ Z} ∪ {− π
4 + kπ|k ∈ Z}
615
Mult, imea solut, iilor ecuat, iei sin 5x = sin x este:
A
{ kπ
5−(−1)k |k ∈ Z
}
B { kπ
5 |k ∈ Z} C { kπ
10 |k ∈ Z}
D {(−1)k arcsin 1
5 + kπ|k ∈ Z} E {(−1)k π
3 + kπ|k ∈ Z}
616
Ecuat, ia 2 tg x + ctg x = 3 are urm˘atoarele solut, ii ˆın intervalul [0, π
2
] :
A π
4 s, i π
6 B π
4 s, i arctg(−5) C π
12 D π
4 s, i arctg 1
2 E π
4 s, i arctg 2
617
Dac˘a √3 sin x + cos x − 2 = 0, atunci:
A x = (−1)k π
2 − π
6 , k ∈ Z; B x = π
6 + (−1)k π
2 , k ∈ Z;
C x = (−1)k π
2 + kπ − π
6 , k ∈ Z; D x = kπ − π
6 , k ∈ Z; E x = kπ, k ∈ Z
618
Ecuat, ia sin x + p cos x = 2p, p ∈ R, are solut, ii pentru:
A |p| > 5 B p ∈
[
− 1√3 , 1√3
]
C |p| > 2
3 D |p| = 3 E 3p2 > 1
619
Solut, iile ecuat, iei −2 sin2 x + cos2 x + 4 sin x cos x − 2 = 0 sunt:
A arctg 1
2 + kπ, k ∈ Z B arctg 1
3 + 2kπ, k ∈ Z C arctg 1
6 + 2kπ, k ∈ Z D
arctg 1
3 + kπ, k ∈ Z E arctg 1 + 2kπ, k ∈ Z
620
Valoarea lui cos x care verific˘a ecuat, ia 2 sin2 2x − 2 sin x sin 3x = 4 cos x + cos 2x este:
A 1
2 B
√3
2 C − 1
2 D
√2
2 E 0
621
Urm˘atoarea mult, ime reprezint˘a solut, ia ecuat, iei sin2 x + tg2 x = 3
2 :
A {(−1)k π
4 + kπ|k ∈ Z} ∪ {(−1)k+1 π
3 + kπ|k ∈ Z} B { π
4 , π
2 , 3π
4
}
C {± π
3 + 2kπ|k ∈ Z} D {(−1)k π
6 + kπ|k ∈ Z} E {± π
4 + kπ|k ∈ Z}
622
Mult, imea tuturor valorilor x ∈ R care verific˘a egalitatea
3(cos4 x + sin4 x) − 2(sin6 x + cos6 x) = 1
este:
A ∅ B R C { π
2 + 2kπ|k ∈ Z} D {kπ|k ∈ Z} E {2kπ|k ∈ N}
— 83 —Subiect și barem · pagina 90
4. TRIGONOMETRIE Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
623
Mult, imea solut, iilor ecuat, iei
(√ 1 − sin x
1 + sin x −
√ 1 + sin x
1 − sin x
) (√ 1 − cos x
1 + cos x −
√ 1 + cos x
1 − cos x
)
= −4
este:
A {kπ|k ∈ Z} B ⋃
k∈Z
(π + 2kπ, 2π + 2kπ) C ⋃
k∈Z
((2k − 1) π
2 , kπ)
D { π
2 + kπ|k ∈ Z} E {2kπ|k ∈ Z}
624
Fie x ∈ R. Valoarea expresiei
(
sin x − 2 3
√sin x cos2 x
)2
+
(
cos x − 2 3
√
sin2 x cos x
)2
este:
A 1 B 2 C sin x + cos x D sin3 x + cos3 x E 3
√sin x + 3
√cos x
625
Ecuat, ia cos4 x − sin4 x = 1 + sin 2x are urm˘atoarea mult, ime de solut, ii:
A ∅ B { π
6 + kπ|k ∈ Z} C { 3π
4 + kπ|k ∈ Z} D {kπ|k ∈ Z} ∪ {− π
4 + kπ|k ∈ Z}
E {2kπ|k ∈ Z}
626
Egalitatea max(sin x, cos x) =
√3
2 este adev˘arat˘a dac˘a s, i numai dac˘a:
A x ∈ { π
6 + 2kπ|k ∈ Z} B x ∈ { π
