Pregătire cu un profesor
Glisează →Programează o ședință de cunoaștere
Subiect și barem
Se deschide documentul PDF… Deschide PDF
Concurs de pregătire · Matematică · 2015
Facultatea de Matematică și Informatică · UBB
Înapoi la arhivăDespre acest subiect
primăvară · Concursul Mate-Info UBB
Sursa documentelor: FMI UBB – subiecte din anii precedenți. Verifică răspunsurile cu baremul după ce rezolvi subiectul.
Subiectul și baremul în format text
Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.
Subiect · 2 pagini
Unele pagini conțin imagini sau text care nu poate fi extras complet. Consultă originalul pentru acele pagini.
Subiect · pagina 1
Pagina nu conține text selectabil. Consultă PDF-ul pentru imagini și cerințe.
Subiect · pagina 2
UNIVERSITATEA BABES¸-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A S¸I INFORMATIC ˘A Concurs Mate-Info UBB, 25 aprilie 2015 BAREM pentru proba scris˘a la MATEMATIC ˘A OFICIU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 puncte SUBIECTUL I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 puncte 1. a) Pentru m = 1/2 ecuat¸ia devine x4 = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 puncte Aflarea r˘ad˘acinilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 puncte b) Condit¸iile necesare ¸si suficiente pentru ca ecuat¸ia s˘a aib˘a toate r˘ad˘acinile reale . . . . . . . . . 4 puncte Aflarea valorilor lui m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 puncte 2. Condit¸ia ca matricea s˘a nu fie inversabil˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 puncte Demonstrarea propriet˘at¸ii cerute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 puncte SUBIECTUL II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 puncte 1. a) Necoliniaritatea punctelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 puncte b) Calculul ariei ˆın funct¸ie de m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 puncte Valoarea lui m pentru care aria este minim˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 puncte 2. Reducerea inecuat¸iei la o form˘a mai simpl˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 puncte Determinarea mult¸imii solut¸iilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 puncte SUBIECTUL III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 puncte 1. a) Paritatea funct¸iei f ¸si imparitatea funct¸iei f ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 puncte b) Determinarea primitivelor lui f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 puncte Determinarea primitivei impare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 puncte 2. Derivarea membru cu membru ˆın egalitatea dat˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 puncte Deducerea imparit˘at¸ii funct¸iei g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 puncte NOT ˘A: Orice alt˘a variant˘a de rezolvare corect˘a se puncteaz˘a corespunz˘ator.
Barem · 3 pagini
Barem · pagina 1
Matematic˘a, Concursul Mate-Info UBB din 25 aprilie 2015 Barem detaliat ¸si comentarii ale solut¸iilor Subiectul I (Algebr˘a) 1a. m = 1/2 ⇒ x4 = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p x1 = 4 √3, x2 = − 4 √3, x3 = 4 √3i, x4 = − 4 √3i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 × 2p = 8p 1b. Cea mai simpl˘a cale de rezolvare presupunea substitut¸ia x2 = y, ceea ce conducea la ecuat¸ia de gradul 2 de forma y2 − (2m − 1)y + 4m − 5 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p continuat˘a cu observat¸ia c˘a ecuat¸ia ˆın x are toate r˘ad˘acinile reale ⇔ ∆y ≥ 0, Sy ≥ 0, Py ≥ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p 4m2 − 20m + 21 ≥ 0 2m − 1 ≥ 0 4m − 5 ≥ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5p m ∈ (−∞, 3 2 ] ∪ [ 7 2 , ∞) m ∈ [ 1 2 , ∞) m ∈ [ 5 4 , ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Solut¸ia m ∈ [ 5 4 , 3 2 ] ∪ [ 7 2 , ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p Dac˘a ˆın loc de abordarea cu suma ¸si produsul r˘ad˘acinilor ecuat¸iei ˆın y, se continua cu impunerea condit¸iilor ca y1 = 2m − 1 − √m2 − 20m + 21 2 ≥ 0 ¸si y2 = 2m − 1 + √m2 − 20m + 21 2 ≥ 0 (metod˘a utilizat˘a de mult¸i candidat¸i), atunci rezolvarea inecuat¸iilor (de fapt, era suficient a celei dintˆai) implica atent¸ie la ridicarea la puterea a doua, avˆand ˆın vedere faptul c˘a 2m − 1 putea fi pozitiv sau negativ. 2. Calculul det X = ad − bc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p Impunerea condit¸iei ad − bc = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p Calculul lui X2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2p deducerea faptului c˘a X2 = (a + d)X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p Aplicarea metodei induct¸iei matematice era obligatorie, de unde rezulta ¸si con- cluzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p + 1p = 3p Nota. Sugestiile date mai sus nu reprezint˘a singurele metode de abordare. Au fost acceptate toate solut¸iile corecte, indiferent de metoda de lucru.
