Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2026 – sesiunea specială, 19 mai 2026, varianta 2

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 2
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 2
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 8 1
2 1 1
3 6
 
− ⋅ − = 
  .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 7 5f x x= + . Determinați numărul real m pentru care
( ) 26f m = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 1 5
3 3x x− −
= .
5p 4. După o ieftinire cu 65% , un obiect costă 70 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de
ieftinire.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,3A , ( )8,6B și C , mijlocul segmentului OB .
Determinați distanța dintre punctele A și C .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 6AC AB= ⋅ și aria egală cu 12 . Arătați că
2AB = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 2
2 4
x
A x x x
 
=  
+ 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 1A = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( )3 3 1 2 4A A A− = .
5p c) Determinați numărul real x pentru care ( ) ( ) ( ) ( )0 0 4 0A A x A xA⋅ ⋅ = .
2. Se consideră polinomul 3 2
4 2f X X aX= − + − , unde a este număr real.
5p a) Pentru 5a = , arătați că ( )1 0f = .
5p b) Pentru 3a = , arătați că 1 2 3 1 2 1 3 2 32 2 2 8x x x x x x x x x+ + + = , unde 1x , 2x și 3x sunt rădăcinile
polinomului f .
5p c) Se consideră polinoamele 3g X= − și 2h X= + . Determinați numărul real a pentru care restul
împărțirii polinomului f la g este egal cu restul împărțirii polinomului g la h .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
2 1
6
x
f x x
+
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )
( )22
2 3 2
'
6
x x
f x
x
+ −
=
+
, x ∈ ℝ .
5p b) Arătați că ( )( )lim 2
x
x f x
→+∞
⋅ = .
5p c) Determinați numerele reale a pentru care tangenta la graficul funcției f în punctul de abscisă
x a= , situat pe graficul funcției f , are panta egală cu 0 .
2. Se consideră funcția ( ): 4,f − +∞ → ℝ , ( ) 4
4
x
f x x
= + .
5p a) Arătați că ( )
2
0
4 8f x x dx⋅ + = .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 2
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
5p b) Arătați că ( )
12
5
1 4
2 f x dx
x ⋅ = .
5p c) Se consideră ( )0,a ∈ +∞ și funcția [ ]: , 8g a a + → ℝ , ( ) ( )
4
f x
g x x
= . Determinați ( )0,a ∈ +∞
pentru care volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției g în jurul axei Ox este egal cu
( )4 2 ln 2
π − .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 2
Barem de evaluare și de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 2
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 8 1 8 5
2 1 2
3 6 3 6
 
− ⋅ − = − ⋅ = 
  3p
8 5 1
3 3
= − = 2p
2. ( ) 7 5f m m= + , pentru orice număr real m 3p
7 5 26m + = , de unde obținem 3m = 2p
3. 2 1 5x x− = − 3p
2x = 2p
4. 65 70
100
x x− ⋅ = , unde x este prețul înainte de ieftinire 3p
200x = de lei 2p
5. ( )4,3C 2p
3AC = 3p
6. 6 12
2
AB AB⋅ ⋅ = 3p
2 2 12 4
6
AB ⋅
= = , de unde obținem 2AB = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( )
1 2 1 2
1 det 1 1 5 2 2
2 5 2 5
A A
 
=  = = ⋅ − ⋅ = 
  3p
5 4 1= − = 2p
b) ( ) 3 2
3 6 7
A  
=  
 
, ( ) ( ) 8 4
3 3 1 16 16
A A  
− = = 
  3p
( )
4 2
2 2 4
8 8 A
 
= = 
  2p
c) ( ) 0 2
0 0 4
A  
=  
 
, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 8 16 0A A x A x A⋅ ⋅ = + , pentru orice număr real x 3p
( ) ( ) ( )8 16 0 4 0x A xA+ = , de unde obținem 8 16 4x x+ = , deci 4x = − 2p
2.a) ( )3 2 3 2
4 5 2 1 1 4 1 5 1 2f X X X f= − + −  = − ⋅ + ⋅ − = 3p
1 4 5 2 0= − + − = 2p
b) 1 2 1 3 2 3 3x x x x x x+ + = , 1 2 3 2x x x = 2p
( )1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 32 2 2 2 2 2 3 8x x x x x x x x x x x x x x x x x x+ + + = + + + = + ⋅ = 3p
c) ( )2 5g − = − , ( )3 3 11f a= − , pentru orice număr real a 3p
3 11 5a − = − , de unde obținem 2a = 2p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 2
Barem de evaluare și de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( ) ( )
( )
2
22
2 6 2 1 2
'
6
x x x
f x
x
+ − + ⋅
= =
+
3p
( )
( )( )
( )
2
2 22 2
2 3 22 2 12
6 6
x xx x
x x
+ −− − +
= =
+ +
, x ∈ ℝ 2p
b)
( )( ) ( ) 2
2 2
2
1
2
2 1
lim lim lim 66 1
x x x
x
x x x
x f x x x x
→+∞ →+∞ →+∞
 
+ +  ⋅ = = =
 + + 
 
3p
2
1
2
lim 2
6
1
x
x
x
→+∞
+
= =
+
2p
c) Tangenta la graficul funcției f în punctul de abscisă x a= , situat pe graficul funcției f ,
are panta egală cu ( )0 ' 0f a⇔ = 2p
( )( )
( )22
2 3 2 0 3
6
a a a
a
+ − = ⇔ = −
+
sau 2a = 3p
2.a)
( )
2 2 2
0 0
2
4 4 2 0
f x x dx xdx x⋅ + = = =  3p
8 0 8= − = 2p
b)
( ) ( )12 12 12
5 5 5
124 '1 4 4 4 4
2 2 4 2 4 5
x
f x dx dx dx x
x x x
+
⋅ = = = + =
+ +
   3p
16 12 4= − = 2p
c)
( ) 4
x
g x x
= + , [ ], 8x a a∈ + , deci ( )( )
8 8
2 4
1 4
a a
a a
V g x dx dx
x
π
π
+ +  
= = − = 
+ 
 
( )( ) 8 12
4ln 4 8 4ln 4
a a
x x aa
π
π
+ + 
= − + = − 
+ 
3p
( )
12
4 2 ln 4 2 ln 2
4
a
a
π
π
+ 
− = − 
+  , de unde obținem 4a = , care convine 2p