Textul subiectului și baremului

Subiectul · pagina 1

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2027
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numerele complexe 1 1z i  , 2 3 2z i  și numărul real a astfel încât numărul
3 1 2z az iz  este real. Determinați 3z .
5p 2. Se consideră funcția inversabilă  : 3,f  ℝ ,   2 3x
f x   . Determinați  3,t   astfel
încât  1 0f t  , unde 1
f  este inversa funcției f .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2
2 2 2x x   .
5p 4. Determinați câte submulțimi nevide, cu cel mult două elemente, are mulțimea  1, 3, 5, 7A  .
5p 5. Se consideră triunghiul ABC , cu centrul de greutate G și punctul D astfel încât
 2
3
AD AB AC 
   . Demonstrați că patrulaterul CGBD este paralelogram.
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , cu AB AC , 2
3
A

 și 2R  , unde R este raza cercului
circumscris triunghiului ABC . Determinați distanța de la punctul B la dreapta AC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 
  
 
 
și  
2 0
0 1 0
0 3 2 2
x
A x
x
 
 
  
   
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că   det 3 4A  .
5p b) Arătați că         32 2A x A y A x A y I    , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinați numerele reale a și b pentru care         3A x A x A x aA x bI    , pentru orice
număr real x.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție   2 1 2 2x y x y     .
5p a) Arătați că 3 4 10  .
5p b) Determinați numărul real a pentru care a x x  , pentru orice număr real x.
5p c) Determinați tripletele  , ,m n p de numere naturale nenule, cu m n p  , pentru care
  26m n p   .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția  : 0,f   ℝ ,   2 4 1x x
f x x x
 
 .
5p a) Arătați că     
3
1 3
' 2
x x x
f x x
 
 ,  0,x   .
5p b) Determinați numerele  0,a   pentru care tangenta la graficul funcției f în punctul
  ,A a f a este paralelă cu axa Ox .

Subiectul · pagina 2

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p c) Demonstrați că   1
4 2
4
f x f x
 
  
  , pentru orice  0,1x  .
2. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,   3 1f x x x   .
5p a) Arătați că   
2
0
6f x x dx  .
5p b) Arătați că   
1 3
0
3
2x
f x x e dx e

   .
5p c) Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul  
1
2
0
n
n
x
I dx
f x x
 
 . Demonstrați că
  4
1
1 2
n nI I n n
    , pentru orice număr natural nenul n.

Baremul · pagina 1

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2027
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.  2
3 3 2 2 3z a ai i i a a i        3p
3 0a   , deci 3a   , de unde obținem 3 1z   2p
2.  0f t 3p
0
2 3t   , deci 4t  2p
3. 2 2
2 4 2 2x x x    , de unde obținem 2 4 0x x  2p
0x  , care nu convine sau 4x  , care convine 3p
4. Mulțimea A are 4 submulțimi cu câte un element 2p
Mulțimea A are 6 submulțimi cu câte două elemente, deci sunt 4 6 10  submulțimi nevide
cu cel mult două elemente 3p
5.  1 1
3 6
GM AM AB AC  




 



 


 


 , unde M este mijlocul segmentului BC 2p
 1
6
MD AD AM AB AC   




 


 



 


 


 , deci M este mijlocul segmentului GD , de unde obținem
că patrulaterul CGBD este paralelogram
3p
6. 2
2 2 sin 3
BC

   , deci 2 3BC  2p
Triunghiul BCD este dreptunghic în D , unde punctul D este proiecția lui B pe AC și, cum
6
C

 , obținem 3
2
BC
BD   3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
    
2 3 0 2 3 0
3 0 1 0 det 3 0 1 0
0 11 2 0 11 2
A A
  
 
    
   
2p
4 0 0 0 0 0 4       3p
b)
       
4 2 0 2 0 4 2 0
2 0 1 0 0 1 0 0 2 0
0 3 6 2 4 0 3 2 2 0 6 4 4
x y x y
A x A y A x A y
x y x y
       
     
           
               
3p
3
2 0 0
0 2 0 2
0 0 2
I
 
 
  
 
 
, pentru orice numere reale x și y 2p
c)      32A x A x I A x   ,         33 2A x A x A x A x I    , pentru orice număr real x 2p
   3 33 2A x I aA x bI   , deci       33 2a A x b I   , pentru orice număr real x , de unde
obținem 3a  și 2b   3p

Baremul · pagina 2