Barem · pagina 2
Matematic˘a, Concursul Mate-Info UBB din 25 aprilie 2015 Barem detaliat ¸si comentarii ale solut¸iilor Subiectul II (Geometrie) 1a. Scrierea determinantului ∆ Calculul determinantului ∆ = −m2 + 5m − 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4p Exprimarea faptului c˘a necoliniaritatea celor trei puncte este echivalent˘a cu condit¸ia ∆ 6 = 0, (∀) m ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p Demonstrat¸ia faptului c˘a −m2 + 5m − 8 6 = 0, (∀) m ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4p 1b. Formula ariei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p aria(ABC) = 1 2 | − m2 + 5m − 8| = 1 2 (m2 − 5m + 8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p aria(ABC) → min ⇔ m2 − 5m + 8 → min ⇔ m = mV ⇔ m = 5 2 . . . . . . . . . . . . . 7p 2. Reducerea la o form˘a mai simpl˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8p O variant˘a posibil˘a era abordarea: sin4 x + cos4 x = (sin2 x + cos2 x)2 − 2 sin2 x cos2 x = 1 − 1 2 sin2 2x sin4 x + cos4 x ≥ 1 2 ⇔ sin2 2x ≤ 1 ⇔ cos2 2x ≥ 0 Solut¸ia: x ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p Nota. Sugestiile date mai sus nu reprezint˘a singurele metode de abordare. Au fost acceptate toate solut¸iile corecte, indiferent de metoda de lucru.
Barem · pagina 3
Matematic˘a, Concursul Mate-Info UBB din 25 aprilie 2015 Barem detaliat ¸si comentarii ale solut¸iilor Subiectul III (Analiz˘a matematic˘a) 1a. Paritatea/imparitatea unei funct¸ii presupun simetria domeniului de definit¸ie, i.e., ∀x ∈ R, avem −x ∈ R; Calculul f (−x) = (−x) arctg (−x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p ¸si argumentarea c˘a funct¸ia arctg este impar˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p Deducerea faptului c˘a f (−x) = x arctg x = f (x), ∀ x ∈ R, precum ¸si concluzia c˘a funct¸ia f e par˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p Calculul lui f ′(x) = 1 · arctg x + x · 1 1 + x2 , ∀ x ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p Deducerea faptului c˘a f ′(−x) = −f ′(x), ∀ x ∈ R, ¸si concluzia c˘a f ′ este impar˘a 2p La acest punct, o alt˘a solut¸ie elegant˘a se obt¸inea din abordarea: f par˘a ⇒ f (−x) = f (x) ⇒ f ′(−x) · (−1) = f ′(x) ⇒ f ′ impar˘a. 1b. Folosirea metodei de integrare prin p˘art¸i pentru ∫ f (x)dx = ∫ x arctg xdx = ∫ ( x2 2 )′ arctg xdx = x2 2 arctg x − ∫ x2 2 (arctg x)′dx = = x2arctg x 2 − ∫ x2 2 · 1 1 + x2 dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p = 1 2 ( x2 arctg x − ∫ 1 + x2 − 1 1 + x2 dx ) = 1 2 ( x2 arctg x − x + ∫ dx 1 + x2 ) = . . . . . . . . . 4p = 1 2 (x2 arctg x − x + arctg x) + C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p F : R → R este primitiv˘a a lui f ⇔ ∃c ∈ R a.ˆı. F (x) = 1 2 (x2 arctg x − x + arctg x) + c, ∀ x ∈ R F impar˘a ¸si 0 ∈ R (domeniul lui F ) ⇒ F (0) = 0 ⇒ c = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p Singura primitiv˘a care ar putea fi impar˘a este F0(x) = 1 2 (x2 arctg x − x + arctg x), x ∈ R. Avem F0(−x) = . . . = −F0(x), ∀ x ∈ R, deci F0 este impar˘a . . . . . . . . 2p 2. ∫ x −x g(t)dt = 0, ∀ x ∈ R ⇒ ∫ 0 −x g(t)dt + ∫ x 0 g(t)dt = 0, ∀x ∈ R ⇒ ⇒ − ∫ −x 0 g(t)dt + ∫ x 0 g(t)dt = 0, ∀x ∈ R (∗) Fie G(x) = ∫ x 0 g(t)dt o primitiv˘a a lui g (continuitatea lui g asigur˘a existent¸a) Derivˆand ˆın (∗) ⇒ −G′(−x) · (−1) + G′(x) = 0, adic˘a g(−x) + g(x) = 0, ∀ x ∈ R . . . . 4p Nota. Sugestiile date mai sus nu reprezint˘a singurele metode de abordare. Au fost acceptate toate solut¸iile corecte, indiferent de metoda de lucru.
Continuă pregătirea
Vezi arhiva completăAlte subiecte de la aceeași facultate
Examen de admitere · 2015Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2015Matematică · Sesiunea iulieDeschide fișa Examen de admitere · 2015Informatică · Sesiunea septembrieDeschide fișa Examen de admitere · 2015Matematică · Sesiunea septembrieDeschide fișa Concurs de pregătire · 2015Informatică · Concursul Mate-Info UBBDeschide fișa Examen de admitere · 2016Informatică · Sesiunea iulieDeschide fișa
Răspunsuri directe
Ce trebuie să știi despre acest subiect?
Ce document de admitere este acesta?
Pagina prezintă concurs de pregătire din 2015 pentru Matematică, la Facultatea de Matematică și Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.
Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?
Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.
Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?
Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.