Răspuns pe scurt
0! este 1 prin definiție. Valoarea păstrează relația n! = n · (n − 1)! pentru n întreg, n ≥ 1, și se potrivește cu faptul că există o singură selecție de zero obiecte: mulțimea vidă.
0! este 1 prin definiție. Alegerea păstrează relația n! = n · (n − 1)! pentru orice întreg n ≥ 1 și se potrivește cu numărarea selecțiilor: există un singur fel de a alege zero obiecte, lăsându-le pe toate deoparte.
Dacă înveți factoriali și combinări la liceu, uită-te întâi la ce numeri. Numărul obiectelor alese și numărul selecțiilor posibile pot avea valori diferite.
Trei cartonașe, inclusiv alegerea de a nu lua niciunul
Pe masă sunt cartonașele distincte A, B și C. Alegi câteva, fără să conteze ordinea. Toate selecțiile încap în acest tabel:
| Câte cartonașe alegi | Selecțiile | Câte selecții există |
|---|---|---|
| 0 | mulțimea vidă, ∅ | 1 |
| 1 | {A}, {B}, {C} | 3 |
| 2 | {A, B}, {A, C}, {B, C} | 3 |
| 3 | {A, B, C} | 1 |
Pe primul rând, selecția nu conține cartonașe. Ea există însă ca rezultat posibil: mulțimea vidă. Nu ai trei variante de a nu lua nimic, câte una pentru fiecare cartonaș. Ai o singură selecție goală.
La ultimul rând, iei toate cele trei cartonașe. Și aici există o singură selecție, {A, B, C}. Faptul că le-ai putea lua într-o altă ordine nu schimbă ce ai ales.
Factorialul se oprește la 1
Pentru un întreg pozitiv n, n! este produsul numerelor întregi de la 1 la n. De exemplu, 3! = 3 · 2 · 1 = 6. Dacă mai înmulțești cu 0, ai schimbat expresia și nu mai calculezi 3!.
Cazul n = 0 se definește separat: 0! = 1. Așa apare și în OpenStax, la notația factorialului. Poți vedea de ce această valoare se potrivește urmărind legătura dintre factoriali:
3! = 3 · 2! și 2! = 2 · 1!. Dacă vrem să păstrăm relația n! = n · (n − 1)! și la n = 1, avem nevoie de:
1! = 1 · 0!, adică 1 = 1 · 0!.
Valoarea cerută este 0! = 1. Am explicat astfel alegerea definiției, fără să introducem un factor zero în produs.
Cum citești 0! din numitorul unei combinări?
C(n,k) numără selecțiile de k obiecte din n obiecte distincte, fără să țină cont de ordine. Pentru n și k întregi cu 0 ≤ k ≤ n, formula este:
C(n,k) = n! / [k! · (n − k)!].
Formula și interpretarea selecției vide sunt prezentate în OpenStax, la combinări și submulțimi. Aplic-o acum primului și ultimului rând din tabel:
- C(3,0) = 3! / (0! · 3!) = 6 / (1 · 6) = 1;
- C(3,3) = 3! / (3! · 0!) = 6 / (6 · 1) = 1.
0! din numitor are valoarea 1. Nu împarți la zero. Ambele calcule confirmă selecțiile pe care le-ai numărat deja, fără formulă.
Două calcule de făcut pe hârtie
Încearcă 4! / 3! și C(6,6). La primul, scrie 4! = 4 · 3! înainte să simplifici. La al doilea, explică întâi ce alegi, apoi înlocuiește în formulă.
Obții 4 și 1: 4! / 3! = 4, iar 6! / (6! · 0!) = 1. La următoarea verificare fără caiet, încearcă C(6,0) și explică de ce dă tot 1.
Pentru o problemă cu extrageri de obiecte fără revenire, verifică separat dacă se urmărește ordinea. Tabelul de aici numără {A, B} o singură dată; extragerile „A, apoi B” și „B, apoi A” sunt două rezultate ordonate.