Pregătire cu un profesor

UNIVERSITATEA BABES¸-BOLYAI CLUJ-NAPOCA
FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A S¸I INFORMATIC ˘A
Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017
Proba scris˘a la MATEMATIC ˘A
SUBIECTUL I (30 puncte)
1) (15 puncte) Fie matricele A =




1 1 1
2 3 1
4 9 1
8 27 1



 ¸si B =




1
a
a2
a3



 , a ∈ R.
Discutat¸i ˆın funct¸ie de a dac˘a exist˘a matrice X =


x
y
z

 cu elemente din R pentru care AX = B.
ˆIn caz afirmativ, determinat¸i matricele X.
2) (10 puncte) Pentru a, b ∈ Q consider˘am funct¸ia fa,b : Q → Q, fa,b(x) = ax + b. Determinat¸i
mult¸imea tuturor perechilor (a, b) pentru care fa,b este un izomorfism de la grupul (Q, +) la el ˆınsu¸si.
3) (5 puncte) Rezolvat¸i ecuat¸iâ 4x +̂ 8 =̂ 0 ˆın inelul (Z12, +, ·).
SUBIECTUL II (30 puncte)
1) (20 puncte) Se d˘a punctul P (0, 1) ¸si dreptele d1 : x − 3y + 10 = 0 ¸si d2 : 2x + y − 8 = 0. Prin P
se duce o dreapt˘a d care intersecteaz˘a d1 ˆıntr-un punct A ¸si d2 ˆıntr-un punct B. Determinat¸i ecuat¸ia
dreptei d pentru care punctul P este mijlocul segmentului [AB].
2) (10 puncte) Rezolvat¸i ecuat¸ia
sin(x + 30◦) + cos(x + 60◦) = 1 + cos 2x.
SUBIECTUL III (30 puncte)
1) Consider˘am funct¸ia f : D → R, definit˘a prin relat¸ia
f (x) =
√x + 1
x ,
unde D ⊂ R este domeniul maxim de definit¸ie al funct¸iei f.
a) (5 puncte) Determinat¸i mult¸imea D.
b) (5 puncte) Calculat¸i f ′.
c) (5 puncte) Determinat¸i intervalele de monotonie ale funct¸iei f.
d) (5 puncte) Demonstrat¸i c˘a √2016
2015 >
√2017
2016 .
2) (10 puncte) Calculat¸i
1∫
0
√1 + x dx ¸si lim
n→∞
1
n√n
n∑
k=1
√k + n.
NOT ˘A:
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.

Subiect · pagina 2

UNIVERSITATEA BABES¸-BOLYAI CLUJ-NAPOCA
FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A S¸I INFORMATIC ˘A
Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017
Proba scris˘a la MATEMATIC ˘A
Barem
SUBIECTUL I (30 puncte)
1) AX = B ⇔ (S)



x + y + z = 1
2x + 3y + z = a
4x + 9y + z = a2
8x + 27y + z = a3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
Cum
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 1
2 3 1
4 9 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣ = 2 6 = 0 , (S) e compatibil ⇔ d =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 1 1 1
2 3 1 a
4 9 1 a2
8 27 1 a3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
d = 2(a − 1)(a − 2)(a − 3) = 0 ⇔ a ∈ {1, 2, 3} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
Dac˘a a ∈ R \ {1, 2, 3} sistemul (S) este incompatibil, deci nu exist˘a X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
Dac˘a a ∈ {1, 2, 3} sistemul (S) este compatibil determinat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
echivalent cu sistemul (S′)



x + y + z = 1
2x + 3y + z = a
4x + 9y + z = a2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
x = −(1 − a)(3 − a), y = 1
2 (1 − a)(2 − a), z = 1
2 (2 − a)(3 − a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
a = 1 ⇒ X =


