Examen de admitere · Matematică · 2011

Subiect · pagina 1

UNIVERSITATEA BABES¸-BOLYAI
FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A S¸I INFORMATIC ˘A
EXAMEN DE ADMITERE – 2011
Proba scris˘a la MATEMATIC ˘A
SUBIECTUL I
Se consider˘a sistemul de ecuat¸ii liniare cu coeficient¸i reali



x + ay + (b + c)z = 0
x + by + (c + a)z = 0
x + cy + (a + b)z = 0
(10p) a) S˘a se calculeze determinantul matricei sistemului.
(10p) b) S˘a se arate c˘a, pentru orice a, b, c ∈ R, sistemul admite solut¸ii nenule ¸si s˘a se g˘aseasc˘a
aceste solut¸ii.
(10p) c) S˘a se rezolve sistemul, ¸stiind c˘a a 6 = b ¸si c˘a (1, 1, 1) este solut¸ie a sistemului.
SUBIECTUL II
Se d˘a ¸sirul de numere
In =
π/4∫
0
tgnxdx, n = 2, 3, ....
(10p) a) S˘a se arate c˘a In + In+2 = 1
n+1 , pentru n ≥ 2, ¸si s˘a se calculeze I2.
(10p) b) S˘a se studieze monotonia ¸sirului In ¸si s˘a se precizeze dac˘a este convergent.
(10p) c) S˘a se calculeze lim
n→∞ In.
SUBIECTUL III
ˆIn sistemul rectangular de coordonate xOy se consider˘a punctele A(0, a), B(b, 0) ¸si
C(c, 0), unde a, b, c sunt numere reale date ¸si se construiesc proiect¸iile D, E ale punc-
tului O pe dreptele AB respectiv AC (D ∈ AB, E ∈ AC).
(10p) a) S˘a se calculeze coordonatele punctelor D ¸si E.
(10p) b) S˘a se calculeze coordonatele punctului de intersect¸ie al dreptelor CD ¸si BE.
(10p) c) S˘a se determine condit¸ia necesar˘a ¸si suficient˘a pentru ca dreptele AO, CD ¸si BE s˘a
fie concurente.
• Toate subiectele sunt obligatorii.
• Se acord˘a 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.