Pregătire cu un profesor
Glisează →Programează o ședință de cunoaștere
Subiect și barem
Se deschide documentul PDF… Deschide PDF
Subiectul și răspunsurile sunt în același PDF. Afișăm documentul complet, cu toate paginile.
Model de pregătire · Matematică · 2024
Cibernetică, Statistică și Informatică Economică · ASE
Înapoi la arhivăDespre acest subiect
Colecție oficială cu 11 teste și rezolvări
Sursa documentelor: ASE București – Admitere 2024. Verifică răspunsurile cu baremul după ce rezolvi subiectul.
Subiectul și baremul în format text
Text extras automat din documentul original. Pentru formule, tabele, imagini și așezarea răspunsurilor, verifică întotdeauna PDF-ul.
Subiect și barem · 90 pagini
Subiect și barem · pagina 1
1 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ Modele de Teste Grilă pentru Admiterea la Facultatea CSIE (Disciplina Matematică) Autori: Dragoş Covei, Corina Symeonidis, Ovidiu Solomon Coordonator: Alexandru Agapie
Subiect și barem · pagina 2
2 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ Cuprins Prefață........................................................................................................................................................... 3 MODELE DE TESTE PENTRU ADMITERE ........................................................................................................ 4 TEST-GRILĂ 1 ........................................................................................................................................... 5 TEST-GRILĂ 2 ........................................................................................................................................... 8 TEST-GRILĂ 3 ......................................................................................................................................... 12 TEST-GRILĂ 4 ......................................................................................................................................... 15 TEST-GRILĂ 5 ......................................................................................................................................... 18 TEST-GRILĂ 6 ......................................................................................................................................... 21 MULTIPLE-CHOICE TEST 6 ....................................................................................................................... 24 TEST-GRILĂ 7 ........................................................................................................................................... 27 MULTIPLE-CHOICE TEST 7 ....................................................................................................................... 30 TEST-GRILĂ 8 ........................................................................................................................................... 33 MULTIPLE-CHOICE TEST 8 ....................................................................................................................... 36 TEST-GRILĂ 9 ........................................................................................................................................... 39 TEST-GRILĂ 10 ......................................................................................................................................... 42 TEST-GRILĂ 11 ....................................................................................................................................... 45 Model Grilă de Verificare ........................................................................................................................ 48 RĂSPUNSURI ȘI REZOLVĂRI MODELE DE TESTE PENTRU ADMITERE .......................................................... 49 Răspunsuri Teste - Grilă .......................................................................................................................... 50 Rezolvare Test-Grilă 1 ............................................................................................................................. 51 Rezolvare Test-Grilă 2 ............................................................................................................................. 54 Rezolvare Test-Grilă 3 ............................................................................................................................. 57 Rezolvare Test-Grilă 4 ............................................................................................................................. 59 Rezolvare Test-Grilă 5 ............................................................................................................................. 61 Rezolvare Test-Grilă 6 ............................................................................................................................. 66 Rezolvare Test-Grilă 7 ............................................................................................................................. 69 Rezolvare Test-Grilă 8 ............................................................................................................................. 73 Rezolvare Test-Grilă 9 ............................................................................................................................. 75 Rezolvare Test-Grilă 10 ........................................................................................................................... 80 Rezolvare Test-Grilă 11 ........................................................................................................................... 86
Subiect și barem · pagina 3
3 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ Prefață “Modele de Teste Grilă pentru Admiterea la Facultatea CSIE” Această broșură a fost creată special pentru absolvenții de liceu care se pregătesc pentru examenul de admitere la Facultatea de Cibernetică, Statistică și Informatică Economică (CSIE). Ea oferă o abordare cuprinzătoare pentru a vă pregăti eficient și a vă asigura că veți obține rezultate excelente la examen. Modelele de probleme incluse în broșură sunt orientative și oferă o completare utilă la programa de admitere. Acestea vă vor ajuta să vă aprofundați cunoștințele și să vă pregătiți pentru examenul de admitere și bacalaureat. Conținut: Partea I - Modele de Teste Grilă: conține 11 teste grilă care acoperă diverse subiecte relevante pentru admiterea la CSIE. Aceste teste sunt concepute pentru a vă ajuta să vă exersați cunoștințele și să vă familiarizați cu formatul întrebărilor de examen. Partea II - Răspunsuri la Testele Grilă: conține răspunsurile corecte la fiecare test grilă. Aceasta vă permite să verificați soluțiile date. Partea III - Rezolvări la Testele Grilă: veți găsi rezolvările complete la toate testele grilă. Aceasta vă ajută să înțelegeți logic și să vă perfecționați abilitățile de rezolvare a problemelor. Beneficii: Înțelegere Ulterioară: Exercițiile propuse vă vor ajuta să înțelegeți mai bine conceptele matematice care vor fi dezvoltate în cursurile de matematică de la facultatea CSIE. Pregătire Eficientă: Broșura vă oferă o pregătire structurată și eficientă pentru examenul de admitere. Siguranță în Răspunsuri: Având acces la răspunsurile corecte și la rezolvările complete, veți câștiga încredere în abordarea testelor grilă. Această broșură este un instrument valoros pentru toți cei care aspiră să devină studenți la Facultatea CSIE și doresc să obțină rezultate excelente la examenul de admitere. Mult succes!
Subiect și barem · pagina 4
4 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ MODELE DE TESTE PENTRU ADMITERE
Subiect și barem · pagina 5
5 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
TEST-GRILĂ 1
La disciplina: MATEMATICĂ
1. (10p) Valorile parametrilor
α ,
β ∈ R pentru care există , ,x y z ∈ R nu toate nule astfel
încât
( )
=++
=++
=+−
=+++
=++
=+−
03
02
032
şi
01
03
032
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
β
α
α
β
sunt:
a. { }\ 2
β ∈ R şi 0=
α
b. 2=
β şi { }\ 0
α ∈ R
c. 2=
β şi 0=
α
d. { }\ 2
β ∈ R şi { }\ 0
α ∈ R
e. 0
β = şi 0=
α
2. (5p) Dacă
+
+
= 1
2
21
2121
xx
xxxx
A
unde 1x , 2x sunt rădăcinile ecuaţiei
0232 =+− xx
atunci
a.
−
−
=−
5
2
5
2
5
2
5
1
1
A
b.
−
−
=−
5
2
5
3
5
3
5
1
1
A
c.
−
−
=−
5
4
5
2
5
2
5
1
1
A
d.
−
−
=
++
+
+
+
+−
2
2
2
1
21
2
2
2
1
21
2
2
2
1
21
2
2
2
1
2
1
1
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
A
e.
1 2
5 51
2 2
5 5
A−
=
Subiect și barem · pagina 6
6 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
3. (5p) Dacă{ } *n n
a ∈N este un şir de numere reale definit prin
( )
0
1
, *
1
n kk
n
k
n
C n
a n
n
=
− +
= ∈
+
∑ N
atunci:
a. 1lim =∞→ nn a
b. lim 2n n
a→∞ >
c. 1lim <∞→ nn a
d. limn n
a→∞
∃/
e. lim 1,5n n
a→∞ =
4. (10p) Dacă{ }n n
S ∈N este un şir de numere reale definit prin
2
2 1
1 4 ( 2)
.... ,
5 5 5
n
n n
S n+
−
= + + + ∈ N
atunci:
a. lim 2nn S→∞ =
b. 1
lim 9
nn
S→∞ =
c. lim 0nn S→∞ =
d. lim 1nn S
→∞ =
e. lim 1nn S→∞ = −
5. (10p) Dacă , , :F f g →R R sunt funcţii definite prin
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )xgfxFxxgxexf x ==+= ,,1 222
atunci
a. ( ) ( )( )( )
4 2 2 2
1 1 1x
F x xe x x x x x′ = − + + − + +
b. ( ) ( )( )( )1114 2224
−+−+++=′ xxxxxxexF x
c. ( ) ( )( )( )1114 2224
++−−++=′ xxxxxxexF x
d. ( ) ( )( )( )1114 2224
++−++−=′ xxxxxxexF x
e. ( ) ( ) ( )[ ]44
12122 2222 xx exxexxxF +++=′
6. (10p) Dacă :f →R R este definită prin ( ) xxxxf 2
2
3
3
1 23 −+−= atunci:
a. f nu are puncte de extrem local
b. 1=x şi 2=x sunt puncte de minim local pentru funcţia f
c. 1=x şi 2=x sunt puncte de maxim local pentru funcţia fSubiect și barem · pagina 7
7 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ d. 1=x este punct de maxim local pentru funcţia f iar 2=x este punct de minim local pentru funcţia f e. 1=x este punct de minim local pentru funcţia f iar 2=x este punct de maxim local pentru funcţia f 7. (10p) Dacă ( ) dxexA x− += ∫ 21 0 1 atunci: a. 105 1 −= − eA b. 1 105 − −= eA c. 105 −= eA d. eA 105 −= e. 10A e= − 8. (10p) Valoarea lui m ∗ ∈ R pentru care parabola ( ) 2 : , 2 1f f x mx x→ = + +R R are vârful în punctul ( )0,1−V este: a. 2=m b. 1−=m c. 1=m d. m φ∈ e. 2m = − 9. (10p) Numărul de numere de 6 cifre distincte care se pot forma cu cifre de la 1la 9 este: a. 6 9C b. 6 9A c. 6P d. 6 6 9 PC − e. 6 5 9 8 A A− 10. (10p) Dacă ( ) ( ),,1, 1 1 1 1 ∞∈ −+ − −− = x xxxx xE atunci soluţia ecuaţiei ( ) 2=xE este: a. 𝑥𝑥 ∈ ∅ b. 4x > c. 4=x d. 3x < e. 3,5x =
Subiect și barem · pagina 8
8 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
TEST-GRILĂ 2
La disciplina: MATEMATICĂ
1. (10p) Valorile parametrilor R∈
β
α , pentru care sistemele
( )
=+++
=++−
=++
=++
=++−
=++
113
0
022
şi
123
0
0322
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
α
α
β
β
sunt simultan incompatibile sunt:
a. nu există R∈
β
α , pentru care sistemele să fie simultan incompatibile
b. }0{\R∈
α şi 1=
β
c. 0=
α şi }1{\R∈
β
d. }0{\R∈
α şi }0{\R∈
β
e. 0=
α şi 1=
β
2. (10p) Dacă
= 12
21
A
și S este suma elementelor matricei n
A ( ∗
∈ Nn ) atunci:
a. ( )[ ]nn
S 132 −−⋅=
b. n
S 32 ⋅=
c. ( ) 1132 +−−⋅= nn
S
d. n
S 3=
e. ( )n
S 12 −⋅=
3. (5p) Fie
[ ] ( ) { }{ }2,1,,,,: 3213
1
21 ∈∈++=→= − nRddddXdXdXfRRfXR nn
n
și ( )XP , ( )XQ funcţii din [ ]XRn definite prin
( ) ( ) ( ) ( ) 1, 21 +−=++++= − XXXQcXcbXbaXP nn .
În aceste ipoteze ( ) ( )XQXP = pentru orice 𝑋𝑋 ∈ 𝑅𝑅 dacă şi numai dacă
a. 2=n , 3=a , 2−=b , 1=c
b. 2=n , 2−=a , 3=b , 1=c
c. 2=n , 3−=a , 2=b , 1=c
d. 2=n , 4=a , 3−=b , 1=c
e. 2=n , 2=a , 3−=b , 1=cSubiect și barem · pagina 9
9 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
4. (5p) Dacă { } N∈nna este un şir de numere reale definit prin
( ) nn
n nn
n
a
+
+
−
= 1
1
1
1
2
2
atunci:
a. şirul este divergent deoarece subșirul termenilor de rang par converge la e
iar al celor de rang impar la e−
b. şirul este convergent
c. subșirul termenilor de rang par converge la e−
d. subșirul termenilor de rang impar converge la e
e. limita șirului există
5. ( 10p) Dacă RR →:f este o funcţie definită prin
( )
=
≠
= −
−
1dacă1
1dacă1
1
x
x
xf x
x
atunci:
a. f nu este continuă la dreapta în punctul 1=x
b. limita la stânga în punctul 1=x a lui f este egală cu 1
c. limita la dreapta în punctul 1=x a lui f este egală cu 1−
d. f nu este continuă în punctul 1=x
e. f este discontinuă în orice punct x diferit de 1
6. (10p) Reprezentarea grafică a funcţiei [ ] [ ) ( ) 2
4,,02,2: xxff −=∞→− în sistemul
cartezian de coordonate xOy
a. este porțiunea din cercul C(O,2) situată deasupra axei Ox:
b. este porțiunea din cercul C(O,4) situată deasupra axei Ox:
c. este porțiunea din cercul C(O,6) situată deasupra axei Ox:
-2 -1 0 1 2
1
2
x
y
-4 -2 0 2 4
1
2
3
4
x
y
-4 -2 0 2 4
4
5
6
x
ySubiect și barem · pagina 10
10 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ d. este porțiunea din cercul C(O,3) situată deasupra axei Ox: e. nu este o porțiune dintr-un cerc 7. ( 10p) Dacă există o unică funcţie derivabilă RR →:f care verifică ( ) ( ) ( ) 00,32 2 ==−′ fexfxf x atunci: a. ( ) x xexf 3 2= b. ( ) x xexf 2 3= c. ( ) x xexf 2 2= d. ( ) x xexf 3 3= e. ( ) x xexf 3 = 8. (10p) Dacă ( ) ∗ ∈Nnna este un şir de numere reale definit prin dxe nx a n x n − + = ∫ 2 1 0 1 atunci: a. 0lim > ∞→ n n a b. n n a ∞→ lim nu există c. 0lim < ∞→ n n a d. 0lim = ∞→ n n a e. șirul ( ) ∗ ∈Nnna are limita +∞ 9. (10p) Valorile lui R∈x pentru care 2lg 52 5 7 22122 5 2lg 2 12lg ⋅= + x x C sunt: a. 1,10 =−= xx b. 10,1 =−= xx c. 1,1 =−= xx d. nu există valori reale ale lui x care să îndeplinească cerinţa e. există cel puțin 3 valori reale ale lui x care să îndeplinească ipoteza -2 0 2 1 2 3 x y
Subiect și barem · pagina 11
11 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ 10. ( 10p) Valoarea reală a lui m pentru care sistemul de ecuaţii −=+− =− 33 3 yx myx are o infinitate de soluţii este: a. 3=m b. 1=m c. 0=m d. nu există m real care să îndeplinească cerinţa e. există o infinitate de valori ale lui m ce îndeplinesc cerința
Subiect și barem · pagina 12
12 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
TEST-GRILĂ 3
La disciplina: MATEMATICĂ
1. (5p) La un turneu de tenis de masă, 9 tenismeni au participat și fiecare dintre ei s-a
întâlnit o singură dată cu ceilalți. Numărul total de meciuri jucate între ei este:
a. 2P
b. 2
9A
c. 2
9C
d. 2
2
9 PA −
e. 2
2
9 PC −
2. (10p) Dacă A={x∈R 2 1 1 2 9x x x− − − = −}, atunci:
a. A=∅;
b. A=2;
c. A=1;
d. A∩(1,6)= ∅;
e. A∩(-2, 0)≠ ∅.
