Pregătire cu un profesor

Universitatea din Bucure¸sti 14.07.2018
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul de admitere iulie 2018
Domeniul de licent¸˘a - Matematic˘a
I. Algebr˘a. Fie matricea A(m) =


m + 2 −2 3
0 m 3
0 0 m + 3

 ∈ M3(R), unde m este un parametru
real.
(a) Determinat¸i m ∈ R astfel ˆıncˆat A(m) s˘a fie inversabil˘a.
(b) Ar˘atat¸i c˘a A(0)3 − 5A(0)2 + 6A(0) = O3.
(c) Calculat¸i A(0)2018 ¸si A(1)2018.
(d) Fie B ∈ M3,2(R) ¸si C ∈ M2,3(R) astfel ˆıncˆat B · C = A(0). Calculat¸i det(CB) ¸si tr(CB),
unde am notat cu tr(CB) suma elementelor de pe diagonala principal˘a a matricei CB.
II. Analiz˘a. Fie funct¸ia f : R → R, definit˘a prin f (x) = √|x2 − 6x + 8|, pentru orice x ∈ R.
(a) Determinat¸i asimptotele la graficul funct¸iei f .
(b) Determinat¸i punctele ˆın care funct¸ia f nu este derivabil˘a ¸si intervalele de convexitate ale lui f .
(c) Calculat¸i
4∫
2
f 2(x)dx.
(d) Pentru orice num˘ar natural n ≥ 1 not˘am In =
4∫
3
(f (x))ndx. Demonstrat¸i c˘a ¸sirul (In)n este
convergent ¸si calculat¸i lim
n→∞ In.
III. Geometrie. ˆIn planul de coordonate xOy se consider˘a punctele A(3, 0) ¸si M (a, 0), unde a ∈
(0, 3). Pe segmentul OA se construiesc triunghiurile echilaterale OM P ¸si M AQ, de aceea¸si parte a
segmentului OA, cu punctele P ¸si Q situate ˆın cadranul I (ambele coordonate strict pozitive). Fie N
mijlocul segmentului P Q.
(a) Dac˘a a = 1, g˘asit¸i coordonatele punctelor P ¸si Q ¸si ar˘atat¸i c˘a dreptele P Q ¸si QA sunt
perpendiculare.
(b) Dac˘a a = 1, fie B punctul de intersect¸ie al dreptelor OP ¸si AQ. Ar˘atat¸i c˘a punctele M , N ¸si
B sunt coliniare.
(c) G˘asit¸i valoarea lui a pentru care dreptele P Q ¸si OP sunt perpendiculare.
(d) Ar˘atat¸i c˘a pentru orice valoare a lui a ∈ (0, 3) dreptele M N trec printr-un punct fix.

Subiect · pagina 2

IV. Informatic˘a. Ionut¸ a fost admis la FMI ¸si tat˘al lui i-a f˘acut cadou o ma¸sin˘a la mˆana a doua ca
s˘a c˘al˘atoreasc˘a cu ea ˆın vacant¸˘a, ˆımpreun˘a cu prietena sa M˘ariuca. Din p˘acate, ma¸sina este veche ¸si
la scurt timp, acul vitezometrului se rupe. Descurc˘aret¸ de mic, Ionut¸ ˆıl lipe¸ste cu adeziv, dar ˆı¸si d˘a
seama c˘a ˆın urma reparat¸iei, acul nu mai indic˘a viteza corect˘a. F˘acˆand mai multe experimente, Ionut¸
realizeaz˘a c˘a viteza pe care o indic˘a acul vitezometrului difer˘a de viteza real˘a a ma¸sinii cu un num˘ar
real constant c, a c˘arui valoare absolut˘a e mai mic˘a decˆat 100 km/or˘a.
Pentru a calcula constanta c, Ionut¸ merge pe 3 segmente de drum succesive, pe fiecare dintre ele
cu vitez˘a constant˘a ¸si ˆı¸si noteaz˘a viteza indicat˘a de acul defect al vitezometrului pe fiecare segment
de drum:
- pe primul segment de drum, de 40 km, acul ˆıi indic˘a o vitez˘a de 50 km/or˘a;
- pe al doilea segment de drum, tot de 40 km, parcurs la o alt˘a vitez˘a, acul ˆıi indic˘a 60 km/or˘a;
- pe al treilea segment de drum, de 100 km, acul ˆıi indic˘a 90 km/or˘a.
ˆIn acest timp, M˘ariuca ˆınregistreaz˘a timpii ˆın care sunt parcurse cele 3 segmente de drum, dar pentru
c˘a vrea s˘a ˆıl pun˘a la ˆıncercare pe Ionut¸, la final nu ˆıi spune decˆat timpul total t de 5 ore ˆın care a
parcurs toate cele 3 segmente de drum cumulate. Dup˘a ce ˆı¸si aduce aminte din liceu c˘a viteza se
calculeaz˘a ca raportul dintre distant¸˘a ¸si timp, Ionut¸ ajunge la concluzia c˘a acul vitezometrului indic˘a
ˆıntotdeauna cu 30 km/or˘a mai mult decˆat viteza real˘a a ma¸sinii.
Scriet¸i un program care cite¸ste num˘arul natural n, reprezentˆand num˘arul segmentelor succesive de
drum pe care Ionut¸ le parcurge, num˘arul real t, reprezentˆand timpul total (ˆın ore) ˆın care acestea sunt
parcurse, precum ¸si n perechi de numere reale, fiecare reprezentˆand lungimea unui segment de drum
(ˆın km) ¸si valoarea indicat˘a de acul vitezometrului pe segmentul de drum respectiv (ˆın km/or˘a), iar
apoi afi¸seaz˘a valoarea numeric˘a a constantei reale c (ˆın km/or˘a), calculat˘a cu o precizie de 2 zecimale,
cu care viteza indicat˘a de acul defect difer˘a de viteza real˘a a ma¸sinii.
Note:
1. Programele vor fi scrise ˆıntr-unul dintre limbajele de programare studiate ˆın liceu (Pascal, C,
C++). Pentru fiecare solut¸ie se vor descrie informal detaliile algoritmului folosit ¸si ale imple-
ment˘arii sub form˘a de program: semnificat¸ia variabilelor, a structurilor de date, a structurilor
repetitive ¸si a instruct¸iunilor condit¸ionale.
2. Programele vor folosi instruct¸iunile de baz˘a ale limbajului de programare ales, funct¸ii din bib-
lioteci de baz˘a (inclusiv cele de intrare/ie¸sire), dar nu ¸si alte funct¸ii din biblioteci specializate.
Timp de lucru 3 ore.

