Pregătire cu un profesor

Universitatea din Bucure¸sti 13.07.2018
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul de admitere iulie 2018
Domeniul de licent¸˘a – Informatic˘a
I. Algebr˘a. Fie polinomul P (X) = X3 + mX2 − 3X + 1 cu m ∈ R, care are r˘ad˘acinile x1, x2, x3 ∈ C.
(a) Pentru m = −3 calculat¸i r˘ad˘acinile polinomului P .
(b) Calculat¸i ˆın funct¸ie de parametrul m expresia x3
1 + x3
2 + x3
3.
(c) Determinat¸i m ∈ R astfel ˆıncˆat r˘ad˘acinile polinomului P s˘a fie ˆın progresie geometric˘a.
(d) Pentru m = 0 ar˘atat¸i c˘a 2 cos(2π
9 ) este o r˘ad˘acin˘a a lui P .
(e) Demonstrat¸i c˘a cos(2π
9 ) + cos(4π
9 ) + cos(8π
9 ) = 0.
II. Analiz˘a. Fie funct¸ia f : R \ {−5} → R dat˘a prin f (x) = (x − 1)e −1
x+5 pentru orice x ∈ R \ {−5}.
(a) Determinat¸i asimptotele la graficul funct¸iei f .
(b) Aflat¸i punctele de extrem local ale lui f .
(c) Pentru m ∈ R precizat¸i num˘arul de solut¸ii reale ale ecuat¸iei f (x) = m.
(d) Calculat¸i lim
n→∞ n2 1∫
0
xnf (x)dx.
III. Geometrie. ˆIn sistemul de coordonate xOy se consider˘a punctele A(−2, 1), B(4, −1) ¸si C(−2, −3).
(a) G˘asit¸i ecuat¸ia mediatoarei segmentului AB ¸si coordonatele centrului cercului circumscris tri-
unghiului ABC.
(b) Ar˘atat¸i c˘a sin(2 ˆA)· −→
O′A + sin(2 ˆB)· −→
O′B + sin(2 ˆC)· −→
O′C= ~0, unde O′ este centrul cercului
circumscris triunghiului ABC iar ˆA, ˆB ¸si ˆC sunt unghiurile triunghiului ABC.
(c) Fie D mijlocul segmentului AB ¸si M un punct variabil pe ˆın˘alt¸imea din B a triunghiului ABC.
G˘asit¸i coordonatele lui M pentru care suma AM + M D este minim˘a.