3. (5p) Valoarea lui ( )∞∈ ,0m pentru care sistemul de ecuaţii
=+−
=−−
0333
03
2 xy
myx
are doar soluţiile ( ) ( )3,10, =yx şi ( ) ( )0,1, =yx este:
a. 3m =
b. 5=m
c. 0=m
d. nu există ( )∞∈ ,0m care să îndeplinească cerinţa
e. 1=m
4. (10p) Complementara mulţimii 2
{ 2 1 0}A x x x= ∈ + + >R
este mulţimea:
a. ∅
b. }1{
c. \{1}R
d. }1{−
e. { 1,1}−Subiect și barem · pagina 13
13 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ 5. (10p) Soluţia inecuaţiei: 2 1 1 8 8 x ≤ este: a. ∅ b. [ ]1,1− c. ( ] [ ), 1 1,−∞ − ∪ ∞ d. [ )1, ∞ e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă 6. (10p) Numărul maxim al termenilor din şirul ,...36,30,24,18 ce trebuie aleşi în ordine astfel încât suma termenilor să fie 798 este: a. 16 termeni b. 14 termeni c. 13 termeni d. 15 termeni e. 17 termeni. 7. (10p) Fie :f →R R definită prin ( ) .2 qpxxxf −+= Valorile parametrilor reali p , q pentru care ( )3,3 −V este vârful parabolei f sunt: a. 6−=p , 6−=q b. 6−=p , 6=q c. 6=p , 6−=q d. nu există p , q ∈ R astfel V să fie vârful parabolei f e. 6=p , 6=q 8. (10p) Fie ( ) ( )3 3 2 1 0 0 0 şi det pentru . 1 2 3 A A P A I λ λ λ = =− ∈ R Dacă 1 2 3 , , λ λ λ ∈ R sunt soluţiile ecuaţiei ( ) 0= λAP atunci a. 4,0,2 321 −==−= λ λ λ b. 4,0,2 321 ==−= λ λ λ c. 4,0,2 321 −=== λ λ λ d. 4,0,2 321 === λ λ λ e. 1 2 3 2, 0, 3 λ λ λ= = =
Subiect și barem · pagina 14
14 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
9. (10p) Fie
[ ] ( ){ }.,,: 21211 RdddXdXfRRfXR ∈+=→=
Care afirmaţie este adevărată:
a. R, ∈∀
β
α [ ]XQP 1R, ∈∀ are loc [ ]XQP 1R∉+
β
α
b. R, ∈∀
β
α [ ]XQP 1R, ∈∀ are loc [ ]XQP 1R∈+
β
α
c. [ ]XQP 1R, ∈∀ , ∃ R, ∈
β
α astfel încât [ ]XQP 1R∉+
β
α
d. R, ∈∃
β
α astfel încât [ ]XQP 1R, ∈∀ , are loc [ ]XQP 1R∉+
β
α
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
10. (10p) Dacă 𝑓𝑓: [0, ∞) → 𝑹𝑹 este definită prin
( ) ( ) x
e
x
x
xf −
+
+
= 22
2
3
273
atunci ecuaţia ( ) 1=xf are:
a. o unică soluţie în intervalul [0, ∞)
b. două soluţii în intervalul [0, ∞)
c. trei soluţii în intervalul [0, ∞)
d. ∄𝑥𝑥 ∊ [0, ∞) care să verifice ecuaţia
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectăSubiect și barem · pagina 15
15 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
TEST-GRILĂ 4
La disciplina: MATEMATICĂ
1. (5p) Dacă }7,6,5,4,3{şi}41N{ =≤≤∈= BxxA atunci:
a. { }4,3=∩ BA , }31N{\ ≤≤∈= xxBA
b. { }4,3=∩ BA , }3{\ =BA
c. }71N{ ≤≤∈=∩ xxBA , }7,6,5,4{\ =BA
d. { }4,3=∩ BA , }2,1{\ =BA
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
2. (10p) Dacă
}7,6,5,4,3{şi}4,3,2,1{ == BA
atunci sunt funcţii BAf →: următoarele relaţii definite prin tabelul:
a.
x 1 2 3 4
f(x) 3 4 5 7
b.
x 1 2 3 4 4
y=f(x) 3 4 5 6 7
c.
x 1 2 3 4
y=f(x) 3 3 7
d.
x 1 2 2 3 4
y=f(x) 7 4 3 5 6
e. nu există funcții BAf →:
3. (10p) Fie ( ) [ )∞→∞ ,0,0:f definită prin
( ) .12 lnln2 +−= xx eexf
Soluţia ecuaţiei ( ) 0=xf este:
a. 2=x
b. ex =
c. 1=x
d. 𝑥𝑥 ∈ ∅
e. ecuația nu are soluții numere realeSubiect și barem · pagina 16
16 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
4. (5p) Valorile lui R∈x care verifică simultan inegalitățile
≤≤
≤+≤
≤−≤
≤−≤
10
11.00
15.00
14.00
x
x
x
x
sunt
a. [ ]9.0,0∈x
b. [ ]5.0,0∈x
c. [ ]4.0,1.0∈x
d. [ ]5.0,1.0∈x
e. [ ]4.0,0∈x
5. (10p) Soluţia ecuaţiei
( ) 2186log 2 =+− xxx
este:
a. 5=x
b. 2=x
c. 4=x
d. 3=x
e. ecuația nu are soluții numere reale
6. (10p) Dacă
124
131
113
−=D
atunci:
a. niciuna dintre variantele de răspuns de mai jos nu este corectă
b. 4−=D
c. 4>D
d. 4<D
e. 4=D
7. (10p) Fie }3,2{∈n şi ( )RnM mulţimea matricelor cu n linii şi n coloane de elemente
reale. Pentru ( )RnMA∈ notăm det(A)=│A│. Dacă ( )R,...,1 nn MAA ∈ sunt astfel încât
i
i iA 2= pentru orice },...,2,1{ ni ∈ atunci:
a. ( )1
1 2!... +
=⋅⋅ nn
n nAA
b. 1
1
2
2!... +
=⋅⋅ n
n nAA
c. nn
n nAA 2
1 2!... +
=⋅⋅
d. 2
2!...1
n
n nAA =⋅⋅Subiect și barem · pagina 17
17 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
8. (10p) Fie RR: →f definită prin
( ) .66 2
xxxf ++−=
Soluţia ecuaţiei ( ) 0=xf este:
a. 10−=x
b. 3−=x
c. 10=x
d. 3=x
e. ecuația nu are soluții numere reale
9. (10p) Dacă { } ∗
∈Nnna este un şir de numere reale definit prin
+++
++
+= n
a n
1
1ln...
3
1
1ln
2
1
1ln
atunci
a. −∞=
∞→ n
n
alim
b. ∞=
∞→ n
n alim
c. 0lim =
∞→ n
n a
d. n
n a
∞→
∃/ lim
e. { } ∗
∈Nnna este monoton descrescător
10. (10p) Fie
[ ] ( ){ }.,,:1 RbabaXXPRRPXR ∈+=→=
şi [ ] RXRf 1: definită prin
( )( ) ( ) ( )( )dttPtPXPf ′−= ∫1
0
oricare ar fi ( ) [ ]XRbaXXP 1∈+= . Ecuaţia
( )( ) 0=XPf
este verificată pentru
a. ( ) ( )2
1
+= XaXP unde R∈a sau ( ) ( )12 += XbXP unde R∈b
b. ( ) ( )2
1
−= XaXP unde R∈a sau ( ) ( )12 −= XbXP unde R∈b
c. ( ) ( )2
1
+−= XaXP unde R∈a sau ( ) ( )12 +−= XbXP unde R∈b
d. singura funcție ( ) [ ]XRXP 1∈ care verifică ecuația este ( ) 0=XP
e. nu există ( ) 0≠XP din [ ]XR1 care să verifice ecuația datăSubiect și barem · pagina 18
18 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
TEST-GRILĂ 5
La disciplina: MATEMATICĂ
1. (10p) Se consideră ( ) *n n
a ∈N o progresie aritmetică de termeni strict pozitivi astfel încât
S26 =4S13 , unde Sn =
1
n
k
k
a
=
∑ . Dacă T= 1 2006
2508
2007a a
a
+ , atunci:
a. T=1
b. T= 3
2
c. T= 6
5
d. T= 7
8
e. T=2007
2. (10p) Dacă A={(x, y)∈R×R x2 +y2 -2xy=1, x+y+xy=5}şi S=
( , )
( )
x y A
x y
∈
+∑ , atunci:
a. S=-4
b. S=6
c. S=-14
d. S=-8
e. S=0
3. (10p) Valorile lui a∈R astfel încât ecuaţia: 1x43xa1x43x −+++−−+ =4 să
aibă soluţie unică sunt:
a. a∈Φ
b. a∈[1, ∞)
c. a∈(-1, 1)
d. a∈(-1, 1]
e. a=1Subiect și barem · pagina 19
19 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ 4. (10p) Dacă n este numărul de soluţii ale ecuaţiei 2 2 2 1 1 log log ln ln 4 x x x x + = , atunci: a. n=0 b. n=1 c. n=2 d. n=3 e. n=4 5. (10p) Fie matricele A= 1 1 1 1 , B= 1 1 1 1 − − . Dacă ∆=det(A2024 +B2024 ), atunci: a. ∆=22024 b. ∆=1 c. ∆=0 d. ∆=24048 e. ∆=21012 6. (10p) Fie sistemul liniar 0 0 0 ax y z x ay z x y az + + = + + = + + = , unde a este un parametru real. Dacă S este suma valorilor parametrului a pentru care sistemul este compatibil simplu nedeterminat, atunci: a. S=0 b. S= -2 c. S= -1 d. S=1 e. S= 2 7. (5p) Dacă L= 2 10 lim 2 1x x x→−∞ + − , atunci: a. L=0 b. L=1 c. L= -0,5
Subiect și barem · pagina 20
20 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
d. L=-1
e. L=0,5
8. (10p) Fie funcţia { }: 1f − − →R R , ( ) 1
x
f x x
= + . Imaginea funcţiei f , Im f , este:
a. Im f = R
b. Im f = { }1− −R
c. Im f = { }1−R
d. Im f = ( )1, ∞
e. Im f = ( ),1−∞
9. (5p) Dacă :F →R R , ( ) ( ) , ,x
F x ax b e a b−
=+ ∈ R , este o primitivă a funcţiei :f →R R ,
( ) ( )1 x
f x x e−
= + , atunci A= 2 2
a b+ este:
a. A=1
b. A=4
c. A=5
d. A=8
e. A=2
10. (10p) Dacă I= 2
0
2 1x dx−∫ , unde prin a se notează modulul numărului real a , atunci:
a. I>6
b. I<1
c. I∈(1, 2)
d. I∈(2, 4)
e. I∈(4, 6)Subiect și barem · pagina 21
21 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
TEST-GRILĂ 6
La disciplina: MATEMATICĂ
(EXAMEN SIMULARE ASE 13.04.2024)
1. (5p) Ordinea crescătoare a numerelor eln , 2ln , e ,
π , 1ln este:
a. 1ln , eln , 2ln , e ,
π
b. 1ln , eln , 2ln ,
π , e
c. 1ln , e , eln ,
π , 2ln
d. 1ln , 2ln , eln , e ,
π
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
2. (10p) Dacă 56 +x , 52 +x , x27 − sunt primii trei termeni ai unei progresii
geometrice de numere naturale atunci suma 100S a primilor100 de termini este:
a. 22101
100 −=S
b. 22100
100 −=S
c. 22102
100 −=S
d. 22102
100 +=S
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
3. (5p) Numărul numerelor naturale pare, de două cifre, cu cifra zecilor număr impar,
formate cu elementele mulțimii }7,6,5,4,3,2,1{=A este:
a. 14
b. 3
7C
c. 3
7A
d. 4
7A
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
4. (10p) Fie ecuaţia
2�𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙3 �4𝑥𝑥−𝑥𝑥 2 �+1�8𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙3 �4𝑥𝑥−𝑥𝑥 2 � = 32.
Dacă 𝑆𝑆 este mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei date atunci:
a.𝑆𝑆 = {1,2,3}
b. 𝑆𝑆 = {1,3}
c. 𝑆𝑆 = {1,2,3,4}
d. 𝑆𝑆 = 𝜙𝜙
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectăSubiect și barem · pagina 22
22 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ 5. (10p) Se consideră matricea 𝐴𝐴(𝑥𝑥) = � 1 𝑥𝑥 −𝑥𝑥 1� ∈ 𝑀𝑀2(𝑅𝑅). Dacă 𝑚𝑚𝑙𝑙 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑�𝐴𝐴(𝑥𝑥)𝐴𝐴(𝑦𝑦 − 1)� şi 𝑚𝑚 𝑎𝑎 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑�𝐴𝐴(𝑥𝑥)� + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑�𝐴𝐴(𝑦𝑦 − 1)� atunci care dintre afirmaţii este adevărată: a.4 ⋅ 𝑚𝑚𝑙𝑙 > (𝑚𝑚 𝑎𝑎)2 pentru orice numere reale 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 b.4 ⋅ 𝑚𝑚𝑙𝑙 ≤ (𝑚𝑚 𝑎𝑎)2 pentru orice numere reale 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 c. 𝑚𝑚𝑙𝑙 ≤ 0 pentru orice numere reale 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 d. există numere reale 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 astfel încât 𝑚𝑚𝑙𝑙 = 𝑚𝑚 𝑎𝑎 = 0 e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă 6. (10p) Se consideră matricele 𝐴𝐴 = � 1 1 −1 1� ∈ 𝑀𝑀2(𝑅𝑅) şi 𝐵𝐵 = �−1 1 1 1� ∈ 𝑀𝑀2(𝑅𝑅). Matricea 𝑋𝑋 ∈ 𝑀𝑀2(𝑅𝑅) pentru care 𝑋𝑋 ⋅ 𝐵𝐵 = 𝐴𝐴−1 ⋅ 𝐵𝐵, unde 𝐴𝐴−1 este inversa lui 𝐴𝐴, este: a. 𝑋𝑋 = � 1 2 1 2 1 2 − 1 2 � b. 𝑋𝑋 = �− 1 2 1 2 1 2 1 2 � c. 𝑋𝑋 = � 1 2 − 1 2 1 2 1 2 � d. 𝑋𝑋 = � 1 2 1 2 − 1 2 1 2 � e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă 7. (10p) Dacă 𝑓𝑓 : 𝑅𝑅 → 𝑅𝑅 este definită prin 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 3 − 3𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 1, atunci: a. funcţia nu are puncte staţionare/critice b. 𝑥𝑥 = 1 este punct de maxim local c. 𝑥𝑥 = 1 este punct de minim local d. funcţia nu are punctede extrem local e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
Subiect și barem · pagina 23
23 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
8. (10p) Dacă
𝐿𝐿 = lim
𝑥𝑥→∞
2 ⋅ 𝑥𝑥 ⋅ 𝑑𝑑−(𝑥𝑥−1)
2 + 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥
atunci:
a. 𝐿𝐿 ∈ (0,1)
b. 𝐿𝐿 = ∞
c. 𝐿𝐿 = 0
d. 𝐿𝐿 ∈ [1,2)
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
9. (10p) Dacă 𝑓𝑓 : [1, ∞) → 𝑅𝑅 este definită prin
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2 ⋅ 𝑑𝑑−(𝑥𝑥−1)
2 + 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥
atunci ecuaţia 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1 are:
a. o unică soluţie în intervalul [1, ∞)
b. două soluţii în intervalul [1, ∞)
c. trei soluţii în intervalul [1, ∞)
d. ∄𝑥𝑥 ∈ [1, ∞) care să fie soluţie a ecuaţiei
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
10. (10p) Dacă
𝐼𝐼𝑛𝑛 = � 2 ⋅ 𝑑𝑑−𝑛𝑛𝑥𝑥+1
2 + 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑙𝑙 ⋅ 𝑥𝑥)
𝑒𝑒
1
𝑑𝑑𝑥𝑥, 𝑙𝑙 ∈ 𝑁𝑁 ∗
atunci:
a.{𝐼𝐼𝑛𝑛}𝑛𝑛∈𝑁𝑁 ∗ este un şir monoton crescător
b.{𝐼𝐼𝑛𝑛}𝑛𝑛∈𝑁𝑁 ∗ este un şir monoton descrescător
c. şirul{𝐼𝐼𝑛𝑛}𝑛𝑛∈𝑁𝑁 ∗ nu admite niciun subşir convergent
d. 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚
𝑛𝑛→∞𝐼𝐼𝑛𝑛 ≠ 0
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectăSubiect și barem · pagina 24
24 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
MULTIPLE-CHOICE TEST 6
in MATHEMATICS
(EXAM SIMULATION ASE 13.04.2024)
1. (5p) Arrange the numbers eln , 2ln , e ,
π , 1ln in ascending order:
a. 1ln , eln , 2ln , e ,
π
b. 1ln , eln , 2ln ,
π , e
c. 1ln , e , eln ,
π , 2ln
d. 1ln , 2ln , eln , e ,
π
e. none of the above
2. (10p) Let 56 +x , 52 +x , x27 − be the first three terms of a geometric
progression of natural numbers.Then the sum 100S of the first 100 terms is:
a. 22101
100 −=S
b. 22100
100 −=S
c. 22102
100 −=S
d. 22102
100 +=S
e. none of the above
3. (5p) The number of two-digit even natural numbers, with the first digit odd,
that can be formed from the elements of the set }7,6,5,4,3,2,1{=A is:
a. 14
b. 3
7C
c. 3
7A
d. 4
7A
e. none of the above
4. (10p) Consider the following equation:
2�𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙3 �4𝑥𝑥−𝑥𝑥 2 �+1�8𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙3 �4𝑥𝑥−𝑥𝑥 2 � = 32.