3 + 2kπ|k ∈ Z} C x ∈ {− π
6 , π
6 , π
3
}
D x ∈ { 11π
6 + 2kπ|k ∈ Z}
E x ∈ {± π
6 + 2kπ|k ∈ Z} ∪ { π
3 + 2kπ|k ∈ Z} ∪ { 2π
3 + 2kπ|k ∈ Z}
627
Mult, imea solut, iilor ecuat, iei 4 sin x cos3 x − 4 sin3 x cos x = 1 este:
A {(−1)k π
2 + kπ|k ∈ Z} B { π
8 + kπ
8 |k ∈ Z} C { π
8 + kπ
2 |k ∈ Z} D {− π
8 , π
8
}
E { π
8 + kπ
4 |k ∈ Z}
628
Solut, ia ecuat, iei 2 arcsin x = arccos 2x este:
A
√3−1
4 B π
4 C π
6 D √2 − 1 E
√3−1
2
629
Mult, imea tuturor valorilor parametrului real m pentru care ecuat, ia
(sin x − m)2 + (2m sin x − 1)2 = 0 are solut, ii este:
A [−1, 1] B
{
−
√2
2 ,
√2
2
}
C {−1, 0, 1} D [− 1
2 , 0) ∪ (0, 1
2
] E { 1
2
}
630
Dac˘a S este mult, imea solut, iilor ecuat, iei (1 − cos x)4 + 2 sin2 x2 = 0, atunci:
A S = ∅ B S ∩ Q = ∅ C S = {π} D S = {0} E S = {0, 2π}
— 84 —Subiect și barem · pagina 91
4. TRIGONOMETRIE Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
631
Ecuat, ia sin x + cos 2x = m, m ∈ R , are solut, ii dac˘a s, i numai dac˘a:
A m ∈ [0, 9
8
] B m = 1 C m = −3 D m < −2 E m ∈ [−2, 9
8
]
632
Mult, imea tuturor valorilor parametrului real m pentru care ecuat, ia
cos2 x + (m + 1) sin x = 2m − 1 are solut, ii este:
A [1, 2] B ∅ C {0} D [0, 2] E [3, ∞)
633
Ecuat, ia sin6 x + cos6 x = m, m ∈ R, are solut, ii dac˘a s, i numai dac˘a:
A m ≤ 2 B 1
4 ≤ m ≤ 1 C m = 1 D 0 ≤ m ≤ 2 E 1
2 ≤ m ≤ 1
634
Mult, imea solut, iilor ecuat, iei sin x + sin 2x = 2 este:
A {kπ|k ∈ Z} B { kπ
2 |k ∈ Z} C { kπ
3 |k ∈ Z}
D {arcsin 1
2 + kπ|k ∈ Z} E ∅
Se consider˘a funct, ia f : [0, 2π] → R, f (x) = 3 cos2 x − 4 sin x.
635 Solut, ia ecuat, iei f (x) = 1
4 este:
A { π
6 , 5π
6 } B { π
3 , 2π
3 } C { π
6 , π
3 } D { π
4 , 3π
4 } E { π
6 , 11π
6 }
636 Valoarea maxim˘a a funct, iei f este:
A −1 B 13
3 C 3 D 11
3 E 14
3
637 Mult, imea valorilor lui a ∈ R pentru care ecuat, ia f (x) = a are solut, ie este:
A [−4, 13
3 ] B [−3, 11
3 ] C [−4, 14
3 ] D [−3, 13
3 ] E [−4, 11
3 ]
638 Num˘arul solut, iilor ecuat, iei f (x) = 5 este:
A 2 B 1 C 0 D 3 E 4
639
S˘a se arate c˘a dac˘a a = 41, b = 28 s, i c = 15, atunci triunghiul ABC este:
A dreptunghic B ascut, itunghic C obtuzunghic D isoscel E echilateral
640
S˘a se determine unghiurile A s, i C ale triunghiului ABC dac˘a a = √2, b = 2, B = π
4 .
