Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M4 Pedagogic 2026 – sesiunea iunie–iulie, 1 iulie 2026, varianta 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 3
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Varianta 3
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 14 1 2
1 3
5 6 3
 
⋅ − + = 
  .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 4 1f x x= − și numărul ( )1a f= . Calculați ( )f a .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3
10 10 100x
⋅ = .
5p 4. După două ieftiniri succesive, cu câte 50% , un obiect costă 200 de lei. Determinați prețul
obiectului înainte de cele două ieftiniri.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )4,0A , ( )6, 2B și C , mijlocul segmentului OB .
Arătați că 2AC = .
5p 6. Arătați că 2sin 45 sin 30 2 cos 60 0° ⋅ ° − ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 2 4x y xy x y∗ = − − + .
5p 1. Arătați că 3 3 4∗ = .
5p 2. Determinați numărul real x pentru care ( )2x x∗ − = .
5p 3. Determinați numerele reale x pentru care ( ) 2x x x− ∗ = .
5p 4. Arătați că ( )( )2 1 2x y x y∗ = − − + , pentru orice numere reale x și y .
5p 5. Determinați numerele reale nenule a pentru care ( ) 1
4 4 a a
∗ ∗ = .
5p 6. Determinați perechile ( ),n p de numere naturale pentru care n p p∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și ( ) 4
1
x x
A x x x
− 
=  
− − 
, unde x este număr real.
5p 1. Arătați că ( )( )det 2 2A = .
5p 2. Determinați numărul real a pentru care ( ) ( ) ( )3 2 4 2A A A a− = .
5p 3. Determinați numerele reale x pentru care ( )( )det A x x= .
5p 4. Arătați că matricea ( )( )2
1 2
2
B I A= − este inversa matricei ( )2A .
5p 5. Determinați numerele reale x și y pentru care ( ) ( ) 2A x A x yI⋅ = .
5p 6. Determinați matricea ( )2X ∈ ℝ
M pentru care ( ) ( )2 3X A X A− ⋅ = .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 3
Barem de evaluare și de notare
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 3
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 14 1 2 14 5 2
1
5 6 3 5 6 3
 
⋅ − + = ⋅ + = 
  3p
7 2 3
3 3
= + = 2p
2. ( )1 3f = , deci 3a = 2p
( ) ( )3 11f a f= = 3p
3. 3 2
10 10x+ = , de unde obținem 3 2x+ = 3p
1x = − 2p
4. Prețul după prima ieftinire este 50
100 2
x
x x− ⋅ = , unde x este prețul înainte de cele două
ieftiniri
2p
Prețul după a doua ieftinire este 50
2 100 2 4
x x x
− ⋅ = , deci 200
4
x = , de unde obținem 800x = de
lei
3p
5. ( )3,1C 2p
2 2
1 1 2AC = + = 3p
6. 2
sin 45 2
° = , 1
sin 30 2
° = , 1
cos 60 2
° = 3p
2 1 1 2 2
2sin 45 sin 30 2 cos 60 2 2 0
2 2 2 2 2
° ⋅ ° − ° = ⋅ ⋅ − ⋅ = − = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. 3 3 3 3 3 2 3 4∗ = ⋅ − − ⋅ + = 3p
9 3 6 4 4= − − + = 2p
2. ( )2 3 8x x∗ − = − + , pentru orice număr real x 3p
3 8x x− + = , de unde obținem 2x = 2p
3. ( ) 2 4x x x x− ∗ = − − + , pentru orice număr real x 2p
2 4 2x x x− − + = , deci 2 3 4 0x x+ − = , de unde obținem 4x = − sau 1x = 3p
4. 2 2 2x y xy y x∗ = − − + + = 2p
( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 1 2y x x x y= − − − + = − − + , pentru orice numere reale x și y 3p
5. 4 2a a∗ = , ( )4 4 4a a∗ ∗ = , pentru orice număr real a 2p
1
4a a
= , de unde obținem 1
2
a = − sau 1
2
a = , care convin 3p
6. ( )( )2 1 2n p n p∗ = − − + , deci ( )( )2 1 2n p p− − + = 2p
( )( )3 1 1n p− − = − , de unde obținem perechile ( )2, 2 și ( )4,0 3p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 3
Barem de evaluare și de notare
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 det 2 2 1 2 2
2 1 2 1
A A
 
=  = = ⋅ − − ⋅ − = 
− − − −  3p
2 4 2= − + = 2p
2. ( ) ( ) ( )
6 6 0 4 6 2 3 1
3 2 4 2 2 1
6 3 4 3 2 0 1 0
A A A
       
− = − = = =       
− − − − − −        3p
( ) ( )2 2 1A a A= , de unde obținem 1a = 2p
3. ( )( ) 2
det 2 5 4A x x x= − + , pentru orice număr real x 2p
2
2 5 4x x x− + = , deci 2 3 2 0x x− + = , de unde obținem 1x = sau 2x = 3p
4. 1 1
2
1 1
B
 
− − =   
 
2p
( ) ( ) 22 2A B B A I⋅ = ⋅ = , deci matricea B este inversa matricei ( )2A 3p
5.
( ) ( ) 2
2
16 8 5 2
5 2 1 2
x x x
A x A x
x x x
 − −
 ⋅ =  − + − 
, pentru orice număr real x 3p
2
2
16 8 5 2 0
05 2 1 2
x x x y
yx x x
 − −  
  =     − + − 
, de unde obținem 5
2
x = și 4y = − 2p
6. ( )( ) ( )2 2 3I A X A− ⋅ = și, cum ( )( ) ( )
1
2
1
2 2
2
I A A
−
− = , obținem ( ) ( )
1 2 3
2
X A A= ⋅ 3p
2 1
1 2
2
X
− 
 =  − 
 
2p