Let 𝑆𝑆 be the set of the real solutions of the equation. Then:
a. 𝑆𝑆 = {1,2,3}
b. 𝑆𝑆 = {1,3}
c. 𝑆𝑆 = {1,2,3,4}
d. 𝑆𝑆 = 𝜙𝜙
e. none of the above.
5. (10p) Consider the matrix
𝐴𝐴(𝑥𝑥) = � 1 𝑥𝑥
−𝑥𝑥 1� ∈ 𝑀𝑀2(𝑅𝑅).
Let 𝑚𝑚𝑙𝑙 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑�𝐴𝐴(𝑥𝑥)𝐴𝐴(𝑦𝑦 − 1)� and 𝑚𝑚 𝑎𝑎 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑�𝐴𝐴(𝑥𝑥)� + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑�𝐴𝐴(𝑦𝑦 − 1)�.Subiect și barem · pagina 25
25 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ Then: a.4 ⋅ 𝑚𝑚𝑙𝑙 > (𝑚𝑚 𝑎𝑎)2 for all real numbers 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 b. 4 ⋅ 𝑚𝑚𝑙𝑙 ≤ (𝑚𝑚 𝑎𝑎)2 for all real numbers 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 c. 𝑚𝑚𝑙𝑙 ≤ 0 for all real numbers 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 d. there exist real numbers 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 such that 𝑚𝑚𝑙𝑙 = 𝑚𝑚 𝑎𝑎 = 0 e. none of the above 6. (10p) Let 𝐴𝐴 = � 1 1 −1 1� ∈ 𝑀𝑀2(𝑅𝑅) and 𝐵𝐵 = �−1 1 1 1� ∈ 𝑀𝑀2(𝑅𝑅). The matrix 𝑋𝑋 ∈ 𝑀𝑀2(𝑅𝑅) such that 𝑋𝑋 ⋅ 𝐵𝐵 = 𝐴𝐴−1 ⋅ 𝐵𝐵, where 𝐴𝐴−1 is the inverse of 𝐴𝐴, is: a. 𝑋𝑋 = � 1 2 1 2 1 2 − 1 2 � b. 𝑋𝑋 = �− 1 2 1 2 1 2 1 2 � c. 𝑋𝑋 = � 1 2 − 1 2 1 2 1 2 � d. 𝑋𝑋 = � 1 2 1 2 − 1 2 1 2 � e. none of the above 7. (10p) Consider the function 𝑓𝑓 : 𝑅𝑅 → 𝑅𝑅, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 3 − 3𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 1. Then: a. the function has no stationary/critical points. b. 𝑥𝑥 = 1 is a local maximum point. c. 𝑥𝑥 = 1 is a local minimum point. d. the function has no local extreme points. e. none of the above 8. (10p) Consider 𝐿𝐿 = lim 𝑥𝑥→∞ 2⋅𝑥𝑥⋅𝑒𝑒 −(𝑥𝑥−1) 2+𝑙𝑙𝑛𝑛 𝑥𝑥 . Then:
Subiect și barem · pagina 26
26 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
a. 𝐿𝐿 ∈ (0,1)
b. 𝐿𝐿 = ∞
c. 𝐿𝐿 = 0
d. 𝐿𝐿 ∈ [1,2)
e. none of the above
9. (10p) Let 𝑓𝑓 : [1, ∞) → 𝑅𝑅 be given by
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2⋅𝑒𝑒 −(𝑥𝑥−1)
2+𝑙𝑙𝑛𝑛 𝑥𝑥 .
Then the equation 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1has:
a. a unique solution in the interval [1, ∞)
b. two solutions in the interval [1, ∞)
c. three solutions in the interval [1, ∞)
d. ∄𝑥𝑥 ∈ [1, ∞) such that 𝑥𝑥 is a solution of the equation
e. none of the above
10. (10p) Consider
𝐼𝐼𝑛𝑛 = ∫ 2⋅𝑒𝑒 −𝑛𝑛𝑥𝑥+1
2+𝑙𝑙𝑛𝑛(𝑛𝑛⋅𝑥𝑥)
𝑒𝑒
1 𝑑𝑑𝑥𝑥, 𝑙𝑙 ∈ 𝑁𝑁 ∗.
Then:
a. {𝐼𝐼𝑛𝑛}𝑛𝑛∈𝑁𝑁 ∗ is a monotonically increasing sequence
b.{𝐼𝐼𝑛𝑛}𝑛𝑛∈𝑁𝑁 ∗ is monotonically decreasing sequence
c. the sequence {𝐼𝐼𝑛𝑛}𝑛𝑛∈𝑁𝑁 ∗ has no convergent subsequence.
d. lim
𝑛𝑛→∞𝐼𝐼𝑛𝑛 ≠ 0
e. none of the aboveSubiect și barem · pagina 27
27 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
TEST-GRILĂ 7
La disciplina: MATEMATICĂ
(EXAMEN SIMULARE ASE 13.04.2024)
1. (5p) La un examen de admitere la facultate 60% din totalul candidaţilor sunt
reprezentaţi de băieţi iar 80 sunt fete. Numărul candidaţilor la admitere, notat 𝑥𝑥,
este:
a. 𝑥𝑥 = 200
b. 𝑥𝑥 = 120
c. 𝑥𝑥 = 320
d. 𝑥𝑥 = 180
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
2. (10p) Fie 𝑓𝑓 : 𝑅𝑅 → 𝑅𝑅 definită prin 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 2 şi 𝑔𝑔 : 𝑅𝑅 → 𝑅𝑅 definită prin
𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑚𝑚𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 𝑙𝑙. Valorile parametrilor reali 𝑚𝑚 şi 𝑙𝑙 pentru care vârful parabolei
𝑔𝑔 este simetricul vârfului parabolei 𝑓𝑓 faţă de axa 𝑂𝑂𝑥𝑥 sunt:
a. 𝑚𝑚 = − 1
2 , 𝑙𝑙 = − 3
2
b. 𝑚𝑚 = 1
2 , 𝑙𝑙 = 3
2
c. 𝑚𝑚 = − 1
2 , 𝑙𝑙 = 3
2
d. 𝑚𝑚 = 1
2 , 𝑙𝑙 = − 3
2
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
3. (10p) Dacă 5, 𝑥𝑥 + 5, 𝑥𝑥 + 10 sunt primii trei termeni ai unei progresii aritmetice de
numere naturale atunci suma, 𝑆𝑆100 , a primilor 100 de termeni este:
a. 𝑆𝑆100 = 25250
b. 𝑆𝑆100 = 25350
c. 𝑆𝑆100 = 25450
d. 𝑆𝑆100 = 25550
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
4. (10p) Dacă
𝑆𝑆 = �(𝑥𝑥, 𝑞𝑞) ∈ 𝑁𝑁 × 𝑁𝑁 ��√𝑥𝑥 − 2 − 3� + 𝑞𝑞�√𝑥𝑥 − 2 + 3� = 6�
atunci:
a. 𝑆𝑆 = {(𝑥𝑥, 1)|𝑥𝑥 ∈ {2,3, . . . ,11}} ∪ {(83,0)}
b. 𝑆𝑆 = {(2,1), (3,1), (11,1), (83,0)}
c. 𝑆𝑆 = {(2,1), (3,1), (4,1), (10,1), (11,1)}
d. 𝑆𝑆 = {(2,1), (3,1), (10,1), (11,1)}
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectăSubiect și barem · pagina 28
28 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
5. (5p) Se consideră matricele
𝐴𝐴 = �−1 1
1 −1� ∈ 𝑀𝑀2(𝑅𝑅) şi 𝐵𝐵 = �
𝑎𝑎 1 1
1 𝑎𝑎 1
𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑏𝑏
� ∈ 𝑀𝑀3(𝑅𝑅).
Valorile parametrilor reali 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 pentru care cele două matrice 𝐴𝐴 şi 𝐵𝐵 au acelaşi
rang sunt:
a. 𝑎𝑎 = 1 şi 𝑏𝑏 ∈ 𝑅𝑅 oarecare
b. 𝑎𝑎 = 1 şi 𝑏𝑏 = 1
c. 𝑎𝑎 = −1 şi 𝑏𝑏 = 1
d. 𝑎𝑎 = −1 şi 𝑏𝑏 ∈ 𝑅𝑅 oarecare
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
6. (10p) Dacă
𝑎𝑎𝑛𝑛 = 2
√𝑙𝑙2 + 1[2 + 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑙𝑙 + 1)] , 𝑙𝑙 ∈ 𝑁𝑁
atunci:
a. {𝑎𝑎𝑛𝑛}𝑛𝑛 este şir monoton descrescător
b. 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚
𝑛𝑛→∞
𝑎𝑎𝑛𝑛 ≠ 0
c. 𝑎𝑎𝑛𝑛 > 1∀𝑙𝑙 ∈ 𝑁𝑁
d. 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚
𝑛𝑛→∞
𝑎𝑎𝑛𝑛 = ∞
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
7. (10p) Dacă 𝑓𝑓 : 𝑅𝑅 → 𝑅𝑅 este definită prin
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 3 + (𝑎𝑎 − 3)𝑥𝑥 2 + (3 − 2𝑎𝑎)𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 − 1,
iar 𝐼𝐼 este mulţimea valorilor parametrului real 𝑎𝑎 pentru care 𝑓𝑓 admite un
maxim local în punctul 𝑥𝑥 = 1 atunci:
a. 𝐼𝐼 = (−∞, 0)
b. 𝐼𝐼 = (0, ∞)
c. 𝐼𝐼 = {0}
d. 𝐼𝐼 = ∅
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
8. (10p) Dacă𝑓𝑓 : [0, ∞) → 𝑅𝑅 este definită prin
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2
√𝑥𝑥 2 + 1[2 + 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑥𝑥 + 1)]
Atunci ecuaţia 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1 are:
a. o unică soluţie în intervalul [0, ∞)
b. două soluţii în intervalul [0, ∞)
c. trei soluţii în intervalul [0, ∞)
d. ∄𝑥𝑥 ∈ [0, ∞) care să fie soluţie a ecuaţiei
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectăSubiect și barem · pagina 29
29 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
9. (10p) Dacă
𝐼𝐼𝑛𝑛 = � 2
√𝑙𝑙2 𝑥𝑥 2 + 1[2 + 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑙𝑙𝑥𝑥 + 1)]
1
𝑛𝑛
0
𝑑𝑑𝑥𝑥, 𝑙𝑙 ∈ 𝑁𝑁 ∗
atunci:
a. lim
n→∞
𝐼𝐼𝑛𝑛 = 0
b. {𝐼𝐼𝑛𝑛}𝑛𝑛∈𝑁𝑁 ∗ nu este un şir convergent
c. şirul{𝐼𝐼𝑛𝑛}𝑛𝑛∈𝑁𝑁 ∗ nu admite niciun subşir convergent
d. lim
𝑛𝑛→∞
𝐼𝐼𝑛𝑛 ≠ 0
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
10. (10p) Dacă
𝐼𝐼 = � 15(𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥)(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥)
1
0
𝑑𝑑𝑥𝑥
atunci:
a. 𝐼𝐼 = −2
b. 𝐼𝐼 = −30
c. 𝐼𝐼 = − 2
15
d. 𝐼𝐼 = − 1
15
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectăSubiect și barem · pagina 30
30 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
MULTIPLE-CHOICE TEST 7
in MATHEMATICS
(EXAM SIMULATION ASE 13.04.2024)
1. (5p) At an exam, 60% of the candidates are boysand 80 candidates are girls. Let
𝑥𝑥 be the number of the candidates. Then:
a. 𝑥𝑥 = 200
b. 𝑥𝑥 = 120
c. 𝑥𝑥 = 320
d. 𝑥𝑥 = 180
e. none of the above
2. (10p) Let 𝑓𝑓 : 𝑅𝑅 → 𝑅𝑅 be given by 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 2 and 𝑔𝑔 : 𝑅𝑅 → 𝑅𝑅 be given by
𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑚𝑚𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 𝑙𝑙. The values of the real parameters 𝑚𝑚 and 𝑙𝑙, for which the
vertex of the parabola 𝑔𝑔 and the vertex of the parabola 𝑓𝑓 are symmetric with
respect to the 𝑂𝑂𝑥𝑥 axis,are:
a. 𝑚𝑚 = − 1
2 , 𝑙𝑙 = − 3
2.
b. 𝑚𝑚 = 1
2 , 𝑙𝑙 = 3
2.
c. 𝑚𝑚 = − 1
2 , 𝑙𝑙 = 3
2.
d. 𝑚𝑚 = 1
2 , 𝑙𝑙 = − 3
2
e. none of the above
3. (10p) Let 5, 𝑥𝑥 + 5, 𝑥𝑥 + 10 be the first three terms of an arithmetic progression of
natural numbers. Then the sum 100S of the first 100 terms is:
a. 𝑆𝑆100 = 25250
b. 𝑆𝑆100 = 25350
c. 𝑆𝑆100 = 25450
d. 𝑆𝑆100 = 25550
e. none of the above
4. (10p) Consider
𝑆𝑆 = �(𝑥𝑥, 𝑞𝑞) ∈ 𝑁𝑁 × 𝑁𝑁 ��√𝑥𝑥 − 2 − 3� + 𝑞𝑞�√𝑥𝑥 − 2 + 3� = 6�.
Then:
a. 𝑆𝑆 = {(𝑥𝑥, 1)|𝑥𝑥 ∈ {2,3, . . . ,11}} ∪ {(83,0)}
b. 𝑆𝑆 = {(2,1), (3,1), (11,1), (83,0)}
c. 𝑆𝑆 = {(2,1), (3,1), (4,1), (10,1), (11,1)}
d. 𝑆𝑆 = {(2,1), (3,1), (10,1), (11,1)}
e. none of the aboveSubiect și barem · pagina 31
31 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
5. (5p) Let
𝐴𝐴 = �−1 1
1 −1� ∈ 𝑀𝑀2(𝑅𝑅) and 𝐵𝐵 = �
𝑎𝑎 1 1
1 𝑎𝑎 1
𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑏𝑏
� ∈ 𝑀𝑀3(𝑅𝑅).
The values of the real parameters 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 for which the matrices 𝐴𝐴 şi 𝐵𝐵 have the
same rank are:
a. 𝑎𝑎 = 1 and 𝑏𝑏 ∈ 𝑅𝑅
b. 𝑎𝑎 = 2 and 𝑏𝑏 = 1
c. 𝑎𝑎 = −1 and 𝑏𝑏 = 1
d. 𝑎𝑎 = −1 and 𝑏𝑏 ∈ 𝑅𝑅
e. none of the above.
6. (10p) Let
𝑎𝑎𝑛𝑛 = 2
√𝑙𝑙2 + 1[2 + 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑙𝑙 + 1)] , 𝑙𝑙 ∈ 𝑁𝑁.
Then:
a. {𝑎𝑎𝑛𝑛}𝑛𝑛 is a monotonically decreasing sequence.
b. lim
𝑛𝑛→∞
𝑎𝑎𝑛𝑛 ≠ 0.
c. 𝑎𝑎𝑛𝑛 > 1∀𝑙𝑙 ∈ 𝑁𝑁.
d. lim
𝑛𝑛→∞
𝑎𝑎𝑛𝑛 = ∞.
e. none of the above.
