Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M4 Pedagogic 2027

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2027
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Model
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice   1n n
a , în care 3 14a și 4 19a .
5p 2. Se consideră funcția :  f ,   5 6 f x x . Determinați numărul real a pentru care punctul
 , 4A a aparține graficului funcției f .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația  1
2
log 1 2  x .
5p 4. După două scumpiri succesive cu câte 10% fiecare, prețul unui obiect este de 484 de lei. Determinați
prețul obiectului înainte de cele două scumpiri.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctul  1,3A și dreapta d de ecuație 3 y x .
Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul A și este paralelă cu dreapta d .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 2 10BC și 1
tg 3
C . Arătați că aria
triunghiului ABC este egală cu 6 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 6 6 30    x y xy x y .
5p 1. Arătați că  1 2 34   .
5p 2. Determinați numărul real x pentru care  3 0  x .
5p 3. Arătați că 5 e este elementul neutru al legii de compoziție „ ”.
5p 4. Determinați numărul real a pentru care   6 6    x y x y a , pentru orice numere reale x și .y
5p 5. Determinați mulțimea numerelor reale x pentru care  5  x x x .
5p 6. Determinați numerele naturale nenule n pentru care 2
 N n n este număr natural impar.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricea   1
2 0
 
  
 
a
A a a , unde a este număr real.
5p 1. Arătați că   det 3 18A .
5p 2. Determinați numărul real a pentru care      3 2 3 3  A A A a .
5p 3. Arătați că matricea  A a este inversabilă, pentru orice număr real nenul a .
5p 4. Calculați det X , unde  2 X
 , astfel încât    1 5  X A A X .
5p 5. Demonstrați că, dacă a , b și c sunt numere reale astfel încât          0 0 2   A A a A b A A c ,
atunci 2 a b c .
5p 6. Determinați numerele reale nenule a pentru care      1
2

 A a A a I , unde    1
A a este inversa
matricei  A a și 2
1 0
0 1
 
  
 
I .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model
Barem de evaluare și de notare
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2027
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
 Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 4 3 5  r a a , unde r este rația progresiei aritmetice 3p
1 4a , deci 1 2 3 27  a a a 2p
2.   4f a , de unde obținem 5 6 4 a 3p
2a 2p
3. 2
1
1 2

 
   
 
x , deci 1 4 x 3p
3x , care convine 2p
4. Prețul după prima scumpire este 10 11
100 10
   x
x x , unde x este prețul înainte de cele două
scumpiri
3p
Prețul obiectului după a doua scumpire este 11 10 11 121
10 100 10 100
  
x x x , deci 121 484
100 
x , de
unde obținem 400x de lei
2p
5. Panta dreptei d este 1m 2p
Ecuația dreptei care trece prin punctul  ,A AA x y și este paralelă cu dreapta d este
   A Ay y m x x , deci 4 y x 3p
6. 1
3  AB
AC , deci 3AC AB 2p
2AB , 6AC , deci 6
2


 ABC
AB AC
 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.      1 2 1 2 6 1 6 2 30            3p
2 6 12 30 34      2p
2.  3 3 12   x x , pentru orice număr real x 3p
3 12 0 x , de unde obținem 4 x 2p
3.  5 5 6 30 30       x x x x , pentru orice număr real x 2p
 5 5 30 6 30       x x x x , pentru orice număr real x , deci 5 e este elementul
neutru al legii de compoziție „ ” 3p
4.    6 6 36 6 6 6 6 6           x y xy x y x y y 3p
  6 6 6   x y , deci      6 6 6 6 6      x y a x y , pentru orice numere reale
x și y , de unde obținem 6 a 2p
5.   2
5 7   x x x x , pentru orice număr real x 2p
2 7 x x x , deci 2 6 0 x x , de unde obținem  6,0 x 3p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model
Barem de evaluare și de notare
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 2 din 2
6. 12
32 6  N n n , pentru orice număr natural nenul n 3p
Cum n este număr natural nenul și   12
2 16 3  N n n este număr natural impar, obținem
4n și 12n
2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.       
1 3 1 3
3 det 3 1 0 3 6
6 0 6 0
  
         
 
A A 3p
0 18 18   2p
2.      
1 3 2 6 3 3 1 1
3 2 3 3 3 1
6 0 12 0 6 0 2 0
         
             
       
A A A 3p
   3 1 3A A a , de unde obținem 1a 2p
3.    2
det 2A a a , pentru orice număr real a 3p
Pentru orice număr real nenul a ,   det 0A a , deci matricea  A a este inversabilă 2p
4.     1 5 1
2
 X A A ,     0 4
5 1 8 0
 
   
 
A A 3p
0 2
4 0
 
  
 
X , deci det 8X 2p
5.     1
0 0 0
 
   
 
a
A A a ,     1 0
0 2 0
 
   
 
A b A b ,         2
0 0 2 0
 
     
 
a
A A a A b A b ,
pentru orice numere reale a și b
3p
2 2 2
2 0 4 0
    
   
   
a c
b c , de unde obținem 2 a b c 2p
6. Cum  A a este inversabilă pentru orice număr real nenul a , obținem
     2  A a A a I A a 2p
2
2
2 2 1
2 02 1 2
    
        
a a a
aa a
, de unde obținem 2
2
 a sau 2
2
a , care convin 3p