0
0
1

 , a = 2 ⇒


1
0
0

 , a = 3 ⇒


0
1
0

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
Observat¸ie: Ultimele 6 puncte din barem pot fi redistribuite ˆın cazul ˆın care se trateaz˘a separat fiecare
caz de compatibilitate, acordˆandu-se 2 puncte pentru fiecare caz.
2) fa,b endomorfism al lui (Q, +) ⇒ fa,b(0) = 0 ⇒ b = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
∀a ∈ Q, ∀x, y ∈ Q, fa,b(x + y) = a(x + y) = ax + ay = fa,b(x) + fa,b(y), prin urmare,
fa,b morfism ⇔ b = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
fa,0 biject¸ie ⇔ ∀y ∈ Q, ∃x ∈ Q unic determinat astfel ˆıncˆat y = fa,b(x) = ax
⇔ a 6 = 0 ¸si x = y
a (unica solut¸ie a ecuat¸iei ax = y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4p
Observat¸ie: Dac˘a se verific˘a separat injectivitatea ¸si surjectivitatea lui fa,0 se acord˘a cˆate 2 puncte
pentru analiza corect˘a a fiec˘areia dintre ele ¸si obt¸inerea condit¸iei a 6 = 0.
Mult¸imea c˘autat˘a este {(a, 0) | a ∈ Q∗}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
3)̂ 4x +̂ 8 =̂ 0 ⇔̂ 4(x +̂ 2) =̂ 0.
Folosind tabelul operat¸iei (tabla ˆınmult¸irii) deducem x +̂ 2 ∈ {̂0,̂ 3,̂ 6,̂ 9} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
⇔ x ∈ {̂1,̂ 4,̂ 7,̂ 10} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

Subiect · pagina 3

SUBIECTUL II (30 puncte)
Problema 1 (prima solut¸ie)
forma general˘a (d) : y = kx + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5p
punctele A ¸si B ˆın funct¸ie de k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4p
condit¸ia xA + xB = 2xP (= 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
determinarea pantei k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4p
verificarea faptului c˘a P e mijlocul lui [AB] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
ecuat¸ia dreptei (d) : x + 4y − 4 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
analiza cazului cˆand ecuat¸ia dreptei d este x = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.5p
Problema 1 (a doua solut¸ie)
coordonatele punctului Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4p
determinarea vectorului −−→
QP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2p
coordonatele lui A ¸si B ˆın funct¸ie de parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4p
determinarea vectorilor −→
QA ¸si −−→
QB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
condit¸ia −→
QA + −−→
QB = 2−−→
QP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
determinarea coordonatelor lui A ¸si B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
ecuat¸ia dreptei AB, (d) : x + 4y − 4 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
Problema 2
membrul I al ecuat¸iei poate fi scris sin(x + 30◦) + cos(x + 60◦) = cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
scrierea ecuat¸iei sub forma cos x (2 cos x − 1) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
scrierea solut¸iilor ecuat¸iei cos x = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2p
scrierea solut¸iilor ecuat¸iei cos x = 1
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
SUBIECTUL III (30 puncte)
1) x + 1 ≥ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2p
x 6 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
D = [−1, +∞) \ {0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
2) f ′(x) = − x+2
2x2√x+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5p
3) f ′(x) < 0, ∀x ∈ D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
f descresc˘atoare pe [−1, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
f descresc˘atoare pe (0, +∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
4) f (2015) =
√2016
2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
f (2016) =
√2017
2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p
f descresc˘atoare, 2015 < 2016 ⇒ f (2015) > f (2016) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
5)
1∫
0
√1 + x dx =
1∫
0
(1 + x) 1
2 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
1∫
0
(1 + x) 1
2 dx = 2
3 (1 + x) 3
2
∣
∣
∣1
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
2
3 (1 + x) 3
2
∣
∣
∣1
0 = 2
3 (2 3
2 − 1).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2p
L = lim
n→∞
1
n√n
n∑
k=1
√k + n = lim
n→∞
1
n
n∑
k=1
√
1 + k
n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p
lim
n→∞
1
n
n∑
k=1
√
1 + k
n =
1∫
0
√1 + x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p
L = 2
3 (2 3
2 − 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
NOT ˘A: Orice alt˘a solut¸ie corect˘a va fi punctat˘a corespunz˘ator.
2