7. (v) Let 𝑓𝑓 : 𝑅𝑅 → 𝑅𝑅 be given by
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 3 + (𝑎𝑎 − 3)𝑥𝑥 2 + (3 − 2𝑎𝑎)𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 − 1,
and𝐼𝐼be the set of the values of the real parameter 𝑎𝑎 for which 𝑓𝑓 has a local
maximum at the point 𝑥𝑥 = 1. Then:
a. 𝐼𝐼 = (−∞, 0).
b. 𝐼𝐼 = (0, ∞).
c. 𝐼𝐼 = {0}.
d. 𝐼𝐼 = ∅.
e. none of the above.
8. (10p) Let 𝑓𝑓 : [0, ∞) → 𝑅𝑅be given by
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2
√𝑥𝑥 2 +1[2+𝑙𝑙𝑛𝑛(𝑥𝑥+1)].
Then the equation𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1 has:
a. a unique solution in the interval [0, ∞).
b. two solutions in the interval [0, ∞).
c. three solutions in the interval [0, ∞).
d. ∄𝑥𝑥 ∈ [0, ∞) such that 𝑥𝑥 is a solution of the equation.
e. none of the above.Subiect și barem · pagina 32
32 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
9. (10p) Consider
𝐼𝐼𝑛𝑛 = � 2
√𝑙𝑙2 𝑥𝑥 2 + 1[2 + 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑙𝑙𝑥𝑥 + 1)]
1
𝑛𝑛
0
𝑑𝑑𝑥𝑥, 𝑙𝑙 ∈ 𝑁𝑁 ∗.
Then:
a. lim
n→∞
𝐼𝐼𝑛𝑛 = 0
b. {𝐼𝐼𝑛𝑛}𝑛𝑛∈𝑁𝑁 ∗ is not a convergent sequence.
c. the sequence {𝐼𝐼𝑛𝑛}𝑛𝑛∈𝑁𝑁 ∗ has no convergent subsequence.
d. lim
𝑛𝑛→∞
𝐼𝐼𝑛𝑛 ≠ 0
e. none of the above.
10. (10p) Consider
𝐼𝐼 = ∫ 15(𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥)(𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥)
1
0 𝑑𝑑𝑥𝑥.
Then:
a. 𝐼𝐼 = −2
b. 𝐼𝐼 = −30
c. 𝐼𝐼 = − 2
15
d. 𝐼𝐼 = − 1
15
e. none of the above.Subiect și barem · pagina 33
33 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
TEST-GRILĂ 8
La disciplina: MATEMATICĂ
1. (10p) Suma pătratelor rădăcinilor ecuației (𝑥𝑥 + 3)3 − (𝑥𝑥 + 1)3 = 56 este:
a. 26
b. 19
c. 3
d. 24
e. 18
2. (10p) Fie funcția de gradul al doilea 𝑓𝑓 : ℝ → ℝ, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 astfel încât
graficul acestei funcții să aibă vârful 𝑉𝑉(1,2) și să intersecteze axa Oy în punctul
𝐴𝐴(0, −2). Atunci 𝑆𝑆 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 − 𝑐𝑐 este:
a. S= −2
b. S= −4
c. S=6
d. S= 8
e. S= 10
3. (10p) Fie 𝐴𝐴 = {𝑥𝑥 ∈ (0, ∞)|2 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑔𝑔3
2(5𝑥𝑥) − 7 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑔𝑔3(15𝑥𝑥) + 7 = 0}. Atunci:
a. 𝐴𝐴 ⊂ �1
2 , 10�
b. 𝐴𝐴 ⊂ (1
8 , 9)
c. 𝐴𝐴 ⊂ [1
6 , 10�
d. 𝐴𝐴 ⊂ �1
5 , 9�
e. |𝐴𝐴| = 1
4. (5p) Fie 𝑎𝑎1 primul termen, 𝑟𝑟 rația a unei progresii aritmetice (𝑎𝑎𝑛𝑛)𝑛𝑛≥1 cu proprietățile
𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎6 + 𝑎𝑎4 = −7 și 𝑎𝑎8 − 𝑎𝑎7 − 2𝑎𝑎4 = 0. Atunci 𝑆𝑆 = 𝑎𝑎1 + 3𝑟𝑟 este:
a. 𝑆𝑆 = 1
b. 𝑆𝑆 = −1
c. 𝑆𝑆 = 2
d. 𝑆𝑆 = −5
e. 𝑆𝑆 = 3
5. (10p) Fie matricea 𝐴𝐴 = �
1 0 1
0 1 0
1 0 1
�.
Atunci 𝑆𝑆 = 𝑝𝑝 − 𝑞𝑞 pentru care 𝐴𝐴3 = 𝑝𝑝 ⋅ 𝐴𝐴2 + 𝑞𝑞 ⋅ 𝐴𝐴 cu 𝑝𝑝, 𝑞𝑞 ∈ ℝ este:
a. 𝑆𝑆 = 4
b. 𝑆𝑆 = 0Subiect și barem · pagina 34
34 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ c. 𝑆𝑆 = −1 d. 𝑆𝑆 = 2 e. 𝑆𝑆 = 5 6. (10p) Fie sistemul liniar � 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧 = 2 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 = 1 (2𝑎𝑎 − 1)𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 𝑏𝑏 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ. Sistemul este incompatibil pentru: a. 𝑎𝑎 = 2, 𝑏𝑏 ≠ 2 b. 𝑎𝑎 = 1, 𝑏𝑏 ≠ 3 c. 𝑎𝑎 = 3, 𝑏𝑏 ≠ 3 d. 𝑎𝑎 = −3, 𝑏𝑏 ≠ 3 e. 𝑎𝑎 = 2, 𝑏𝑏 ≠ −3 7. (10p) Dacă L=lim 𝑥𝑥→0 ∫ arctg(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑥𝑥 0 2𝑥𝑥 2 , atunci: a. L=0,25 b. L=1 c. L= 0 d. L=0,75 e. L=0,5 8. (5p) Fie funcția 𝑓𝑓 :(0, ∞) → ℝ, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � 𝑙𝑙𝑙𝑙 3 𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 ∈ (0, 𝑑𝑑] 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏, 𝑥𝑥 ∈ (𝑑𝑑, ∞). Valorile lui a și b pentru care f este derivabilă pe (0, ∞) sunt: a. 𝑎𝑎 = 3 𝑒𝑒 , 𝑏𝑏 = 2 b. 𝑎𝑎 = − 3 𝑒𝑒 , 𝑏𝑏 = 2 c. 𝑎𝑎 = − 3 𝑒𝑒 , 𝑏𝑏 = −2 d. 𝑎𝑎 = 3 𝑒𝑒 , 𝑏𝑏 = −2 e. 𝑎𝑎 = 3 𝑒𝑒 , 𝑏𝑏 = 3 9. (10p) Fie 𝐿𝐿 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚 𝑛𝑛→∞ 1 2√𝑛𝑛 ∫ 𝑙𝑙𝑙𝑙 �1 + 1 √𝑥𝑥 � 𝑛𝑛 1 𝑑𝑑𝑥𝑥, 𝑙𝑙 ≥ 2. Este adevărat că: a. L=0,5 b. L=2 c. L= 0 d. L=∞ e. L=1 10. (10p) Dacă 𝐴𝐴 = ∫ 𝑥𝑥 2 +𝑥𝑥+2 𝑥𝑥−1 𝑑𝑑𝑥𝑥 3 2 atunci:
Subiect și barem · pagina 35
35 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ a. 𝐴𝐴 = 1 2 + 𝑙𝑙𝑙𝑙 2 b. 𝐴𝐴 = 9 2 + 4 𝑙𝑙𝑙𝑙 2 c.𝐴𝐴 = 7 2 + 3 𝑙𝑙𝑙𝑙 2 d. 𝐴𝐴 = 2 𝑙𝑙𝑙𝑙 2 e. 𝐴𝐴 = 1 + 𝑙𝑙𝑙𝑙 2
Subiect și barem · pagina 36
36 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
MULTIPLE-CHOICE TEST 8
in MATHEMATICS
1. (10p) The sum of the squares of the roots of the equation (𝑥𝑥 + 3)3 − (𝑥𝑥 + 1)3 = 56
is:
a. 26
b. 19
c. 3
d. 24
e. 18
2. (10p) Let 𝑓𝑓 : ℝ → ℝ, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 be a quadratic function whose graph has
the vertex 𝑉𝑉(1,2) and an 𝑥𝑥-intercept of the graph is the point 𝐴𝐴(0, −2). Then 𝑆𝑆 =
𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 − 𝑐𝑐 is:
b. S= −2
c. S= −4
d. S= 6
e. S= 8
f. S= 10
3. (10p) Consider 𝐴𝐴 = {𝑥𝑥 ∈ (0, ∞)|2 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑔𝑔3
2(5𝑥𝑥) − 7 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑔𝑔3(15𝑥𝑥) + 7 = 0}. Then:
a. 𝐴𝐴 ⊂ �
1
2 , 10�
b. 𝐴𝐴 ⊂ (1
8 , 9)
c. 𝐴𝐴 ⊂ [1
6 , 10�
d. 𝐴𝐴 ⊂ �
1
5 , 9�
e. |𝐴𝐴| = 1
4. (5p) Let 𝑎𝑎1 be the first term and 𝑟𝑟 be the ratio of an arithmetic progression (𝑎𝑎𝑛𝑛)𝑛𝑛≥1
whose terms verify the conditions 𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎6 + 𝑎𝑎4 = −7 and 𝑎𝑎8 − 𝑎𝑎7 − 2𝑎𝑎4 = 0. Then
𝑆𝑆 = 𝑎𝑎1 + 3𝑟𝑟 is:
a. 𝑆𝑆 = 1
b. 𝑆𝑆 = −1
c. 𝑆𝑆 = 2
d. 𝑆𝑆 = −5
e. 𝑆𝑆 = 3
5. (10p) Let 𝐴𝐴 = �
1 0 1
0 1 0
1 0 1
�. Let 𝑆𝑆 = 𝑝𝑝 − 𝑞𝑞, where 𝑝𝑝, 𝑞𝑞 ∈ ℝ verify the condition
𝐴𝐴3 = 𝑝𝑝 ⋅ 𝐴𝐴2 + 𝑞𝑞 ⋅ 𝐴𝐴. Then:Subiect și barem · pagina 37
37 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ a. 𝑆𝑆 = 4 b. 𝑆𝑆 = 0 c. 𝑆𝑆 = −1 d. 𝑆𝑆 = 2 e. 𝑆𝑆 = 5 6. (10p) Consider the linear system � 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧 = 2 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 = 1 (2𝑎𝑎 − 1)𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 𝑏𝑏 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ. The system is inconsistent for: a. 𝑎𝑎 = 2, 𝑏𝑏 ≠ 2 b. 𝑎𝑎 = 1, 𝑏𝑏 ≠ 3 c. 𝑎𝑎 = 3, 𝑏𝑏 ≠ 3 d. 𝑎𝑎 = −3, 𝑏𝑏 ≠ 3 e. 𝑎𝑎 = 2, 𝑏𝑏 ≠ −3 7. (10p) Let L=lim 𝑥𝑥→0 ∫ arctg(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑥𝑥 0 2𝑥𝑥 2 . Then: a. L=0,25 b. L=1 c. L= 0 d. L=0,75 e. L=0,5 8. (5p) If the function 𝑓𝑓 :(0, ∞) → ℝ, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � ln3 𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 ∈ (0, 𝑑𝑑] 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏, 𝑥𝑥 ∈ (𝑑𝑑, ∞) is differentiable on (0, ∞), then the values of the parameters a and b are: a. 𝑎𝑎 = 3 𝑒𝑒 , 𝑏𝑏 = 2 b. 𝑎𝑎 = − 3 𝑒𝑒 , 𝑏𝑏 = 2 c. 𝑎𝑎 = − 3 𝑒𝑒 , 𝑏𝑏 = −2 d. 𝑎𝑎 = 3 𝑒𝑒 , 𝑏𝑏 = −2 e. 𝑎𝑎 = 3 𝑒𝑒 , 𝑏𝑏 = 3 9. (10p) Let 𝐿𝐿 = lim 𝑛𝑛→∞ 1 2√𝑛𝑛 ∫ 𝑙𝑙𝑙𝑙 �1 + 1 √𝑥𝑥 � 𝑛𝑛 1 𝑑𝑑𝑥𝑥, 𝑙𝑙 ≥ 2. It is true that: a. L=0,5 b. L=2 c. L= 0 d. L=∞ e. L=1
Subiect și barem · pagina 38
38 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ 10. (10p) If 𝐴𝐴 = ∫ │ 𝑥𝑥 2 +𝑥𝑥+2 𝑥𝑥−1 │𝑑𝑑𝑥𝑥 3 2 then: a. 𝐴𝐴 = 1 2 + 𝑙𝑙𝑙𝑙 2 b. 𝐴𝐴 = 9 2 + 4 𝑙𝑙𝑙𝑙 2 c. 𝐴𝐴 = 7 2 + 3 𝑙𝑙𝑙𝑙 2 d. 𝐴𝐴 = 2 𝑙𝑙𝑙𝑙 2 e. 𝐴𝐴 = 1 + 𝑙𝑙𝑙𝑙 2
Subiect și barem · pagina 39
39 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
TEST-GRILĂ 9
La disciplina: MATEMATICĂ
1. (5p) Dacă m este numărul de elemente al mulţimii
{ },1| 3
96
2
2 =∈= −
+−
n
nn
CnM N
atunci:
a. 3=m
b. 0=m
c. 1=m
d. 2=m
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
2. (5p) Fie n numărul de elemente al mulţimii
{ } ( ) ,42
1
4
1|1\
2
−≤
−
−
+−∈= x
x
x
xRxM
atunci:
a. 1=n
b. 4=n
c. 3=n
d. 2=n
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
3. (10p) Dacă
{ }243| 231 22
=+∈= +−− xxx
RxA
iar S este suma pătratelor elementelor mulţimii A , atunci:
a. 1=S
b. 5=S
c. 0=S
d. 4=S
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
4. (10p) Se consideră matricea ( ) ( )RMaA jiij 33,1, ∈= = definită prin
−
=
011
100
011
A
şi
,3,2,1max
3
1
== ∑=
jmT ij
i
unde ijm este minorul asociat elementului ija al matricei A , pentru 1≤I,j≤3. Atunci:
a. ( )3,−∞−∈TSubiect și barem · pagina 40
40 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ b. [ ]27,3−∈T c. ( )57,27∈T d. [ )+∞∈ ,57T e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă 5. (10p) Câte din următoarele afirmaţii: afirmația 1: ( )RMCBA 2,, ∈∀ , ( ) ( ) ( ) ( );detdetdetdet CBAABC = afirmaţia 2: ( )RMCBA 2,, ∈∀ , ( ) ;1111 −−−− = CBAABC afirmaţia 3: ( )RMCBA 2,, ∈∀ , ( ) ;TTTT CBAABC = sunt adevărate? (Am notat cu T A (respectiv 1− A ) transpusa (respectiv inversa) matricei A ). a. o singură afirmaţie b. două afirmaţii c. trei afirmaţii d. nici o afirmaţie e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă 6. (10p) Fie şirul cu termenul general .1,...21 ≥+++= kka k Dacă ( ) k n k n a k s ⋅ + = ∑= 2 1 ln 2 1 atunci n n sS ∞→ = lim este: a. 1=S b. 2 1 =S c. 0=S d. 3 1 =S e. ∞=S 7. (10p) Fie funcţia ( ) ( ) ( ] ( ) ( ] ( ) ( ) , 2,1dacă,ln3 1,0dacă, 0,1dacă,1 ,2,1: 21 1ln 2 ∈+− ∈⋅ −∈ =→− −+ + xb xa x xff x x x x R unde R∈ba, . Dacă f este continuă pentru ( )2,1− , atunci 2+a b este: a. 125 b. 27 c. 144 d. 64 e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
Subiect și barem · pagina 41
41 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
8. (10p) Fie A mulţimea punctelor în care
( ) { }8,42max,: 22 +−−−=→ xxxxff RR
nu este derivabilă. Dacă ( )xf s
′ (respectiv ( )xf d
′ ) este derivata la stânga (respectiv la
dreapta) în punctul Ax ∈ iar ( ) ( )( )xfxfT ds
Ax
′′
∈
⋅∑= atunci:
a. 48−=T
b. 5−=T
c. 0=T
d. 5=T
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
9. (10p) Fie Rcba ∈,, . Dacă funcţia
( ) ( ) abcxbcxabaxxfRRf +++++++=→ 121222)(,: 23
este o primitivă a funcţiei
,123)(,: 2 ++=→ xxxgRRg
atunci valoarea expresiei 222 8cbaS ++= este:
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
10. (10p) Dacă ( ) dxxxxI 1235
3
0
++∫= atunci:
a. 35
836
=I
b. 35
106
=I
c. 35
586
=I
d. 35
418
=I
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectăSubiect și barem · pagina 42
42 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
TEST-GRILĂ 10
La disciplina: MATEMATICĂ
1. (5p) Dacă M este mulţimea valorilor funcţiei
{ } ( ) ,
1
2
,1\: −
=→ x
x
xfRf R
atunci:
a. { } RM =∪ 2,1
b. RM =
c. ZZM =∩
d. NM ⊇
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
2. (5p) Fie ( ) ( )RMaA jiij 33,1, ∈= = definită prin
−
−
=
231
111
121
A
şi ijc complementul algebric al elementului ija al matricei A . Dacă
== −
=
∑ 3,2,1,max 1
3
1
jicT ij
j
atunci:
a. ( )2
1
, −
∞−∈T
b. [ )4
1
2
1 ,−
∈T
c. [ )2
1
4
1 ,∈T
d. [ )+∞∈ ,2
1
T
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
3. (10p) Dacă
( ) ( )RM
xa
xa
A 2
3
882 ∈
−
−+−
=
este inversabilă pentru orice R∈x atunci:
a. ( )∞∈ ,4a
b. ( )1,∞−∈a
c. ( )4,1∈a
d. ( ) ( )∞∪∞−∈ ,41,a
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă.