A A = π
4 , C = π
2 B A = π
6 , C = 7π
12 C A = π
3 , C = 5π
12
D A = 7π
12 , C = π
6 E A = 5π
12 , C = π
3
— 85 —Subiect și barem · pagina 92
4. TRIGONOMETRIE Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
641 ˆIn triunghiul ABC avem BC = 4, m(̂ A) = 60◦, m(̂ B) = 45◦. Atunci AC are lungimea:
A
√6
3 B 2√6
3 C √6 D 4√6
3 E 5√6
3
Fie z =
(
1 + 2i
1 − i
)2005
.
642 Valoarea lui z este:
A 1 B 2i C −i D i E −2i + 1
643 Modulul lui z + i este:
A √2 B 2 C 1 D √3 E √5
644 Valoarea expresiei 2z + ¯z este
A −i B −2i C 2i + 3 D 3 E i
Fie x = 1
4 (√3 + i). Atunci:
645 x2004 este
A −1+i√3
22005 B − 1
22004 C 0 D 1
22004 E
√3+i
22005
646 x2008 este
A −1+i√3
22009 B − 1
22008 C 0 D 1
22008 E
√3+i
22009
647
Dac˘a n ∈ N, n ≥ 2 s, i S = {z ∈ C | (z + i)n = (z − i)n}, atunci:
A S are n elemente, ∀ n ∈ N, n ≥ 2;
B S = {(−1)n−1 + tg kπ
n | 1 ≤ k ≤ n; k ∈ N; k 6 = n
2 }
C S = {(−1)n−1 + ctg kπ
n | 1 ≤ k ≤ n − 1; k ∈ N}
D S = {ctg kπ
n | 1 ≤ k ≤ n − 1; k ∈ N}
E S ∩ R are cel mult dou˘a elemente, ∀n ∈ N, n ≥ 2
648
Fie triunghiul ABC pentru care tg A
2 = a
b+c . Atunci triunghiul este:
A echilateral B dreptunghic cu A = π
2 C dreptunghic cu B = π
2 sau C = π
2
D ascut, itunghic E obtuzunghic
— 86 —Subiect și barem · pagina 93
4. TRIGONOMETRIE Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
649
Fie z =
(√3 + i)n
(√3 − i)m , m, n ∈ N. S˘a se determine relat, ia dintre m s, i n astfel ˆıncˆat z s˘a fie
real.
A n − m = 6k, k ∈ N B n + m = 3k, k ∈ N C n − m = 3k, k ∈ Z D n − m = 0
E n + m = 6k, k ∈ N
650
Num˘arul E = (cos α − i sin α)(cos 5α + i sin 5α) este real pentru
A α = kπ
4 , k ∈ Z; B α = kπ
2 , k ∈ Z; C α = kπ, k ∈ Z;
D α = kπ
3 , k ∈ Z; E α = 2kπ
3 , k ∈ Z
Fie num˘arul complex u = 2 + 2i.
651 Forma trigonometric˘a a num˘arului complex u este:
A u = √2(cos π
2 + i sin π
2 ) B u = √8(cos π
4 + i sin π
4 ) C u = 2√2(cos 3π
4 − i sin 3π
4 )
D u = √8(cos π
2 + i sin π
2 ) E u = 2√2(cos π
4 − i sin π
4 )
652 u100 este:
A 2100 B 2100i C −2150i D −2150 E −2200
653 Fie mult, imea A = {z ∈ C : |z − 1| ≤ |z − i| s, i |z − u| ≤ 1}. Modulul lui z ∈ A pentru
care argumentul lui z este minim este:
A 3 B √8 C √7 D 1 E √6
Se consider˘a numerele complexe
z1 = sin a − cos a + i(sin a + cos a), z2 = sin a + cos a + i(sin a − cos a).