Subiect · pagina 2

IV. Informatic˘a.
(a) Se cite¸ste un num˘ar natural L (20 ≤ L ≤ 1000) ¸si un ¸sir de cel mult 10000 de caractere ce
cont¸ine cuvinte desp˘art¸ite ˆıntre ele prin cˆate un spat¸iu. Fiecare cuvˆant din ¸sirul de caractere
citit este format din cel mult L litere mari ale alfabetului englez. S˘a se scrie un program care
afi¸seaz˘a aceste cuvinte, ˆın ordinea ˆın care se citesc, pe linii de cel mult L caractere, astfel ˆıncˆat
orice linie ˆıncepe ¸si se termin˘a cu un cuvˆant ¸si oricare dou˘a cuvinte de pe aceea¸si linie sunt
separate printr-un singur spat¸iu. Oricare linie este folosit˘a la maxim, adic˘a dac˘a un cuvˆant
are loc pe acea linie va fi pus acolo ¸si nu va fi trecut pe linia urm˘atoare sau spart pe 2 linii.
Exemplu: se cite¸ste L = 22 ¸si ¸sirul de caractere PROBLEMA DE LA EXAMEN NU MI SE PARE
FOARTE GREU DE REZOLVAT IN TIMPUL ACORDAT. Programul va afi¸sa:
PROBLEMA DE LA EXAMEN
NU MI SE PARE FOARTE
GREU DE REZOLVAT IN
TIMPUL ACORDAT
(b) ˆIntr-un text formatat pe linii ca la punctul (a), dou˘a spat¸ii sunt conectate dac˘a se ˆınvecineaz˘a
pe vertical˘a sau pe diagonal˘a. Pentru textul formatat mai sus avem mai multe exemple de
spat¸ii conectate: spat¸iul de pe pozit¸ia 9, linia 1, ce separ˘a literele A ¸si D este conectat cu cel
de pe pozit¸ia 9, linia 2; spat¸iul de pe pozit¸ia 15, linia 1, este conectat cu cel de pe pozit¸ia 14,
linia 2. Spat¸iul de pe pozit¸ia 3, linia 2, nu este conectat cu niciun alt spat¸iu. S˘a se scrie un
program care cite¸ste numerele naturale L, N ¸si apoi un text formatat pe N linii de cel mult L
caractere ca la punctul (a) ¸si afi¸seaz˘a mesajul DA dac˘a ˆın tot textul exist˘a cel put¸in o pereche
de spat¸ii conectate, altfel afi¸seaz˘a mesajul NU.
(c) ˆIn arta tipografic˘a un rˆau este o ˆın¸siruire de spat¸ii care se ˆıntinde pe vertical˘a, pe liniile
consecutive ale unui text. Mai precis, un rˆau este definit ca o secvent¸˘a de cel put¸in 2 spat¸ii
ˆın care oricare 2 spat¸ii de pe linii consecutive sunt conectate. Spre exemplu, pentru textul
de la punctul (a), avem un rˆau de lungime 4 format din: spat¸iul de pe pozit¸ia 9, linia 1;
spat¸iul de pe pozit¸ia 9, linia 2; spat¸iul de pe pozit¸ia 8, linia 3 ¸si spat¸iul de pe pozit¸ia 7, linia
4. De remarcat, faptul c˘a de pe pozit¸ia 17, linia 3, nu porne¸ste nici un rˆau ˆıntrucˆat linia 4 se
termin˘a pe pozit¸ia 14. S˘a se scrie un program, cu o complexitate de timp cˆat mai bun˘a, care
cite¸ste numerele naturale L, N ¸si apoi un text formatat pe N linii de cel mult L caractere ca
la punctul (a) ¸si afi¸seaz˘a lungimea celui mai lung rˆau posibil, dac˘a acesta exist˘a sau mesajul
NU, dac˘a nu exist˘a niciun rˆau.
Note:
1. Programele vor fi scrise ˆıntr-unul dintre limbajele de programare studiate ˆın liceu (Pascal, C,
C++). Pentru fiecare solut¸ie se vor descrie informal detaliile algoritmului folosit ¸si ale imple-
ment˘arii sub form˘a de program: semnificat¸ia variabilelor, a structurilor de date, a structurilor
repetitive ¸si a instruct¸iunilor condit¸ionale.
2. Programele vor folosi instruct¸iunile de baz˘a ale limbajului de programare ales, funct¸ii din bib-
lioteci de baz˘a (inclusiv cele de intrare/ie¸sire), dar nu ¸si alte funct¸ii din biblioteci specializate.
3. Citirea datelor se poate face de la tastatur˘a sau dintr-un fi¸sier text. Afi¸sarea se va face numai
la monitor. Cele 3 subpuncte se pot rezolva independent, dar funct¸iile descrise la un subpunct
pot fi folosite ¸si la subpunctele urm˘atoare.
Timp de lucru: 3 ore