4. (10p) Câte din următoarele afirmaţii:
afirmaţia 1: ( )RMBA 2, ∈∀ , ;BAAB =Subiect și barem · pagina 43
43 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
afirmaţia 2: ( )RMU 2∈∃ , ( )RMA 2∈∀ , ;AUAAU ==
afirmaţia 3: ( )RMA 2∈∀ , ( )RMB 2∈∃ , UBAAB == , unde ( )RMU 2∈ este
matricea din afirmaţia 2;
sunt adevărate:
a. o afirmaţie
b. două afirmaţii
c. trei afirmaţii
d. nici o afirmaţie
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
5. (10p) Dacă ( )RMA 2
20
01 ∈
= şi k
k
AB 2024
1=
∑= atunci:
a. ( )
−
= 1220
02024
2024
B
b.
= 2024
20
01
B
c.
= 40480
02024
B
d.
= 20240
02024
B
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
6. (10p) Dacă
( )[ ]
( )[ ]xxx
xxx
x
l 2ln21ln2ln
3ln31ln3ln
lim −+⋅
−+⋅
= ∞→
atunci:
a. 2
3
ln=l
b. 2ln
3ln
=l
c. 2ln
3
=l
d. 1=l
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă.
7. (10p) Fie RR →:f definită prin mx
mxf e)( = , unde ∗
∈ Rm . Dacă
{ }RR ∈∀=−′+′′∈= ∗ xxfxfxfmA ,0)(8)(2)(|
şi
,2
mS Am
∑∈
=
atunci:Subiect și barem · pagina 44
44 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ a. 20=S b. 12=S c. 6=S d. 2=S e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă 8. (10p) Fie funcţia ( ) Rf →− 1,1: , |)|1ln()( xxf −= . Dacă n este numărul punctelor de extrem local ale lui f , atunci: a. 0=n b. 2=n c. 3=n d. 1=n e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă 9. (10p) Dacă RR →:f este definită prin 62)( −= xxf atunci mulţimea primitivelor funcţiei f este: a. , 3,186 3,6 )( 2 2 >++− ≤++− = xCxx xCxx xF R∈C b. , 3,186 3,6 )( 2 2 <++− ≥++− = xCxx xCxx xF R∈C c. , 3,186 3,6 )( 2 2 >+++− ≤+− = xCxx xCxx xF R∈C d. , 3,186 3,6 )( 2 2 >−+− ≤++− = xCxx xCxx xF R∈C e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă 10. (10p) Dacă dxexI x2 2025 1 1 − − ∫= atunci: a. 2024 2−=I b. 2024 2=I c. 1=I d. 0=I e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
Subiect și barem · pagina 45
45 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
TEST-GRILĂ 11
La disciplina: MATEMATICĂ
1. (5p) Dacă 5ln=a , 2ln+= ab şi 8log 30=T , atunci:
a. ( )
ab
ab
T +
−
= 2
3
b. ( )
ab
ab
T −
+
= 2
3
c. ( )
ab
ab
T +
+
= 2
3
d. ( )
ab
ab
T −
−
= 2
3
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă.
2. (5p) Dacă
{ }2
5
3
7 3| x
x
x ACNxM −
−
− =∈=
atunci:
a. M=Ø
b. ( ]5,2⊂M
c. ( ]10,5⊂M
d. [ ]2,0⊂M
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
3. (10p) Se consideră matricea
−
= 10
21
A . Atunci n
A , ∗
∈ Nn este:
a. ( ) ( )
−−−
10
111 nn
b. ( )
−
10
01 n
c.
−
10
21
d.
10
01
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
4. (10p) Fie
( ) ( ).
100
010
01
3 RMA ∈
=
ω
ω
Dacă Rm ∈ este valoarea pentru careSubiect și barem · pagina 46
46 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
( ) ( ) ( )( ),202421
2024
1
2
1
2 AAA
m
A
m
A +++=
+
atunci:
a. ( ]500,0∈m
b. ( ]1012,500∈m
c. ( ]2012,1012∈m
d. 2013≥m
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă.
5. (10p) Dacă
( ),,0,unde
)1(ln
lim
0
∞∈
+−
= →
qp
qx
xx
l p
pp
x
atunci ll qp + este:
a. 2
b. 0
c. 5
d. 1
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă.
6. (10p) Dacă RR →:f este definită prin ( ) 3 2
35 xxxf −= iar
( ) [ ){ },,1|max ∞−∈= xxfM
atunci:
a. 0=M
b. 3 3=M
c. 3 2=M
d. 1=M
e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
7. (10p) Fie nm +=
β . Dacă m este numărul asimptotelor verticale ale lui
R→±= }1{\: RDf definită prin
1
)( 4 −
= x
x
xf
iar n este numărul asimptotelor orizontale ale sale, atunci:
a. 1=
β
b. 2=
β
c. 3=
β
d. 0=
β
8. (10p) Fie ∗
∈ Ra , R∈b şi a
b
r = . Dacă graficul funcţieiSubiect și barem · pagina 47
47 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ , 1 )(,\: bax x xf a b f + + =→ − RR trece prin punctul ( )1,1M în care tangenta la graficul funcţiei f are panta egală cu 1, atunci: a. 1=r b. 1−=r c. 2−=r d. 3−=r e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă 9. (10p) Dacă ( ) ( ) ySyy x dx yA Ay y ∑∫ ∈ = += + ∞∈= şi2ln 1 |,0 2 0 atunci: a. 1=S b. 2=S c. 3=S d. 4=S e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă. 10. (10p) Dacă ( )( ) dx xx I 21 1 2 4 3 −− = ∫ atunci: a. 5ln3ln2ln 6 1 2 1 2 1 ++=I b. 5ln3ln2ln 6 1 2 1 2 1 +−=I c. 5ln3ln2ln 6 1 2 1 2 1 −−=I d. 5ln3ln2ln 6 1 2 1 2 1 −+=I e. niciuna dintre variantele de răspuns de mai sus nu este corectă
Subiect și barem · pagina 48
48 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ Model Grilă de Verificare Test Grilă nr. _________ Cod Grilă Nr. A B C D E 1 2 3 4 5 6 O O O O O O Disciplină 1 O O O O O O Matematică (în limba română) 2 O O O O O O Matematică (în limba engleză) 3 O O O O O O Limba română+economie 4 O O O O O 5 O O O O O 6 O O O O O 7 O O O O O 8 O O O O O 9 O O O O O 10 O O O O O
Subiect și barem · pagina 49
49 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ RĂSPUNSURI ȘI REZOLVĂRI MODELE DE TESTE PENTRU ADMITERE
Subiect și barem · pagina 50
50 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ Răspunsuri Teste - Grilă Test-Grilă 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Problema 1 c e c d c d a a c a d Problema 2 d b c a d a a c a d d Problema 3 a a e c c e a c a d a Problema 4 d a d e c b a a b a b Problema 5 e d c d d b a e a a a Problema 6 e a b e b c a c e b c Problema 7 b b a a c d a a b a c Problema 8 c d d d c c a d a d d Problema 9 b c b b c a a e a a a Problema 10 d a a a d b a b d d b Precizări: Fiecare test are o durată de două ore și jumătate. Testul grilă include 10 întrebări, fiecare întrebare are cinci variante de răspuns, doar una dintre acestea este corectă. Punctajul total aferent întrebărilor este de 90 de puncte, la care se adaugă 10 puncte din oficiu. Punctajul general (PG) se calculează prin însumarea punctajului obținut de candidat (P) aferent întrebărilor, la care se adaugă cele 10 puncte din oficiu, suma rezultată se împarte la 10. Calculul punctajului și transformarea lui în medie se face astfel: i. PG maxim este 100, P maxim este 90, la care se adaugă 10 puncte din oficiu; ii. ME=PG/10
Subiect și barem · pagina 51
51 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ Rezolvare Test-Grilă 1 1. Sistemele sunt de tip omogen pentru care trebuie să existe în acord cu ipoteza " R∈zyx ,, nu toţi nuli" şi alte soluţii diferite de soluţia banală 0=== zyx . Astfel, discuţia se reduce la studiul rangului matricei primului sistem omogen + − = 11 13 312 1 α α βA şi a celui de-al doilea sistem omogen . 13 112 312 2 − = β A Observăm că 22 =rangA dacă .20840 13 112 312 =⇔=−⇔= − β β β Revenind la primul sistem, se observă că 21 ≥rangA deoarece 5 13 12 2 = − =M este un minor de ordinul doi nenul. Ca atare pentru ca rangul matricei primului sistem să fie mai mic strict decât numărul de necunoscute este necesar ca α α α 10 11 213 312 = + − să fie nul. De unde 2= β şi ,0= α demonstrează că răspunsul corect este c. 2. Observăm că 2 2 2 1 21 2121 1 2 xx xx xxxx A −−= + + = iar AAT = de unde ( ) ( ) ( ) +− +− +− =− 2121 21 2 2 2 1 1 2 11 xxxx xx xx A fapt ce atrage răspuns corect d.
Subiect și barem · pagina 52
52 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ 3. Se observă că 1 1 1 + + ≤≤ + n n a n n n de unde răspunsul corect este a . 4. Rescriem +++= − +++= + n n n nS 5 4 .... 5 4 1 5 1 5 )2( .... 5 4 5 1 1 2 2 şi observăm că termenii n 5 4 ,...., 5 4 ,1 formează o progresie geometrică de raţie . 5 4 Atunci ( ) 1 1 1 5 1 limiar 1 1 5 1 5 4 5 4 1 5 4 = − = − − = ∞→ + n n n n SS de unde răspunsul corect este d. 5. Folosind formula de derivare a produsului funcţiilor 2 x e şi ( )2 1+x obţinem ( ) ( ) ( ) ( ) xxgexxxexf xx 2,1212 22 2 =′+++=′ de unde ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]44 12122 2222 xx exxexxxgxgfxF +++=′′=′ iar răspunsul corect este e. 6. Se observă că, ecuaţia ( ) 0=′ xf are soluţiile 1=x şi 2=x . Pe de altă parte ( ) xxf 23 −=′′ implică ( ) ( ) 012232 011231 <−=⋅−=′′ >=⋅−=′′ f f de unde concluzia că e. este adevărat. 7. Observăm că ( ) ( )[ ]1 0 221 0 541 ++−=+ −− ∫ xxedxxe xx sau
Subiect și barem · pagina 53
53 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ ( ) ( ) ( )212 2 1 21 2 1 1 21 0 1051 −−−−− =+ − −===+ ∫∫∫ eeedtteedttedxxe tt tx x de unde răspunsul corect este b. 8. Răspuns corect c.Vârful parabolei este ( )aa b V 42 , ∆ −− . Ipoteza se reduce la determinarea lui m din sistemul =− −= − − 0 1 4 44 2 2 m m m cu soluţia 1=m . 9. Pentru a forma numere de 6 cifre distincte, utilizăm aranjamente. Relația generală de calcul pentru aranjamente este: 𝐴𝐴 𝑛𝑛 𝑘𝑘 = 𝑙𝑙! (𝑙𝑙 − 𝑘𝑘)! unde: - n reprezintă numărul total de cifre (9 în cazul nostru, deoarece avem 9 cifre distincte). - k reprezintă numărul de cifre pe care dorim să le folosim (6 în cazul nostru). Deci, se pot forma 6 9A numere de 6 cifre distincte folosind cifrele de la 1 la 9. Răspuns corect b. 10. Răspuns corect d. Se observă că ( ) 12 1 1 1 1 1 1 1 1 −= −− − −+ = −+ − −− = x xxxx xxxx xE iar ( ) 2=xE are soluţia 2=x .
Subiect și barem · pagina 54
54 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ Rezolvare Test-Grilă 2 1. Răspunsul corect este e. Într-adevăr, sistemele sunt de tip neomogen care în acord cu cerinţa trebuie să fie incompatibile simultan. Se cunoaşte din teorema lui Kronecker-- Capelli că un sistem de ecuaţii liniare este compatibil dacă şi numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse a sistemului. Notăm prin −= 213 11 322 1 βA matricea primului sistem iar prin + −= 113 11 22 2 α α β A matricea celui de-al doilea sistem. Analog, notăm prin −= 1213 011 0322 1 βA matricea extinsă a primului sistem iar prin + −= 1113 011 022 2 α α β A matricea extinsă a celui de-al doilea sistem. Se observă că 21 ≥rangA deoarece 4 13 11 2 −= − =A M este un minor de ordinul doi nenul iar 31 =Arang deoarece .4 113 011 022 1 2 =−=A M Analog 32 =Arang . Astfel că, primul sistem este incompatibil dacă şi numai dacă ArangrangA ≠ condiţie ce impune ca minorii principali .1044 213 11 322 1 32 =⇒=−=−= β β βA M Analog, pentru 1= β punem condiţia
Subiect și barem · pagina 55
55 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ α α α 8 113 11 122 2 31 = + −=A M să fie zero. De unde 1= β şi 0= α demonstrează că răspunsul corect este e. 2. Se observă că ( ) ( ) ( ) ( ) +−−− −−+− = nnnn nnnn n A 3113 1331 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 de unde răspunsul corect este b. 3. ( ) ( )XQXP = pentru orice 𝑋𝑋 ∈ 𝑅𝑅 dacă 2=n şi .1,2,3 1 1 1 =−==⇒ = −=+ =+ cba c cb ba Reciproc este evident adevărat. Răspuns corect a. 4. Observăm că ( ) ( ) +− + = + + impar1 par1 1 1 1 1 2 2 2 2 nadac nadac a n nn n n nn n n de unde se observă că subşirul numerelor pare converge la e iar subşirul numerelor impare converge la e− , concluzionând a. este răspunsul căutat. 5. Într-adevăr, se observă că ( ) [ ) ( ) ∞−∈− ∞∈ = 1,dacă1 ,1dacă1 x x xf de unde concluzia că f nu este continuă în 1=x , implicând răspuns corect d. 6. Răspunsul este în mod evident a. Reprezentând cercul de centru 0 şi rază 2 , notat ( )2,0C , într-un sistem de axe xOy se obţine porţiunea din cerc pentru care 0≥y . 7. Prin înmulţire relației cu x e 2− obţinem ( )[ ] 3'2 =− x exf care prin integrare, dă ( ) ( )cxexf x += 32 . Folosind ( ) 00 =f se obţine 0=c . Am demonstrat că ( ) x xexf 2 3= este funcția căutată, fapt ce atrage b. răspuns corect. 8. Metoda 1. Se observă că
Subiect și barem · pagina 56
56 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ [ ],1,0oricepentru, 11 şi1 22 ∈≤ + ≤ + < − x nnxnx n e n x de unde . 11 22 n e nx n x ≤ + − Atunci 2 1 022 1 0 111 0 n dx n dxe nx a n x n =≤ + =≤ ∫∫ − şi concluzia că 0lim = ∞→ n n a din lema cleştelui. Metoda 2. Se observă că [ ] [ ) ( ) n x e nx xff − + =∞→ 2 1 ,,01,0: este o funcţie descrescătoare. Deci ( ) ( ) ( ) . 1 00 2 1 0 1 0 n fdxfdxxf ==≤ ∫∫ Am demonstrat că răspunsul corect este d. 9. Se observă că ( ) ( ) ( )1lg 1lg lg1lg 52 5 7 22 22 22 5 2lg 2 12lg 221 221 22 !2!5 !7 22 + + + ⋅= ⋅= = + xx xx xx x x C de unde ecuaţia dată este echivalentă cu( ) 2lg1lg 221221 22 ⋅=⋅ +xx . Se obține ( ) 2122 =+xx ecuaţie cu soluţiile reale 1,1 21 =−= xx ce verifică condiţia de existenţă a logaritmului. Răspuns corect c. 10. Răspuns corect a. Una din ecuaţii se obţine din cealălaltă prin multiplicarea cu un parametru, în cazul nostru cu -1.