654 Mult, imea valorilor lui a pentru care num˘arul complex w = zn
1 +zn
2 are modulul maxim
este:
A {2kπ|k ∈ Z} B { kπ
n + π
2 |k ∈ Z} C { 2kπ
n |k ∈ Z} D { kπ
n |k ∈ Z} E alt r˘aspuns
655 Mult, imea valorilor lui a pentru care z1 + z2 ∈ R este:
A {kπ|k ∈ Z} B {2kπ|k ∈ Z} C {kπ + π
2 |k ∈ Z} D ∅ E {2kπ + π
2 |k ∈ Z}
656 Valorile lui n pentru care zn
1 zn
2 , n ∈ N∗, este real s, i pozitiv sunt:
A n = 5 B n = 4k, k ∈ N∗ C n = 8k + 1, k ∈ N∗ D n = 0 E n = 8k + 2, k ∈ Z
— 87 —Subiect și barem · pagina 94
4. TRIGONOMETRIE Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 Pentru n s, i k numere naturale nenule cu n fixat, not˘am ak = cos 2kπ n − 2 + i sin 2kπ n . 657 Valoarea an este: A 1 B i C −1 D 0 E −i 658 Valoarea sumei a1 + a2 + · · · + an, n > 1, este: A −2n B 2n C 1 − 2n D ni − 2n E i + 2n 659 Valoarea produsului a1a2 . . . an este: A 2n − 1 B (−1)n−1(2n+1 − 1) C (2n − 1)(−1)n D (−1)n(2n − 1) E 0 660 S˘a se calculeze expresia E = (√3 − i)8(−1 + i√3)11: A E = 211; B E = 219; C E = 215; D E = 25; E 27 661 Dac˘a z + 1 z = 2 cos α, atunci expresia E = zn + z−n are, pentru orice n ∈ Z s, i pentru orice α ∈ R, valoarea: A zi sin nα B cos nα + i sin nα C tg nα D 2 cos nα E sin nα + tg nα 662 Cˆate r˘ad˘acini complexe are ecuat, ia z3 = z? A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 663 Cˆate r˘ad˘acini complexe are ecuat, ia zn−1 = i z, n > 2, n ∈ N? A n − 2 B n − 1 C n D n + 1 E n + 2 664 Fie num˘arul complex z = ( √3 − i 1 + i )12 . Este adev˘arat˘a afirmat, ia A z = 26 B arg z = π C |z| = 212 D z = 64i E arg z = 2π — 88 —
Subiect și barem · pagina 95
5
Simulare admitere 13 mai 2017
665
Mult, imea valorilor parametrului real m pentru care x2 + 2x + m ≥ 0 pentru orice x
real este:
A (1, ∞) B [1, ∞) C [0, ∞) D R E ∅
666
Mult, imea solut, iilor ecuat, iei 2 lg(x − 2)
lg(5x − 14) = 1 este:
A ∅ B {3, 6} C {4} D R \ {3} E {6}
667 sin2 π
3 + cos2 π
3 este:
A √2 B 1
2 C 1
3 D 1 E √3
668 Num˘arul solut, iilor din intervalul [0, 2π] ale ecuat, iei sin x = cos x este:
A 4 B 0 C 1 D 3 E 2
669 Valoarea minim˘a a funct, iei f : R → R, f (x) = sin4 x + cos4 x, este:
A 1
2 B 1
4 C 3
4 D 1
3 E 0
89Subiect și barem · pagina 96
5. SIMULARE ADMITERE 13 MAI 2017 Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
Se consider˘a punctele A(0, 3), B(1, 0) s, i C(6, 1).
670 Coordonatele mijlocului segmentului AC sunt:
A (2, 2) B (3, 2) C (3, 4) D (3, 3) E (4, 3)
671 Coordonatele punctului D pentru care ABCD este paralelogram sunt:
A (5, 4) B (5, 5) C (4, 4) D (6, 4) E (2, 4)
672 Centrul de greutate al triunghiului ABC are coordonatele:
A
(
3, 4
3
)
B
( 8
3 , 2
3
)
C
(
4, 4
3
)
D
( 7
3 , 4
3
)
E (1, 1)
Se consider˘a sistemul
x +2y +3z = 1
2x − y +az = 1
3x + y +4z = 2 b3
, a, b ∈ R.