Deschide documentul original

Barem · 2 pagini

Barem · pagina 1

Universitatea din Bucure¸sti 13.07.2018
Facultatea de Matematic˘a ¸si Informatic˘a
Concursul de admitere iulie 2018
Domeniul de licent˘a - Informatic˘a
Barem
I. Algebr˘a. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) x1 = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Descompunerea (x + 1)(x2 − 4x + 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
x2,3 = 2 ± √3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
(b) Scrierea relat¸iilor lui Vi`ete (cel put¸in o relat¸ie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Finalizarea ¸si obt¸inerea expresiei x3
1 + x3
2 + x3
3 = −m3 − 9m − 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 p
(c) x3
2 = −1 sau sistem ˆın care apare rat¸ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Finalizarea ¸si m = −3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(d) Verificarea faptului c˘a 2 cos(2π
9 ) este o r˘ad˘acin˘a a lui P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(e) Demonstrarea egalit˘at¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
II. Analiz˘a. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
(a) Calculul pantei asimptotei oblice la ±∞: m = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Calculul ordonatei la origine a asimptotei oblice la ±∞: n = −2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Scrierea explicit˘a a ecuat¸ei y = x − 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Calculul limitelor laterale ˆın −5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Explicitarea ecuat¸iei asimptotei verticale ¸si a tipului ei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
(b) Calculul derivatei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Tabelul de variat¸ie al funct¸iei/semnul derivatei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Concluzia: punctele de extrem local ale lui f sunt: −8 (maxim) ¸si −3 (minim) . . . . . . . . 0,5 p
(c) Trasarea graficului/ S¸irul lui Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Concluzia: num˘arul de solut¸ii ale ecuat¸iei f (x) = m este:
2 solut¸ii pentru m ∈ (−∞, −9 3
√e) ∪ ( −4√e , 0)
1 solut¸ie petru m ∈
{
−9 3
√e, −4√e
}
∪ [0, ∞)
0 solut¸ii pentru m ∈
(
−9 3
√e, −4√e
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(d) Integrarea prin pˆart¸i (aplicare corect˘a a formulei) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Calculul limitei lim
n→∞
n2
(n+1)(n+2)
1∫
0
xn+2f ′′(x) dx=0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Finalizare: limita este −f ′(1) = −e− 1
6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
1

Barem · pagina 2

2
III. Geometrie. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Determinarea ecuat¸iei mediatoarei segmentului AB: 3x − y − 3 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Dreapta de ecuat¸ie y = −1 este mediatoarea segmentului AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Coordonatele centrului cercului circumscris O′(2
3 , −1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(b) Demonstrarea relat¸iei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
(c) AM + M D = CM + M D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Finalizare M (0, −1)/centrul de greutate al triunghiului ABC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
IV. Informatic˘a. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Citirea ¸sirului de caractere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p
G˘asirea cuvintelor separate prin spat¸iu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,75 p
Distribuirea cuvintelor pe o linie cu cel mult L caractere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
ˆInc˘arcarea liniei la maxim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Cuvintele sunt cont¸inute integral pe o linie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p
Afi¸sarea corect˘a a liniilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p
Corectitudinea limbajului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Explicat¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p
(b) Utilizarea unei structuri de date pentru ment¸inerea informat¸iei necesare . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Verificarea conectivit˘at¸ii pe cazul general (cu 3 vecini) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Verificarea conectivit˘at¸ii pe cazurile particulare (cu 0, 1, 2 vecini) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Tratarea cazului pentru DA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Tratarea cazului pentru NU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Corectitudinea limbajului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Explicat¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p
(c) Corectitudinea solut¸iei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Optimalitatea solut¸iei corecte O(L · N ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Deducerea complexit˘at¸ii solut¸iei prezentate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p
Explicat¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,25 p

Deschide documentul original

Continuă pregătirea

Vezi arhiva completă

Examen de admitere · 2018Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 1Deschide fișa Examen de admitere · 2018Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 2Deschide fișa Examen de admitere · 2018Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 3Deschide fișa Examen de admitere · 2018Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 4Deschide fișa Examen de admitere · 2018Matematică · Subiect oficialDeschide fișa Examen de admitere · 2019Matematică, Informatică și Fizică · CTI – varianta 1Deschide fișa

Răspunsuri directe

Ce trebuie să știi despre acest subiect?

Ce document de admitere este acesta?

Pagina prezintă examen de admitere din 2018 pentru Informatică, la Facultatea de Matematică și Informatică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.

Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?

Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.

Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?

Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.

Pregătire cu un profesor

Subiect și barem

Examen de admitere · Informatică · 2018

Despre acest subiect

Subiectul și baremul în format text

Subiect · pagina 1

Subiect · pagina 2

Barem · pagina 1

Barem · pagina 2

Alte subiecte de la aceeași facultate

Ce trebuie să știi despre acest subiect?