Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M4 Pedagogic 2026 – sesiunea august–septembrie, 11 august 2026, varianta 4

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 4
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Varianta 4
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați termenul 3a al progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ , în care 1 2a = și 2 16a = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2f x x= − . Determinați numărul real m pentru care
( ) ( ) ( )3 5f f f m+ = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 12x x= − .
5p 4. Se consideră mulțimea { }20, 21, 22, , 35A = … . Determinați probabilitatea ca, alegând un număr
din mulțimea A , acesta să fie multiplu de 5 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,3M și ( )7,1N . Arătați că triunghiul OMN este
dreptunghic.
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 8BC = și măsura unghiului B egală cu 45 .°
Arătați că perimetrul triunghiului ABC este egal cu ( )8 1 2+ .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă ( )( )
1 2 2 2
3
x y x y= − − + .
5p 1. Arătați că 4 8 6= .
5p 2. Determinați numărul real x pentru care ( )1 x x− = .
5p 3. Arătați că 5e = este elementul neutru al legii de compoziție „  ”.
5p 4. Determinați numerele naturale n pentru care numărul ( )N n n= − este natural.
5p 5. Determinați numărul real x , știind că 1 este simetricul lui x în raport cu legea de compoziție „  ”.
5p 6. Determinați numerele naturale m și p pentru care 2 3 4m p = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și ( ) 2 0
3
A x x x
 
=  
− 
, unde x este număr real.
5p 1. Arătați că ( )( )det 5 4A = .
5p 2. Determinați numărul real x pentru care ( ) ( ) ( )3 5 1 2A A A x− = .
5p 3. Determinați numărul real m pentru care ( ) ( ) ( )24 4 2 4A A I mA⋅ + = .
5p 4. Determinați numerele reale x pentru care ( ) ( )( )2
det 0A x A x+ = .
5p 5. Determinați numerele reale a și b pentru care suma elementelor matricei ( ) ( )A x A a⋅ este egală
cu b , pentru orice număr real x .
5p 6. Se consideră matricea 4
0
B  
=  
 
. Determinați matricea ( )2,1C ∈ ℝ
M pentru care ( )5A C B⋅ = .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 4
Barem de evaluare și de notare
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 4
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 1 14r a a= − = , unde r este rația progresiei 3p
3 16 14 30a = + = 2p
2. ( )3 1f = , ( )5 3f = , ( ) 2f m m= − , pentru orice număr real m 3p
1 3 2m+ = − , de unde obținem 6m = 2p
3. 3 12x x= − 3p
3x = , care convine 2p
4. Mulțimea A are 16 elemente, deci sunt 16 cazuri posibile 2p
În mulțimea A sunt 4 multipli de 5 , deci sunt 4 cazuri favorabile, de unde obținem
4 1
16 4
p = = 3p
5. 10OM = , 50ON = 2p
40MN = și, cum 2 2 2
50 10 40ON OM MN= = + = + , obținem că triunghiul OMN este
dreptunghic 3p
6. 4 2AB AC= = 2p
( )8 8 2 8 1 2ABCP BC AB AC∆ = + + = + = + 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. ( )( )
1
4 8 4 2 8 2 2
3
= − − + =
 3p
4 2 6= + = 2p
2. ( )1 4x x− = − +
 , pentru orice număr real x 3p
4x x− + = , de unde obținem 2x = 2p
3. ( )( )
1
5 2 5 2 2 2 2
3
x x x x= − − + = − + =
 , pentru orice număr real x 2p
( )( )
1
5 5 2 2 2 2 2
3
x x x x= − − + = − + =
 , pentru orice număr real x , deci 5e = este
elementul neutru al legii de compoziție „ 
 ”
3p
4. 2
10
3
n
N −
= , pentru orice număr natural n 2p
Cum N și n sunt numere naturale, obținem 1n = și 2n = 3p
5. 1 1 5x x= =
 
 , de unde obținem ( )
1 2 2 5
3 x− − + = 3p
7x = − 2p
6. ( )( )1
2 3 2 2 3 2 2
3
m p m p
= − − +
 , deci ( )( )1 2 2 3 2 2 4
3
m p
− − + = 2p
( )( )2 2 3 2 6m p
− − = și, cum m și p sunt numere naturale, obținem 3m = și 1p = 3p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 4
Barem de evaluare și de notare
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( )( )
2 0 2 0
5 det 5 2 2 0 5
5 2 5 2
A A
 
=  = = ⋅ − ⋅ = 
  3p
4 0 4= − = 2p
2. ( ) ( ) ( )
6 0 2 0 4 0 2 0
3 5 1 2 2 7
15 6 1 2 14 8 7 4
A A A
       
− = − = = =       
−        3p
( ) ( )2 2 7A x A= , de unde obținem 7x = 2p
3. ( ) 2 0
4 4 1
A  
=  
 
, ( ) ( ) ( )2
4 0 2 0 6 0
4 4 2 3 4
12 1 0 2 12 3
A A I A
     
⋅ + = + = =     
      3p
( ) ( )3 4 4A mA= , de unde obținem 3m = 2p
4.
( ) ( )2
2 2
4 0
6
A x A x x x x x
 
+ =   + + − 
, de unde obținem ( ) ( )( ) ( )2 2
det 4 6A x A x x x+ = + − ,
pentru orice număr real x
2p
( )2
4 6 0x x+ − = , de unde obținem 3x = − sau 2x = 3p
5. ( ) ( ) 4 0
2 3 3 3 9
A x A a x ax a ax a x
 
⋅ =  
+ − − − + 
, deci suma elementelor matricei ( ) ( )A x A a⋅
este egală cu 2 6 13ax x a− − + , pentru orice numere reale x și a
2p
( )2 1 6 13x a a b− − + = , pentru orice număr real x , de unde obținem 1
2
a = și 10b = 3p
6. a
C b
 
=  
 
, unde a și b sunt numere reale, de unde obținem ( ) 2
5 5 2
a
A C a b
 
⋅ =  
+  2p
2 4
5 2 0
a
a b
   
=   
+   
, de unde obținem 2a = și 5b = − , deci 2
5
C  
=  
−  3p