Subiect și barem · pagina 57
57 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
Rezolvare Test-Grilă 3
1. Răspuns corect c. Numărul total de meciuri jucate între ei poate fi calculat folosind
combinările de 9 luate câte 2 (deoarece fiecare meci implică două persoane).
2. Răspuns corect c. Soluția ecuației este x=5.
3. Răspuns corect e. Sistemul are soluţiile
+−=++−=
++=+++=
54
2
1
2
3
,
2
9
54
2
3
2
3
54
2
1
,
2
9
54
2
3
mymmx
mymmx
de unde 1=m îndeplineşte ipotezele.
4. Răspuns corect d. Observăm că
( ) }.1{\}01{ 2 −=>+∈= RR xxA
5. Inecuația se rescrie
33 22 2 −− ≤x
de unde c. este răspunsul corect.
6. Răspuns corect b. Observăm că termenii din şir formează o progresie aritmetică cu
raţia 6 . Uzând de formula
( )( )61182
2 ⋅−+⋅= n
n
S n
şi punând condiţia
( )[ ] 79861182
2 =⋅−+⋅⋅ n
n
se obţine concluzia că exact 14 termeni din şir trebuie aleşi. Numărul, este maxim
deoarece se începe de la primul termen.
7. Răspuns corect a. Vârful parabolei este ( )aa
b
V 42 , ∆
−− . Ipoteza se reduce la
determinarea p , R∈q din sistemul
−=−
=−
+ 3
3
4
436
2
q
p
ce implică soluţia
.6−== qp
8. Este evident căSubiect și barem · pagina 58
58 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ λ λ λ λλ λ 86 321 00 123 23 −+−= − − − de unde 086 23 =−+− λ λ λ are rădăcinile 21 = λ , 02 = λ , 43 = λ care probează răspuns corect d. 9. Fie ( ) [ ] ( ) [ ].,,, 11 XdcXXQXbaXXP RRR ∈+=∈+=∈ β α Observăm că ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dbXca dcXbaX dcXbaXXQXP β α β α β β α α β α β α +++= +++= +++=+ de unde concluzia că propoziţia este una adevărată în sens b. 10. Observăm că ( ) ( ) ( ) ),,0[0273012231 234 3 ' 3 273 3222 2 ∞∈∀<++++−= − + − + + − xxxxxe x ex x x x adică funcția derivată este strict descrescătoare. Calculul limitelor la capetele intervalului (0, ∞) atrag răspuns corect a.
Subiect și barem · pagina 59
59 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
Rezolvare Test-Grilă 4
1. Deoarece A={1,2,3,4} este evident că răspunsul corect este d.
2. Răspuns corect a. La punctul b. numărul 4 are două valori din imagine fapt ce
contravine definiţiei funcţiei. La punctul c. numărul 1 nu are corespondent în imagine,
deci contravine definiţiei funcţiei. La punctul d. numărul 2 are două valori din imagine fapt
ce contravine definiţiei funcţiei. Definiţia funcţiei atrage răspuns corect a.
3. Răspuns corect c. Observăm că
( ) ( )2ln 1−= x
exf
de unde 01ln =−x
e implică 0ln =x cu soluţia 1=x .
4. Rescriem sistemul de inecuaţii
≤≤
+≤≤−
+≤−≤−
+≤−≤−
10
1.011.0
5.015.0
4.014.0
x
x
x
x
sau, echivalent
≤≤
≤≤−
≤≤−
≤≤−
10
1.11.0
5.05.1
4.04.1
x
x
x
x
de unde concluzia că [ ]4.0,0∈x . Răspuns corect e.
5. Răspuns corect d. Ecuaţia se rescrie 22 186 xxx =+−
cu soluţia 3=x . Pentru 3=x în mod evident 01862 >+− xx .
6. Observăm că determinatul se poate dezvolta după linia doi
( ) 44
124
131
113
=−−=−=D
de unde concluzia că e. este răspunsul corect.
7. Folosim succesiv formula ( )RMAAAAAA nkjkjkj ∈= ,oricepentru , suma lui Gauss
( )
2
1
...321 +
=++++ nn
n şi nn ⋅⋅⋅⋅= ...321!Subiect și barem · pagina 60
60 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
de unde concluzia că a. este răspunsul corect.
8. Răspuns corect d. Ecuaţia se rescrie
066 =++− xx
ce are soluţia 3=x .
9. Rescriem na astfel
2
1
ln
1
...
3
4
2
3
ln
1
ln...
3
4
ln
2
3
ln
+
=
+
⋅⋅⋅=
+
+++=
n
n
n
n
n
a n
şi concluzia că ∞=
∞→ n
n
alim respectiv { } ∗
∈Nnna este monoton crescător. Răspuns corect
b.
10. Pentru ( ) baXXP += integrala de calculat devine
( )( ) ( ) badtabatXPf +−=−+= ∫ 2
11
0
iar ecuaţia de rezolvat atrage două cazuri ,2sau
2
1 baab == de unde concluzia că a
este răspunsul corect.Subiect și barem · pagina 61
61 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ Rezolvare Test-Grilă 5 1. Folosind formula ( ) 2 1 naa S n n ⋅+ = din relaţia ( ) ( ) 2 13 4 2 26 131261 ⋅+ = ⋅+ aaaa se deduce ( ).2 131261 aaaa +=+ Folosind formula ( ) 1,11 ≥/⋅−+= nrnaa n în relaţia anterioară, obţinem ( )raaraa ⋅+⋅+⋅=⋅++ 122225 1111 de unde .2 1ar ⋅= În final 5 6 225071 2005212007 22507 200522007 2507 20052007 11 111 1 11 = ⋅+ ⋅++ = ⋅⋅+ ⋅⋅++⋅ = ⋅+ ⋅++⋅ = aa aaa ra raa T atrage răspuns corect c. 2. Rescriem sistemul ( ) =++ =− 5 1 2 xyyx yx iar din prima ecuaţie distingem: cazul 1: 11 +=⇒=− yxyx valoare care înlocuită în ecuaţia 2 a sistemului 0435)1(1 2 =−+⇔=⋅++++ yyyyyy obţinând soluţiile ( ) ( ) ( ) ( )4,3,,1,2, −−== yxyx
Subiect și barem · pagina 62
62 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ cazul 2: 1−= yx valoare care înlocuită în ecuaţia 2 a sistemului 515)1(1 2 =−+⇔=⋅−++− yyyyyy obţinând soluţiile ( ) ( ) ( ) ( )3,4,,2,1, −−== yxyx Răspunsul problemei este 87373 −=−+−=S adică d. 3. Punem condiţia 01 ≥−x şi rescriem ecuaţia sub forma ( ) ( ) 42121 22 =+−+−− xax de unde ( ) .42121 =+−+−− xax Distingem: cazul 1: 521 ≤⇒≤− xx iar în final [ ]5,1∈x . În acest caz, ecuaţia devine ( ) ( ) 42112 =+−+−− xax de unde ( ) 12121 =⇒+−=+− axxa şi orice [ ]5,1∈x verifică, deci nu convine cazul. cazul 2: 521 ≥⇒≥− xx iar în final [ )∞∈ ,5x . În acest caz, ecuaţia devine ( ) 42121 =+−+−− xax de unde ( ) 12611 −≠⇒−=−+ aaxa situaţie în care . 1 26 1 + − =− a a x Trebuie ca ( ]3,10 1 26 −∈⇒≥ + − a a a iar [ )∞∈+ + − = ,5cu1 1 26 2 x a a x atrag
Subiect și barem · pagina 63
63 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ ( ] ( ).1,1,151 1 26 2 −∞−∪−∈⇒≥+ + − a a a Recapitulând, a≠1 din cazul 1 iar ( ] ( ] ( )1,1,1şi3,1 −∞−∪−∈−∈ aa din cazul 2, obţinem că pentru orice ( )1,1−∈a ecuaţia dată are unica soluţie 1 1 26 2 + + − = a a x de unde răspunsul corect este c. 4. Ecuaţia x xxx 1 ln 4ln 1 loglog 2 22 =+⋅ se rescrie ( )x xx x ln1ln 4ln 1 2ln ln 2ln ln 2 −⋅= +⋅ de unde .0 2ln ln 2ln2 ln 2ln ln 2 = + ⋅ +⋅ xxx x În final 0 2ln ln 2 1 2ln ln = ++ x x x de unde ,10 2ln ln =⇒= x x iar caz în care am folosit 2ln ln x este strict crescătoare pentru ( )∞∈ ,0x . Numărul de soluţii al ecuaţiei date fiind 2 răspunsul corect este c. 5. Se observă că − − = = 20232023 20232023 2024 20232023 20232023 2024 22 22 şi 22 22 BA de unde =+ 2024 2024 20242024 20 02 BA iar ( ) 404820242024 2det =+ BA de unde răspunsul corect este d). 2 1 0 2ln ln 2 1 =⇒=++ x x x
Subiect și barem · pagina 64
64 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
6. Determinantul, det(A S ), al matricei sistemului este
( )
( ) ( ).122
11
11
111
2
11
11
222
11
11
11
2 +−+=
+=
+++
=
aaa
a
aa
a
a
aaa
a
a
a
Ecuaţia
( ) ( ) 0122 2 =+−+ aaa
are soluţiile 1, 1, -2. Cum doar în cazul a=-2 rangul matricei sistemului este 2 iar numărul
de necunoscute al sistemului este 3 deducem că sistemul este compatibil simplu
nedeterminat iar
2−=S
atrage răspuns corect b).
7. Observăm că
( ) 5,0
2
1
2
1
lim
12
10
lim 1
102 2
−=−=
−
+
=
−
+
−∞→−∞→ x
x
xx x
x
x
x
de unde c. este răspusul corect.
8. Observăm că
( )
( ) ( ) ( )
−∞=
+
∞=
+
==
+
=
>
+
=′
−>−<
−→−→
−∞→∞→∞→
1
lim,
1
lim
lim1
1
limlim
0
1
1
)(
11
11
1
2
x
x
x
x
xf
x
x
xf
x
xf
xx
xx
x
x
xx
de unde }1{\Im Rf = confirmă graficul funcţiei f
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
x
ySubiect și barem · pagina 65
65 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ răspuns corect c. 9. Observăm că ( ) ( ) ( ) ( ) RCCxedxexdxex xxx ∈++−=−+=+ −−− ∫∫ ,2'11 de unde 1−=a şi 2−=b atrag ( ) ( ) 521 22 =−+−=A de unde c) este răspunsul corect. 10. Observăm că ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 4 10 4 2 3 2 1 4 1 24 4 1 2 1 1221121212 2 2/1 22/1 0 2 2 2/1 2/1 0 2 2/1 2/1 0 2 0 ==−= −−−+−=−+−= −+−=−+−=−= ∫∫∫∫∫ xxxx dxxdxxdxxdxxdxxI de unde ( )4,22 5 ∈=I iar răspunsul corect este d.
Subiect și barem · pagina 66
66 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ Rezolvare Test-Grilă 6 1. Se ştie că 14.3,71.2,1ln,ln2ln,01ln ≅≅=<= πeee de unde răspunsul corect este d. 2. Valoarea lui x se determină din ecuaţia ( )( )xxx 275652 −+=+ cu soluţia 4 5 =x sau 2 1 −=x . Pentru că progresia este de termeni numere naturale se observă că doar 2 1 −=x convine, caz în care primii trei termeni sunt 8 2 1 2727 45 2 1 252 25 2 1 656 = −⋅−=− =+ −⋅=+ =+ −⋅=+ x x x deci progresia este de raţie 2 iar ( )122 12 12 2 100 100 100 −⋅= − − ⋅=S de unde răspunsul corect este a . 3. Cifra unităţilor se poate alege în trei moduri. Pentru fiecare alegere a cifrei unităţilor cifra zecilor se poate alege în patru moduri, deci se pot forma 1243 =⋅ numere. Răspuns corect e. 4. Rescriem ( )[ ] ( ) 3282 2 3 2 3 4log14log =−+− xxxx sub forma ( ) ( ) 54log314log 22 2 3 2 3 =−++− xxxx şi ajungem la rezolvarea ecuaţiei ( ) 514log4 2 3 =+− xx cu soluţiile 3=x sau 1=x care convin. Astfel, b. este răspunsul corect. 5. Aplicând inegalitatea mediilor [ )∞∈∀ + ≤⋅ ,0, 2 ba ba ba şi proprietatea ( ) BABA detdetdet ⋅=⋅
Subiect și barem · pagina 67
67 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ unde A , B sunt matrice pătratice se obţine că b. este răspunsul adevărat. 6. Răspuns corect c. Observăm că − ==⋅⋅= −−− 2 1 2 1 2 1 2 1 111 ABBAX unde am folosit faptul că − = − = − − 2 1 2 1 2 1 2 11 1 11 11 A . 7. Punctele de extrem se regăsesc printre punctele critice. Astfel, rezolvăm ( ) ( ) 0130 2 =+−⇔=′ xxf şi obţinem 1=x . Studiem dacă punctul 1=x este de minim/maxim local. Observăm că ( ) ( ) ( ) 0116 =′′⇒+−=′′ fxxf de unde concluzia că derivata de ordinul doi nu poate decide natura punctului. Deoarece ( ) ( ) ( )( )23 111 xxxxf +−+−=+−= se observă că ( ) ( ) 0oricepentru01 2 >>=+ ε εε εf şi ( ) ( ) 0oricepentru01 2 ><−−=− ε ε ε εf de unde concluzia că 1=x nu este punct de extrem local. Răspuns corect d. 8. Observăm că ( ) ( ) 0 0 2 ln2 lim2 ln2 lim2 ln2 2 lim 1 1 1 = ∞ ⋅= + = + ⋅ = + ⋅⋅ = − ∞→ −− ∞→ −− ∞→ x x ex x ex L x e x x x x x x de unde răspunsul corect este c. 9. Răspuns corect a.. Observăm că: ( ) ( ) ( ) 01ln2 2ln 2 2 1 <++ + −=′ − xxx x e x xf x pentru orice ( )∞∈ ,1x . Cum ( ) ( ) ( ) ,0limşi,10 =∞∈∀<′ ∞→ xfxxf x
Subiect și barem · pagina 68
68 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ deducem că există o unică soluţie în intervalul ( )∞,1 pentru ecuaţia ( ) 1=xf . Confirmă şi graficul funcţiei f : 10. Observăm că ( ) 0 ln2 2 ln2 2 1 11 1 ∞→+−+− → + ⋅ ≤ ⋅+ ⋅ = ∫∫ ne nnx e n dx n e dx xn e I şi ( ) ( ) ( )( ) dx xn e Idx xn e I xn e n nx e n ⋅++ ⋅ =≥ ⋅+ ⋅ = ++− + +− ∫∫ 1ln2 2 ln2 2 11 1 1 1 1 deoarece [ ) Rf →∞,1: definită prin ( ) ( ) t e tf t ln2 2 1 + ⋅ = −− este o funcţie descrescătoare. Astfel, răspunsul corect este b. 0 1 2 3 4 5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x y
Subiect și barem · pagina 69
69 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
Rezolvare Test-Grilă 7
1. x numărul candidaţilor. Atunci 80100
40 =⋅ x (deoarece 80 sunt fete) şi
200
40
10080 =
⋅
=x
este numărul cerut. Răspuns corect a.