673 Sistemul este compatibil determinat dac˘a s, i numai dac˘a:
A a ∈ R \ {1}; b ∈ R B a ∈ R \ {1}; b = 1 C a = b = 2 D a = 1; b ∈ R
E a ∈ R \ {0}; b ∈ R
674 Num˘arul perechilor (a, b) ∈ R × R pentru care sistemul este compatibil nedeterminat
este:
A 0 B 1 C 2 D 3 E infinit
S˘a se calculeze:
675 lim
n→∞
2n + 1
n + 2
A ∞ B 1 C 0 D 2 E e
676 lim
x→∞
(√x2 + 2x − x
)
A nu exist˘a B 2 C 0 D ∞ E 1
677 lim
x→∞
3x − sin x
x + sin x
A 0 B 1 C 3 D ∞ E -1
678 lim
n→∞
(
n −
n∑
k=1
e
k
n2
)
A ∞ B −1 C e D 0 E − 1
2
— 90 —Subiect și barem · pagina 97
5. SIMULARE ADMITERE 13 MAI 2017 Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
Se consider˘a funct, ia f : (0, ∞) → R, f (x) = x e a
x , unde a este un parametru real.
679 Mult, imea valorilor lui a pentru care graficul funct, iei f admite asimptota y = x + 2
este:
A {−2, 2} B {1} C {2} D {−1} E ∅
680 Mult, imea valorilor lui a pentru care graficul funct, iei f are dou˘a asimptote este:
A (0, 1) B (1, ∞) C (−∞, 0) D (0, ∞) E ∅
Se consider˘a polinomul
P (x) = (x2 + x + 1)100 = a0 + a1x + · · · + a199 x199 + a200 x200
avˆand r˘ad˘acinile x1, x2, . . . , x200.
681 Valoarea lui P (0) este:
A 30 B 0 C 200 D 100 E 1
682 Valoarea lui a1 este:
A 100 B 200 C 199 D 1 E 0
683 Restul ˆımp˘art, irii polinomului P la x2 + x este:
A 100x − 1 B 0 C 99 D 100x + 1 E 1
684 Suma
200∑
k=1
1
1 + xk
este:
A 100 B 200 C −100 D 0 E 1
— 91 —Subiect și barem · pagina 98
5. SIMULARE ADMITERE 13 MAI 2017 Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024
Pe mult, imea Z se defines, te legea de compozit, ie “∗” prin
x ∗ y = xy + mx + my + 2, unde m ∈ Z.
685 0 ∗ 0 este:
A 4 B 3 C 2 D 5 E 6
686 Fie m = −1. S, tiind c˘a “∗” este asociativ˘a, (−4) ∗ (−3) ∗ (−2) ∗ (−1) ∗ 0 ∗ 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 4
este:
A 1 B −1 C 2 D −2 E 0
687 Mult, imea valorilor parametrului m pentru care legea “∗” admite element neutru este:
A {−1, 0, 2} B {−1, 1, 2} C {−1, 2} D {−1} E {2}
688 Dac˘a m = 2, atunci num˘arul elementelor simetrizabile ˆın raport cu “∗” este:
A 1 B 2 C 0 D 4 E infinit
689
Funct, ia f : R → R, f (x) =
∫ 1
0
|t − x|3 dt, are valoare minim˘a pentru x egal cu:
A 1 B 0 C 1
2 D 1
4 E −1
— 92 —Subiect și barem · pagina 99
5. SIMULARE ADMITERE 13 MAI 2017 Teste Gril˘a de Matematic˘a — UTCN — 2024 S˘a se calculeze: 690 ∫ 1 0 x9 dx A 1 8 B 2 9 C 1 9 D 1 10 E 10 691 ∫ 2 0 1 4 + x2 dx A π 6 B π 8 C π 4 D π 2 E π 692 ∫ 1 0 ln(x + 1) dx A ln e 2 B ln 2 3 C 0 D ln 4 e E ln 2 693 ∫ 1 0 1 + x2 1 + x2 + x4 dx A π 3√3 B π 2√3 C π 2√2 D π 3√2 E π√3 694 lim n→∞ ∫ n 1/n arctg (x2) 1 + x2 dx A π2 2 B π2 4 C π2 8 D π2 E π2 6 — 93 —
Subiect și barem · pagina 100
∗ ∗ ∗
Răspunsuri directe
Ce trebuie să știi despre acest subiect?
Ce document de admitere este acesta?
Pagina prezintă model de pregătire din 2024 pentru Matematică, la Facultatea de Automatică și Calculatoare. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.
Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?
Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.
Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?
Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.