Subiect · pagina 4

UNIVERSITATEA BABES¸-BOLYAI CLUJ-NAPOCA
FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A S¸I INFORMATIC ˘A
Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017
Proba scris˘a la MATEMATIC ˘A
Solut¸ii
SUBIECTUL I (30 puncte)
A se vedea baremul.
SUBIECTUL II (30 puncte)
1. Solut¸ia 1. Orice dreapt˘a care trece prin punctul P are ecuat¸ia de forma y − 1 = kx sau x = 0.
Dreapta de ecuat¸ie x = 0 intersecteaz˘a dreptele d1 ¸si d2 ˆın punctele A(0, 10
3 ) ¸si B(0, 8). Mijlocul acestui
segment [AB] are coordonatele M (0, 34
3 ), deci nu coincide cu P. Astfel putem presupune c˘a dreapta
c˘autat˘a are ecuat¸ia
(d) : y = kx + 1,
deci ceea ce trebuie s˘a determin˘am este panta k a dreptei d. Dertermin˘am mai ˆıntˆai punctele de
intersect¸ie ale dreptei d cu dreptele date. Astfel, coordonatele lui A sunt solut¸iile sistemului
{
y = kx + 1,
x − 3y + 10 = 0,
de unde
x − 3xk − 3 + 10 = 0,
adic˘a
xA = 7
3k − 1
¸si
yA = 10k − 1
3k − 1 .
Analog, coordonatele lui B sunt date de sistemul
{
y = kx + 1,
2x + y − 8 = 0,
care ne conduce la
2x + kx + 1 − 8 = 0,
adic˘a
xB = 7
k + 2
¸si
yB = 8k + 2
k + 2 ;
Abscisa mijlocului segmentului AB este
x0 = 1
2
( 7
3k − 1 + 7
k + 2
)
= 7
2 · 4k + 1
(3k − 1)(k + 2) .

Subiect · pagina 5

Dar noi vrem ca aceast˘a abscis˘a s˘a coincid˘a cu abscisa punctului P , adic˘a x0 = 0. De aici obt¸inem
k = − 1
4 . Cu aceast˘a valoare a lui k, obt¸inem
A = A(−4, 2), B = B(4, 0)
¸si se verific˘a imediat c˘a P este mijlocul segmentului AB. Ecuat¸ia dreptei care trece prin P ¸si are
panta −1/4 este
y = − 1
4 x + 1
sau
x + 4y − 4 = 0.
Solut¸ia 2. Ideea solut¸iei este s˘a determin˘am, mai ˆıntˆai, punctul de intersect¸ie Q al dreptelor date.
Alegem apoi un punct (ˆın prima faz˘a, oarecare) A pe d1 ¸si un punct B pe d2. Atunci P este mijlocul
lui AB dac˘a ¸si numai dac˘a 2−−→
QP = −→
QA + −−→
QB. Dreapta pe care o c˘aut˘am va fi dreapta AB.
Coordonatele punctului Q sunt date de solut¸ia sistemului
{
x − 3y + 10 = 0,
2x + y − 8 = 0,
ceea ce ne conduce la punctul Q(2, 4). A¸sadar, componentele vectorului −−→
QP vor fi (−2, −3).
Fie acum A un punct oarecare de pe dreapta d1. Leg˘atura dintre coordonatele lui A vor fi, atunci,
xA − 3yA + 10 = 0.
Dac˘a not˘am yA = t, atunci xA = 3t − 10, deci A = (3t − 10, t), deci vectorul care une¸ste pe Q cu A
va fi −→
QA(3t − 12, t − 4).
Analog, fie B un punct de pe dreapta d2, adic˘a
2xB + yB − 8 = 0.
Atunci, dac˘a punem xB = s, obt¸inem B(s, −2s + 8), deci vectorul de pozit¸ie al lui B relativ la Q este
−−→
QB(s − 2, 4 − 2s).
Prin urmare, ecuat¸ia −→
QA + −−→
QB = 2−−→
QP
este echivalent˘a cu sistemul {
3t + s = 10,
t − 2s = −6.
Solut¸ia acestui sistem este t = 2, s = 4, ceea ce ne conduce la punctele A(−4, 2), B(4, 0). Ecuat¸ia
dreptei d este ecuat¸ia dreptei AB, adic˘a
x + 4
4 + 4 = y − 2
0 − 2
sau
x + 4y − 4 = 0.
2. Ecuat¸ia se poate scrie
sin (x + 30◦) + sin (90◦ − x − 60◦) = 1 + cos 2x
sau
sin (x + 30◦) + sin (30◦ − x) = 1 + cos 2x,
de unde
2 sin x + 30◦ + 30◦ − x
2 · cos x + 30◦ − 30◦ + x
2 = 1 + cos 2x