2. Se observă că vârful parabolei f este ( )1,1fV iar simetricul său faţă de axa Ox
este ( )1,1 −gV de unde
.
2
3
1
2
21
4
şi
2
1
1
2
1
2 −=⇒−=
−
+
−=
∆
−−=⇒=−=− n
n
a
m
ma
b
iar răspunsul corect este a.
3. Valoarea lui x se determină din ecuaţia
2
105
5 ++
=+ x
x
cu soluţia 5=x . Primii trei termeni sunt 5 , 10 , 15 deci progresia este de raţie 5 cu
al 100 -lea termen
( ) .500511005100 =⋅−+=a
Atunci
( ) ( ) 25025
2
1005005
2
1001001
100 =
⋅+
=
⋅+
= aa
S
de unde răspunsul corect este a.
4. Răspuns corect a.. Punem condiţia 02 ≥−x .
cazul 1:
1132 ≤⇒≤− xx
iar în final [ ] { }11,...,3,211,2 =∩∈ Nx . În acest caz, ecuaţia devine
( ) ( ) 63223 =+−+−− xqx
de unde
( ) .13232 =⇒+−=+− qxxq
Aşadar
( ) { }{ }.11,...,3,21,1 ∈= xxS
cazul 2:
1132 ≥⇒≥− xx
iar în final [ ) Nx ∩∞∈ ,11 . În acest caz, ecuaţia devine
( ) 63232 =+−+−− xqx
de undeSubiect și barem · pagina 70
70 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
( ) 13921 −≠⇒−=−+ qqxq
situaţie în care
Trebuie ca
( ] { }3,2,1,03,10
1
29 =∩−∈⇒≥
+
− Nq
q
q
iar
[ ) ( ] { }3,2,1,03,1şi,11cu2
1
39 2
=∩−∈∩∞∈+
+
−
= NqNx
q
q
x
atrag )}0,83{(2 =S . Obţinem că
( ) { }{ } )}.0,83{(11,...,3,21,21 ∪∈=∪= xxSSS
5. Răspuns corect a.. Deoarece matricea A are elemente nenule deucem că rangul
său este 1≥ . Cum
0
11
11
)(det =
−
−
=A
deducem că rangul matricei este 2< . Deoarece matricea B are elemente nenule
rezultă că rangul său este 1≥ . Din ipoteză rangul lui B trebuie să fie 1 astfel că dacă
112 =a este un minor nenul al lui B atunci condiţia ca rangul lui B să fie 1 este ca
toţi minorii de ordinul doi ce se pot forma cu acesta trebuie să fie :0
( )
Rbbb
bb
ba
bb
a
a
a
aa
a
a
∈∀=−⇒=
=−⇒=
=⇒=
−==⇒=
00
11
010
1
10
1
11
,1sau10
1
1
Recapitulând 1=a iar Rb ∈ îndeplineşte ipoteza.
6. Observăm că
( ) )21ln2,11(1,0lim 2 ≥++≥+≤=
∞→
nnaa nn
n
şi [ ) Rf →∞,0: definită prin
( ) ( )[ ] Nn
tt
tf ∈∀
+++
= 1ln21
2
2
este o funcţie descrescătoare rezultând
.
1
39
2 +
−
=− q
q
xSubiect și barem · pagina 71
71 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ ( ) ( ) nn anfanf =≤=+ +11 de unde răspunsul corect este a. 7. Se observă că ( ) ( ) ( ) .11 23 xaxxf −++−= Punctele de extrem se regăsesc printre punctele critice. Astfel, rezolvăm ( ) ( ) ( ) 012130 2 =−++−⇔=′ xaxxf şi obţinem 1=x sau ax 3 2 1−= . Studiem dacă punctul 1=x este de maxim local. Observăm că ( ) ( ) ( ) .21216 afaxxf =′′⇒++−=′′ Analizăm cele trei cazuri posibile 0=a sau ( )0,∞−∈a sau ( )∞∈ ,0a : Cazul I: 0=a . Deoarece ( ) ( ) ( )( )23 111 xxxxf +−+−=+−= se observă că ( ) ( ) 0oricepentru01 2 >>=+ ε εε εf şi ( ) ( ) 0oricepentru01 2 ><−−=− ε ε ε εf de unde concluzia că 1=x nu este punct de extrem local. Cazul II: Dacă ( )0,∞−∈a atunci ( ) 021 <=′′ af de unde 1=x este punct de maxim local. Cazul III: Dacă ( )∞∈ ,0a atunci ( ) 021 >=′′ af de unde 1=x este punct de minim local fapt ce contrazice ipoteza. Recapitulând, răspunsul corect este a. 8. Răspuns corect a.. Observăm că ( )xf este strict descrescătoare [ )∞∈∀ ,0x , apelând la derivată ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 1121ln 131ln1ln2 2 3 22 22 < ++++ ++++++ −=′ xxx xxxxxx xf sau direct la expresiile ce compun funcţia f . Cum ( ) [ ) ( ) ,0limşi,00 =∞∈∀<′ →∞ xfxxf x deducem că există o unică soluţie în intervalul [ )∞,0 pentru ecuaţia ( ) 1=xf . Confirmă şi graficul funcţiei f : -1 0 1 2 3 4 5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 x y
Subiect și barem · pagina 72
72 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ 9. Observăm că ( )[ ] 0 1 1ln21 2 0 1 022 1 0 ∞→ →=≤ +++ =≤ ∫∫ n nn n n dxdx nxxn I deoarece [ ) Rf →∞,0: definită prin ( ) ( )[ ]1ln21 2 2 +++ = tt tf este o funcţie descrescătoare rezultând ( ) ( ) .100 =≤⇒≥ fnxfnx Astfel, răspunsul corect este a. 10. Observăm că ( )( ) ( ) 15 224 1 0 22 1 0 −=−=+−= ∫∫ dxxxdxxxxxI de unde răspuns corect a.
Subiect și barem · pagina 73
73 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ Rezolvare Test-Grilă 8 1. ( ) ( ) 3 3 2 2 2 1 2 1 23 1 56 4 5 0 1, 5, 26.x x x x x x x x+ − + = ⇔ + − = ⇒ = =− + = Răspuns corect a. 2. ( ) ( ) 1 2 1 2 4, 8, 2, 6 0 2 b a f a b c S f − = = ⇒ =− = =− = = − . Răspuns corect c. 3. ( ) 2 3 1 2 7 log 5 , 2 7(1 ) 7 0, 0, 2 x t t t t t= − + + = = =. Atunci 1 2 1 27 3 , 5 5 x x= =. Răspuns corect c. 4. 2 6 4 1 1 8 7 4 1 7 7 5, 2, 1 2 0 2 5 0 a a a a r a r S a a a a r − + =− − =− ⇔ ⇒ =− = = − − = + = Răspuns corect a. 5. 3 2 2 4 3, 2, 5. 1 p q A p A q A p q S p q + = = ⋅ + ⋅ ⇔ ⇒ = =− = + = Răspuns corect e. 6. Sistemul este incompatibil dacădeterminantul sistemului este mai mic decât 3 1 2 2 1 3 0 2 1 2 1 a a − = − și există un determinant caracteristic nenul 1 2 2 1 3 1 0 2 1 n − ≠ . Rezultă 3, 3.a b= ≠Răspuns corect c. 7. ( ) ( )H H 2 0 2 0 00 0 0 0 0 1arctg d arctg 11lim lim lim 0, 25 2 4 4 4 x x x x t t x xL x x→ → → += = = = = ∫ . Răspuns corect a. 8. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 , 23 s d s d a e bf e f e f e a b eaf e f e e = ⋅ += = ⇒ ⇒ = =− ′ ′ == . Răspuns corect d.
Subiect și barem · pagina 74
74 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ 9. ( )1 1 1 1 1 1 1 lim ln 1 d lim ln 1 1 ln 1 2 1 2 22 n n n L x n n n n x n n→∞ →∞ = + = ⋅ + + − − + = ⋅ = ∫ . Răspuns corect e. 10. Se observă că 𝐴𝐴 = � �𝑥𝑥 + 2 + 4 𝑥𝑥 − 1� 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 9 2 + 4𝑙𝑙𝑙𝑙2. 3 2 Răspuns corect b.
Subiect și barem · pagina 75
75 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
Rezolvare Test-Grilă 9
1. Impunem următoarele condiţii de existenţă
≥−
−≥+−
03
396
2
22
n
nnn
şi obţinem
[ ] ( ].3,2,3 −∞−∪∈n
Cum N∈n rămâne că 2=n . Pentru 2=n avem
11
1
3
96
2
2 ==−
+− CC n
nn
Răspunsul corect este c.
2. Inecuaţia se poate rescrie
( ) 041421 22
≤−+−−−− xxxx
sau echivalent
( ) 041 2
≤−−− xx
de unde
041 =−−− xx
sau echivalent
( ).41 −±=− xx
Cazul 1. 41 −=− xx imposibil.
Cazul 2. ( )41 −−=− xx are soluţia 2
5
=x .
În concluzie { }2
5
=M iar 1=n . Răspunsul corect este a.
3. În prima etapă determinăm domeniul D impus de condiţiile de existenţă ale
ecuaţiei:
( ] [ )
( ] [ ) .
,21,
,11,
023
01
2
2
∞∪∞−∈
∞∪−∞−∈
⇔
≥+−
≥−
x
x
xx
x
Reţinem că { } [ )∞∪=∈ ,21Dx . În a doua etapă rezolvăm ecuaţia. Cum
023şi01 22 ≥+−≥− xxx
avem
.14şi13 231 22
≥≥ +−− xxx
Egalitatea are loc dacă şi numai dacă
.
14
13
23
1
2
2
=
=
+−
−
xx
x
Unica soluţie a acestui sistem este Dx ∈= 1 . În concluzie { }1=A şi 112 ==S .
Răspunsul corect este a.Subiect și barem · pagina 76
76 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
4. Pentru o matrice ( ) ( )RMaA nnjiij ∈= = ,1, , se numeşte minor asociat elementului ija , unde
nji ≤≤ ,1 , determinantul care se obţine din matricea A prin eliminarea liniei i şi a
coloanei j , determinant pe care îl notăm ijm . Astfel
( ) ( )RM
mmm
mmm
mmm
mM jiij 3
333231
232221
131211
3,1, ∈
== =
unde
.0
00
11
,...,1
01
10
,1
01
10 331211 =
−
=−==−== mmm
Efectuăm calculele şi obţinem
( ) .
011
200
011
3,1,
−
−
−−
== =jiijmM
A determina valoarea T înseamnă a determina valoarea elementului maxim al matricei
( ) ( ).202
011
200
011
1113
3
1
2
3
1
1
3
1
−−=
−
−
−−
=
∑∑∑ === i
i
i
i
i
i
mmm
Obţinem
.0}2,0,2{max =−−=T
Răspuns corect b.
5. Se cunosc proprietăţile
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
.
,,
einversabil,,
,,detdetdet
2
2
111
2
∈∀=
∈∀=
∈∀=
−−−
RMBAABAB
RMBAABAB
RMBABAAB
TTT
Prima afirmaţie este adevărată pentru că
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )CBABCABCAABC detdetdetdetdetdetdet ===
pentru orice
( ).,, 2 RMCBA ∈
A doua afirmaţie este falsă pentru că expresiile din ambii membrii nu se pot calcula
pentru
.
00
00
2
==== OCBA
A treia afirmaţie este falsă după cum uşor putem verifica pentru
==
=
−
= 10
01
şi
11
11
,
10
02 2ICBA
căSubiect și barem · pagina 77
77 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
( ) .
11
22
12
12
11
22 TTT
T
T CBAABC =
−−
≠
−
−
=
−−
=
Răspuns corect a.
6. Se observă că
( ) 1,
2
1 ≥
+
= k
kk
a k
şi
( )
( )
( )
( ) ( ) )1ln(ln)1ln(
1
1
ln
2
1
ln 1
2
12
1
2
1
+=−+=
+
+
=
⋅
+
= ∑∑∑ ==
+
=
nkk
kk
kk
s
n
k
n
k
kk
n
k
n
de unde
.)1ln(lim ∞=+= ∞→ nS n
Răspuns corect e.
7. Este necesar ca funcţia f să fie continuă la stânga în 0=x şi 1=x . Atunci
( ) ( ) ( ) 1
1ln
lim1lim0
0
0
0
0
=⇒
+
⋅=⇔=
>
→
>
→
a
x
x
axff
x
x
x
x
iar din
( ) ( ) ( ) 2ln32ln
21
lnlim32lnlim1
2
1
1
1
1
+−=⇔
−+
+−=⋅⇔=
>
→
>
→
b
x
x
baxff
x
x
x
x
se obţine 3=b . Deci
.273 212 == ++a
b
Răspunsul corect este b.
8. Observăm că
( ) .1222842 222 −−=+−−−− xxxxx
Clar
( ] [ )∞∪−∞−∈≥−− ,32,dacă01222 2 xxx
şi
( ).3,2dacă01222 2 −∈<−− xxx
Aşadar
( ) ( ] [ )
( )
−∈+−
∞∪−∞−∈−−
= .3,28
,32,42
2
2
xadacx
xadacxx
xf
Funcţia f ar putea să nu fie derivabilă în punctele 2−=x respectiv 3=x , deoarece
pentru }3,2{\ −∈ Rx funcţia fiind elementară este derivabilă. Observăm căSubiect și barem · pagina 78
78 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
( ) ( )
( ) ( ) 42lim
2
48
lim2
622lim
2
442
lim2
22
22
2
2
2
2
2
2
=−=
+
−+−
=−
−=−=
+
−−−
=−
−>−>
−<−<
−→−→
′
−→−→
′
x
x
x
f
x
x
xx
f
xx
xx
xx
d
xx
s
şi
( ) ( )
( ) ( ) 422lim
3
142
lim3
62lim
3
18
lim3
33
33
3
2
3
3
2
3
=−=
−
+−−
=
−=−=
−
++−
=
>>
<<
→→
′
→→
′
x
x
xx
f
x
x
x
f
xx
xx
xx
d
xx
s
Ca o consecinţă
( ) ( ) ( ) ( ) .333şi222 AxffAxff dsds ∈=⇒≠∈−=⇒−≠− ′′′′
Deci }3,2{−=A şi
( ) ( ) ( )
( ) .
3,22
,32,22
−∈−
∞∪−∞−∈−
=′ xadacx
xadacx
xf
În concluzie,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .4846463322 −=⋅−+⋅−=+−−= ′′′′
dsds ffffT
Răspunsul corect este a.
9. Deoarece f este o primitivă a funcţiei g rezultă că f este derivabilă şi
.),()( Rxxgxf ∈∀=′
Această ultimă condiţie implică
( ) .1231212226 22 ++=++++++ xxbcxabax
Prin urmare
=+
=+
=−
02
022
012
bc
ab
a
sistem cu soluţia unică
4
1
,
2
1
,
2
1 =−== cba
de unde 18 222 =++= cbaS . Răspuns corect a.
