Răspuns pe scurt
Mediana unui triunghi unește un vârf cu mijlocul laturii opuse, iar bisectoarea împarte unghiul din vârf în două unghiuri egale. Ele coincid în triunghiul isoscel când sunt duse din vârful dintre laturile egale spre bază.
Mediana împarte latura opusă în două segmente egale; bisectoarea împarte unghiul din vârf în două unghiuri egale. Dacă pleacă din același vârf, nu sunt neapărat același segment. Diferența se vede în egalitățile pe care ai voie să le scrii din enunț.
Marchează egalitatea în locul potrivit
În triunghiul ABC, dacă AM este mediană și M este pe BC, atunci BM = MC. Pune același semn pe segmentele BM și MC. Mediana unește vârful A cu mijlocul laturii opuse, după definiția din Math Open Reference.
Dacă AD este bisectoarea interioară din A, cu D pe BC, atunci ∠BAD = ∠DAC. Marchează două arce egale la vârful A. Bisectoarea unui unghi este o semidreaptă; în problema cu triunghiul, AD este segmentul ei până la BC.
| Ce spune enunțul | Ce rezultă direct | Ce nu rezultă automat |
|---|---|---|
| AM este mediană | BM = MC | ∠BAM = ∠MAC |
| AD este bisectoare interioară | ∠BAD = ∠DAC | BD = DC |
Pe aceeași latură: mediana ajunge la 5 cm, bisectoarea la 4 cm
Luăm AB = 6 cm, AC = 9 cm și BC = 10 cm. Mediana AM ajunge în mijlocul lui BC, deci BM = MC = 5 cm. Acum căutăm punctul D în care bisectoarea din A întâlnește aceeași latură.
Pentru bisectoarea AD folosim teorema bisectoarei interioare, prezentată în Elementele lui Euclid, VI.3: BD / DC = AB / AC. Așadar, BD / DC = 6 / 9 = 2 / 3.
Raportul 2 : 3 cere două părți egale pentru BD și trei pentru DC. Cele cinci părți formează împreună BC = 10 cm, așa că o parte are 2 cm. Rezultă BD = 4 cm și DC = 6 cm.
D este la 4 cm de B, iar M la 5 cm de B. Sunt puncte diferite, deci AM și AD nu coincid. Un desen aproximativ, pe care ele par suprapuse, nu poate schimba aceste rezultate.
De ce coincid în triunghiul isoscel, spre bază?
Într-un triunghi isoscel cu AB = AC, mediana AM dusă spre baza BC este și bisectoare. Compară triunghiurile ABM și ACM: au AB = AC, BM = CM și latura AM comună. Sunt congruente prin criteriul latură–latură–latură. Rezultă ∠BAM = ∠MAC.
Din aceeași congruență, unghiurile AMB și AMC sunt egale. Ele au suma 180°, pentru că B, M și C sunt coliniare. Fiecare măsoară 90°, deci această mediană este și înălțime.
Observă de unde a pornit demonstrația: AB = AC. Ai dovedit proprietățile medianei din A spre BC. Pentru o mediană din alt vârf, faptul că triunghiul este isoscel nu ajunge.
Jumătatea bazei nu este lungimea medianei
Într-un triunghi isoscel, avem AB = AC = 13 cm și BC = 10 cm. Mediana AM spre bază dă BM = 5 cm. Cei 5 cm reprezintă jumătatea bazei, nu lungimea lui AM.
AM este și înălțime, după demonstrația de mai sus. În triunghiul dreptunghic ABM, cu unghiul drept în M, aplicăm Pitagora: AM² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, de unde AM = 12 cm. Dacă aici ai adunat pătratele, revino la explicația despre aflarea unei catete cu teorema lui Pitagora.
Două enunțuri scurte, două tipuri de răspuns
Pe o foaie, rezolvă două enunțuri independente, fără să revii la tabel: AM este mediană într-un triunghi cu BC = 14 cm; AD este bisectoare într-un triunghi cu ∠BAC = 74°. Scrie egalitățile și valorile pe care le obții în fiecare caz.
Răspunsurile sunt BM = MC = 7 cm pentru primul enunț și ∠BAD = ∠DAC = 37° pentru al doilea. Nu ai primit informații care să facă mediana și bisectoarea să coincidă. După metoda din ghidul de verificare a lecției fără caiet, adaugă lângă fiecare răspuns motivul egalității: mijlocul unei laturi sau împărțirea unui unghi în două.