Subiect · pagina 6

sau
2 sin 30◦ · cos x = 1 + cos 2x
sau, ˆınc˘a,
cos x = 1 + cos 2x.
Aceast˘a ecuat¸ie se poate scrie
cos x = 1 + 2 cos2 x − 1 = 2 cos2 x.
Avem, prin urmare, de rezolvat ecuat¸ia
cos x (2 cos x − 1) = 0.
Obt¸inem, prin urmare:
1. cos x = 0, ceea ce ne conduce la solut¸ia
x = π
2 + kπ, k ∈ Z;
2. cos x = 1
2 , ceea ce ne conduce la solut¸ia
x = ± π
3 + 2kπ, k ∈ Z.
ˆIn final mult¸imea solut¸iilor ecuat¸iei init¸iale este
S =
{ π
2 + kπ|k ∈ Z
}
∪
{
± π
3 + 2kπ|k ∈ Z
}
.
SUBIECTUL III (30 puncte) 1. Condit¸ia de existent¸˘a a redicalului este x + 1 ≥ 0 ¸si condit¸ia de
existent¸˘a fract¸iei este x 6 = 0. Astfel domeniul maxim de definit¸ie este D = [−1, +∞) \ {0}.
2. Folosim regula de derivare a fract¸iilor, derivata funct¸iei radical ¸si regula de derivare a funct¸iei
compuse:
f ′(x) =
1
2√x+1 · x − √x + 1
x2 =
x−2x−2
2√x+1
x2 = − x + 2
2x2√x + 1 .
3. Dac˘a x ∈ D, atunci x + 2 > x + 1 ≥ 0, x2 ≥ 0 ¸si √x + 1 ≥ 0. Astfel f ′(x) < 0, pentru orice
x ∈ D, deci f este strict descresc˘atoare pe intervalele [−1, 0) ¸si (0, +∞).
4. f fiind descresc˘atoare pe intervalul (0, +∞) putem scrie
2015 < 2016 ⇒ f (2015) > f (2016).
Pe de alt˘a parte f (2015) =
√2016
2015 ¸si f (2016) =
√2017
2016 , deci
√2016
2015 >
√2017
2016 .
5. 1∫
0
√1 + x dx =
1∫
0
(1 + x) 1
2 dx = 2
3 (1 + x) 3
2
∣
∣
∣
∣
1
0
= 2
3 (2 3
2 − 1).
lim
n→∞
1
n√n
n∑
k=1
√k + n = lim
n→∞
1
n
n∑
k=1
√
1 + k
n =
1∫
0
√1 + x dx = 2
3 (2 3
2 − 1).

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Examen de admitere · 2017Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2017Matematică · Sesiunea iulieDeschide fișa Concurs de pregătire · 2017Informatică · Concursul Mate-Info UBBDeschide fișa Examen de admitere · 2018Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2018Matematică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2018Informatică · Sesiunea septembrieDeschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă concurs de pregătire din 2017 pentru Matematică, la Facultatea de Matematică și Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Nu există un barem public asociat în inventarul verificat pentru acest document. ProfesorBun nu generează și nu inventează răspunsuri oficiale. Poți folosi subiectul pentru antrenament, dar corectarea trebuie făcută cu metodologia instituției, cu materiale oficiale suplimentare sau împreună cu un profesor.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.

Pregătire cu un profesor

Subiect și barem

Concurs de pregătire · Matematică · 2017

Despre acest subiect

Subiectul în format text

Subiect · pagina 1