10. Vom face schimbarea de variabilă
( ) ( ) .2111 222 dtxdxdttdxxtxtx =⇒−=⇒−=⇒=+ ′′
Intervalul de integrare se transformă după cum urmează:Subiect și barem · pagina 79
79 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ x 0 3 t=x2+1 1 4 Integrala se mai poate scrie: ( ) .211 2 1 222 3 0 xdxxxxI ++= ∫ Folosind schimbarea de variabilă se obţine: ( ) ( ) ( ) . 35 418 5 1 7 1 5 2 7 2 5 2 7 2 2 1 2 5 2 2 7 2 2 1 5 2 7 2 2 1 112 1 2 1 2 1 1 2 1 57 57 4 1 4 1 2 3 1 2 5 1 4 1 2 4 1 4 1 2 5 2 72 3 2 5 2 3 2 5 = −− −= −− ⋅−⋅= −= + − + = −=−=−= ++ ∫∫∫ tt tt dtttdtttttdttttI Răspuns corect d.
Subiect și barem · pagina 80
80 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
Rezolvare Test-Grilă 10
1. Mulţimea valorilor funcţiei este egală cu imaginea funcţiei. În cazul, problemei
( ) { } ( ){ },încâtasfel1\Im mxfRxmxfM =∈∈== R
unde ( )xfIm este imaginea funcţiei f . Prezentăm două metode pentru a răspunde
problemei.
Metoda 1. Determinăm R∈m pentru care { }1\Rx ∈∃ asfel încât ( ) mxf = . Astfel
( ) ( ) mxmmmxxm
x
x
mxf =−⇔−=⇔=
−
⇔= 22
1
2
de unde
{ } .2dacăşi2\dacă
2 =∈∈
−
= mxRm
m
m
x
φ
În concluzie { }2\RM = .
Metoda 2. Observăm că
( ) ( ) { }
∞=
−
−∞=
−
−
==
−
∈∀<
−
−=
−
=′
<<
→→
∞→−∞→
′
1
2
limşi
1
2
lim
1
2
lim2
1
2
lim
1\,0
1
2
1
2
11
11
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
xf
xx
xx
xx
R
de unde ( ) { }2\Im Rxf = . Graficul funcţiei f confirmă
Răspunsul corect este a .
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
2
4
6
x
ySubiect și barem · pagina 81
81 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ 2. Pentru o matrice ( ) ( )RMaA nnjiij ∈= = ,1, , se numeşte complementul algebric (sau cofactor) al elementului ija , unde nji ≤≤ ,1 , numărul ( ) ij ji ij mc + −= 1 , unde ijm este determinantul care se obţine din matricea A prin eliminarea liniei i şi a coloanei j , determinant pe care îl notăm ijm . Efectuăm calculele, în cazul exerciţiului nostru, şi obţinem ( ) . 323 517 431 3,1, − − −− == =jiijcC Rezultă . 1 1 1 1 6 1 35 33 12 11 3 1 2 1 3 1 5 1 7 1 4 1 3 1 1 1 1 3 3 1 1 2 3 1 1 1 3 1 − = − − −− = ∑ ∑ ∑ − = − = − = jj jj jj c c c Obţinem [ )+∞∈= ,2 1 35 33 T . Răspuns corect d. 3. Matricea A este inversabilă dacă 0det ≠A . Avem ( ) ( ).3882det 2 axxaA −++−= Condiţia ca RxA ∈∀≠ ,0det revine la ( )( ) 04503232640 2 >+−⇔<−−+⇔<∆ aaaa de unde ( ) ( ).,41, ∞∪∞−∈a Într-adevăr, dacă 0>∆ există Rxx ∈21 , astfel încât 0det =A contradicţie cu RxA ∈∀≠ ,0det . Răspuns corect d. 4. Dacă , 11 11 şi 10 02 = − = BA atunci . 12 12 11 22 BAAB = − − ≠ −− = Prima afirmaţie este falsă. Dacă alegem , 10 01 2 == IU avem ( ) ., 222 AAIAIRMA ==∈∀
Subiect și barem · pagina 82
82 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ În consecinţă a doua afirmaţie este adevărată. Pentru == 00 00 2OA avem ( )., 22222 RMBIOBOBO ∈∀≠== O matrice ( )RMB 2∈ cu proprietatea cerută nu poate fi găsită. A treia afirmaţie este falsă. Răspuns corect a. 5. Avem = = 2 2 20 01 20 01 20 01 A şi . 20 01 20 01 20 01 32 23 = =⋅= AAA Notăm = = + + 1 1 0 01 şi 0 01 n n n n a A a A unde 21 =a . Cu aceste notaţii . 20 01 20 01 0 011 = =⋅=+ nn nn aa AAA Am obţinut relaţia de recurenţă nn aa 21 =+ , adică ( ) 1?nna este o progresie geometrică de raţie 2=q şi prim termen 21 =a . Cum 1,222 11 1 ≥∀=⋅== −− nqaa nnn n deducem că ( ) − = +++ = ++ + = +++== ∑= 1220 02024 2...220 02024 20 01 ... 20 01 20 01 ... 2024 20242 20242 20242 2024 1 AAAAB k k Răspuns corect a.
Subiect și barem · pagina 83
83 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
6. Calculăm
( )[ ]
( )[ ]
( )
( )
2ln
3ln
1
2
1
ln2ln
1
3
1
ln3ln
lim
ln2ln
ln3ln
lim
2ln21ln2ln
3ln31ln3ln
lim
2
21
3
31
=
+
⋅
+
⋅
=
⋅
⋅
=
−+⋅
−+⋅
=
∞→
+
+
∞→
∞→
x
x
x
x
x
x
xxx
xxx
x
x
x
l
x
x
x
x
şi obţinem 2ln
3ln
=l . Răspunsul corect este b.
7. Avem
.eşie)( 32 mxmx mfmxf =′′=′
Relaţia
0)(8)(2)( =−′+′′ xfxfxf
sau, echivalent
0e8e2e 23 =−+ mxmxmx mmm
iar în final
( ) .0e822 =−+ mx
mmm
Cum 0e >mx , R∈∀ x şi ∗
∈ Rm rezultă
2,4082 21
2 =−=⇒=−+ mmmm
iar
.202)4(}2,4{ 22 =+−=⇒−= SA
Răspuns corect a.
8. După explicitarea modulului, obţinem
( )
( )
( )
( ) .
1,0,
1
1
0,1,
1
1
)(şi
1,0),1ln(
0,0
0,1),1ln(
)(
∈
−
−∈
+=′
∈−
=
−∈+
=
x
x
x
xxf
xx
x
xx
xf
Clar f este continuă pe ( )1,1− , dar nu este derivabilă în 00 =x . Avem
.0)0(şi)(lim =∞=
±∞→
fxf
x
Întocmim tabelul de variaţie al funcţiei f :Subiect și barem · pagina 84
84 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ ∞−↓↑∞− −+′ − 0)( |)( 101 xf xf x Din tabelul de mai sus se observă că 0=x este punct de maxim local al lui f . De altfel, ( ) ( ) ( ) ( )1,101ln01ln −∈∀==≤−= xfxxf indică tabelul iar definiţia punctului de extrem probează că 0=x este punct de maxim local (chiar global) al lui f . Deci 1=n . Răspunsul corect este d. Reprezentarea grafică a funcţiei f este redată în 9. Explicitând modulul, se obţine: . 3,62 3,62 )( >− ≤+− = xx xx xf Fie F o primitivă a funcţiei f . Atunci rezultă că F este derivabilă şi .),()( R∈∀=′ xxfxF Prin urmare ( ) ( ) . 3,6 3,6 3,62 3,62 )( 2 2 1 2 >+− ≤++− = >−∫ ≤+−∫ = xCxx xCxx xdxx xdxx xF Deoarece F este derivabilă, rezultă că F este continuă în punctul ,3=x prin urmare este necesar ca .18189189 1221 CCCC +=⇒+−=++− Dacă notăm ,1 CC = se obţine . 3,186 3,6 )( 2 2 >++− ≤++− = xCxx xCxx xF Răspuns corect a. 10. Se observă că ( ) 2 2025 x exxf − = -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 -8 -6 -4 -2 x y
Subiect și barem · pagina 85
85 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ este o funcţie impară ( ( ) ( )xfxf −=− pentru orice [ ]1,1−∈x ) fapt ce implică .0 2 2025 1 1 =− − ∫ dxex x Răspuns corect d.
Subiect și barem · pagina 86
86 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
Rezolvare Test-Grilă 11
1. Deoarece
( )
ab
ab
T −
−
=
+
== 2
3
10ln2ln
2ln3
20ln
8ln
răspunsul corect este d.
2. O primă condiţie este ( ]3,∞−∩∈ Zx , intervalul ( ]3,∞− obţinându-se din
.
05
03
07
≥−
≥−
≥−
x
x
x
Pentru Zx ∈ ecuaţia devine
( )
( )
( )
( )!3
!5
3
!4!3
!7
x
x
x
x
−
−
=
⋅−
−
sau, echivalent
( )( ) !4376 ⋅=−− xx
iar în final
030132 =−− xx
ecuaţie de gradul 2 cu soluţia Zx ∈−= 21 , care convine, şi ( ]3,152 ∞−∩∉= Zx , care nu
convine. Obţinem { }2=M . Răspunsul corect este d.
3. Se folosesc variantele de răspuns prin eliminare. Răspuns corect a.
4. Folosim formula lui Gauss
( ) .,
2
1
21 ∗
∈∀
+
=+++ Nn
nn
n
În consecinţă
.10122025
2
20252024
202421 ⋅=
⋅
=+++
Observăm că
( ) ( ) ( )2121
ω
ω
ω
ω += AAA
şi
( ) ( ) .,,
2
2
200
020
02
21
21
21
21 RAAA ∈∀
+
=
+
=+
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
Efectuând calculele obţinem
+=
+
=
+
2
1
100
010
01
2
1
2
2
1
mA
m
m
A
m
A
şiSubiect și barem · pagina 87
87 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ ( ) ( ) ( ) . 2 2025 2024 202400 020240 02024212024 202421 = +++ =+++ AAAA Ecuaţia matriceală ( ) ( )2 2025 2 1 AmA =+ este echivalentă cu ecuaţia 2 2025 2 1 =+m ecuaţie care are unica soluţie 1012=m . Răspuns corect b. 5. Calculăm 0 11 )1ln( lim 11 )1(ln lim )1(ln lim 0 0 0 =−= + −= + −= +− = → → → qq x x qq qx x qx x qx xx p x p p p p x p pp x α şi obţinem 200 =+=+ qpqp ll . Răspunsul corect este a. 6. Se observă că Rezolvăm ecuaţia 0)( =′ xf şi obţinem soluţiile 1±=x . Avem tabelul de variaţie: Din tabel, avem că 1=x este punct de maxim local şi-n plus ( ) ( ) ,0213511 33 2 >=−=f rezultă 3 2=M . Reprezentarea grafică a funcţiei dă o imagine mai clară
Subiect și barem · pagina 88
88 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
Răspunsul corect este c.
7. Deoarece ⇒±= }1{\RD există posibilitatea să avem asimptote verticale în 1±=x
ce le determinăm astfel
( )
( ) +∞=
⋅⋅−
−
=
++−
==+−=−
−∞=
⋅⋅−
−
=
++−
==−−=−
+−> −→
−>
−→
−< −→
−<
−→
20)2(
1
1)1)(1(
lim)(lim)01()1(
20)2(
1
1)1)(1(
lim)(lim)01()1(
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
xxx
x
xffl
xxx
x
xffl
x
x
x
x
d
x
x
x
x
s
−
de unde 1−=x este asimptotă verticală. Absolut analog
+∞==+=
−∞==−=
>
→
<
→
)(lim)01()1(
)(lim)01()1(
1
1
1
1
xffl
xffl
x
x
d
x
x
s
rezultă 1=x este asimptotă verticală. Constatăm că 2=m . Deoarece
( )( ) 0
11
lim)(lim)(lim 22 =
+−
== ±∞→∞→−∞→ xx
x
xfxf xxx
rezultă 0=y (axa Ox ) este asimptotă orizontală. Avem 1=n . Rezultă 312 =+=
β .
Răspunsul corect este c.
8. Graficul funcţiei f trece prin punctul ( )1,1M dacă şi numai dacă 1)1( =f . Obţinem
ecuaţia
.
2
)1(1 ba
f +
==
Fie d tangenta la graficul funcţiei f . Ecuaţia tangentei la fG în punctul )1,1(M
este
1)1(cu,)1)(1()1(: =′=−′=− fmxffyd d
unde
( )2
)( axb
ba
xf +
−
−=′
Condiţia 1)1( =′f conduce la ecuaţia
( ) .1)1(2 =′=
+
−
− f
ab
ba
-4 -2 2 4
-20
-10
10
20
x
ySubiect și barem · pagina 89
89 | P a g i n a
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI
Admitere: studii universitare de licență 2024
FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ
Am obţinut sistemul
( )
=−
=
+
−
+
− 1
1
2
2
ab
ba
ba
cu soluţia unică 1,3 =−= ba . Rezultă 3
1
3 −=
−
=r .
Răspunsul corect este d.
9. Se observă că
( ) ( ).1ln1ln
1
2
0
2
2
0
yyxx
x
dx yy
++=++=
+
∫
Atunci
( ){ }
( ){ }
( ) ( ){ }
{ }.1
01|,0
21|,0
21|,0
2
2
2
=
=−∞∈=
=+∞∈=
+=++∞∈=
yy
yyy
yyyyyA
Rezultă
.1== ∑∈
yS Ay
Răspuns corect a.
10. Folosind descompunerea în fracţii simple,
( )( ) 11221
1
2 +
+
−
+
−
=
−− x
C
x
B
x
A
xx
se obţine:
.1)1)(2()1)(2()1)(1( =−−++−++− xxCxxBxxA
Pentru 2=x rezultă
.
3
1
13 =⇒= AA
Pentru 1=x rezultă
.
2
1
12 −=⇒=− BB
Pentru 1−=x rezultă
.
6
1
16 =⇒= CC
Prin urmare integrala devine:Subiect și barem · pagina 90
90 | P a g i n a ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREȘTI Admitere: studii universitare de licență 2024 FACULTATEA de CIBERNETICĂ, STATISTICĂ ȘI INFORMATICĂ ECONOMICĂ .5ln 6 1 3ln 2 1 2ln 2 1 1ln 6 1 1ln 2 1 2ln 3 1 1 1 6 1 1 1 2 1 2 1 3 1 112 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 6 1 2 1 3 14 3 +−= ++−−−= + + − − − = + + − − + − = ∫∫∫ ∫ xxx dx x dx x dx x dx xxx I Răspuns corect b.
Continuă pregătirea
Vezi arhiva completăAlte subiecte de la aceeași facultate
Examen de admitere · 2024Matematică · Sesiunea iulie; subiect și barem în același PDFDeschide fișa Examen de admitere · 2024Matematică · Sesiunea septembrie; subiect și barem în același PDFDeschide fișa Examen de admitere · 2025Matematică · Subiect și barem în același PDFDeschide fișa Simulare · 2025Matematică · Subiect și barem în același PDFDeschide fișa Examen de admitere · 2026Matematică · Limba românăDeschide fișa
Răspunsuri directe
Ce trebuie să știi despre acest subiect?
Ce document de admitere este acesta?
Pagina prezintă model de pregătire din 2024 pentru Matematică, la Cibernetică, Statistică și Informatică Economică. Documentul este etichetat după instituție, facultate, program și tipul probei folosind inventarul public verificat. Consultă metodologia actuală a instituției pentru condițiile examenului viitor.
Există și barem sau răspunsuri pentru acest subiect?
Da. Pagina include baremul sau răspunsurile publice asociate acestui subiect, afișate separat ori în același document atunci când sursa le publică împreună. Verifică fiecare rezolvare după ce ai terminat varianta și urmărește exact criteriile de punctare indicate de instituție.
Cum folosesc acest subiect în pregătirea pentru admitere?
Rezolvă documentul fără ajutor și respectă timpul prevăzut de metodologia examenului. Corectează cu baremul disponibil, marchează capitolele unde ai pierdut puncte și repetă exerciții similare. Compară apoi cu alte probe din aceeași facultate și confirmă programa curentă pe site-ul oficial al instituției.