Deschide documentul original

Barem · 2 pagini

Barem · pagina 1

Universitatea din Bucure¸sti 14.07.2018
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul de admitere iulie 2018
Domeniul de licent¸˘a - Matematic˘a
Barem
I. Algebr˘a. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) A(m) inversabil˘a dac˘a ¸si numai dac˘a det A(m) 6 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Calculul determinantului: m(m + 2)(m + 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
m ∈ R \ {−3, −2, 0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
(b) Calculul puterilor A(0)2 ¸si A(0)3 ale matricei A(0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Verificarea egalit˘at¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(c) A(0)2018 =



22018 −22018 32018
0 0 32018
0 0 32018


, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 p
A(1)2018 =



32018 1 − 32018 42018 − 1
0 1 42018 − 1
0 0 42018


 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 p
(d) tr(CB) = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
det(CB) = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
II. Analiz˘a. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) y = x − 3 asimptot˘a oblic˘a spre +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
y = −x + 3 asimptot˘a oblic˘a spre −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
f nu are asimptote verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
(b) f este derivabil˘a pe R \ {2, 4} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Studiul derivabilit˘at¸ii ˆın x = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,75 p
Studiul derivabilit˘at¸ii ˆın x = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,75 p
Calculul derivatei a doua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Concluzia: f concav˘a pe (−∞, 2], [2, 4], [4, ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
(c) calculul integralei I = 4
3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p
(d) (In)n descresc˘ator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
(In)n m˘arginit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
lim
n→∞ In = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
III. Geometrie. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) P ( 1
2 ,
√3
2 ) ¸si Q(2, √3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Demonstrarea perpendicularit˘at¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(b) Demonstrarea coliniarit˘at¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p
(c) P ( a
2 , a√3
2 ) ¸si Q( a+3
2 , (3−a)√3
2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Expresiile pantelor mOP = √3 ¸si mP Q =
√3(3−2a)
3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Condit¸ia de perpendicularitate si calculul lui a = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(d) Ecuat¸ia dreptei M N : (x − a)3√3 − y(3 − 2a) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Identificarea punctului fix B( 3
2 , 3√3
2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Barem · pagina 2

IV. Informatic˘a. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
G˘asirea relat¸iei care permite aflarea constantei c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Considerarea unui interval de c˘autare pentru constanta c care cont¸ine ¸si valori negative . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
G˘asirea constantei c prin c˘autare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
Respectarea aproxim˘arii de 2 zecimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Corectitudinea limbajului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Explicat¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Examen de admitere · 2018Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 1Deschide fișa Examen de admitere · 2018Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 2Deschide fișa Examen de admitere · 2018Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 3Deschide fișa Examen de admitere · 2018Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 4Deschide fișa Examen de admitere · 2018Informatică · Subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2019Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 1Deschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă examen de admitere din 2018 pentru Matematică, la Facultatea de Matematică și Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.

Pregătire cu un profesor

Subiect și barem

Examen de admitere · Matematică · 2018

Despre acest subiect

Subiectul și baremul în format text

Subiect · pagina 1

Subiect · pagina 2

Barem · pagina 1

Barem · pagina 2

Alte subiecte de la aceeași facultate

Ce trebuie să știi despre acest subiect?