Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2026 – sesiunea iunie–iulie, 1 iulie 2026, varianta 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 3
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 3
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați termenul 3a al progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ în care 1 10a = și 2 18a = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2f x x= − . Arătați că ( ) ( ) ( )4 3 2 0f f f− − = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 4 2
7 7x x− −
= .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de o cifră,
acesta să verifice inegalitatea 20 2 15n− < .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,1A , ( )2, 4M și ( ),B a b , unde a și b sunt
numere reale. Determinați numerele reale a și b , știind că punctul M este mijlocul segmentului
.AB
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 15AB = și măsura unghiului B egală cu 30 .°
Arătați că 10 3BC = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 1
1 2
x
A x x
 
=  
− 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 4 5A = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( )2 1 4 3 2A A A+ = .
5p c) Determinați numerele reale x și y pentru care ( ) ( ) ( )A x A x A y− ⋅ = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( )( )4 4 2x y x y∗ = − − + .
5p a) Arătați că 0 3 6∗ = .
5p b) Determinați numărul real x pentru care 2 2x∗ = .
5p c) Determinați perechile ( ),m n de numere întregi pentru care ( ) ( )2 2 1 10m n∗ + = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 4 3 2
3 4 12 1f x x x x= − − − .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 12 1 2f x x x x= + − , x ∈ ℝ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 0x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstrați că 4 3 2
3 5 4 12x x x+ ≥ + , pentru orice ( ],0x ∈ −∞ .
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 1 x
f x x xe= + + .
5p a) Arătați că ( )( )
4
0
12x
f x xe dx− = .
5p b) Arătați că ( )( )
1
0
1 1f x x dx− − = .
5p c) Se consideră funcția [ ]: 0,1g → ℝ , ( ) ( )
( )
'f x
g x f x
= . Arătați că volumul corpului obținut prin
rotația graficului funcției g în jurul axei Ox este egal cu ( )1
2
e
e
π +
+ .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 3
Barem de evaluare și de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 3
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 1 8r a a= − = , unde r este rația progresiei aritmetice 3p
3 18 8 26a = + = 2p
2. ( )4 6f = , ( )3 4f = , ( )2 2f = 3p
( ) ( ) ( )4 3 2 6 4 2 0f f f− − = − − = 2p
3. 3 4 2x x− = − 3p
1x = 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de o cifră are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile 2p
În mulțimea numerelor naturale de o cifră sunt 7 numere n pentru care 20 2 15n− < , deci
sunt 7 cazuri favorabile, de unde obținem 7
10
p = 3p
5. 1 2
2
a+ = , 1 4
2
b+ = 3p
3a = și 7b = 2p
6. cos AB
B BC
= , deci 3 15
2 BC
= 3p
2 15 10 3
3
BC ⋅
= = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( )
4 1 4 1
4 det 4 4 2 1 3
3 2 3 2
A A
 
=  = = ⋅ − ⋅ = 
  3p
8 3 5= − = 2p
b) ( ) 1 1
1 0 2
A  
=  
 
, ( ) ( ) 6 3
2 1 4 3 6
A A  
+ = = 
  3p
( )
2 1
3 3 2
1 2 A
 
= = 
  2p
c)
( ) 1
1 2
x
A x x
− 
− =  
− − 
, ( ) ( ) 2
2
1 2
2 3
x x x
A x A x
x x x
 − + − − +
 − ⋅ =  − + − − + 
, pentru orice număr real x 3p
2
2
1 2 1
1 22 3
x x x y
yx x x
 − + − − +  
  =    − − + − − + 
, de unde obținem 1x = și 1y = − 2p
2.a) ( )( )0 3 4 0 4 3 2∗ = − − + = 3p
4 2 6= + = 2p
b) 2 2 10x x∗ = − + , pentru orice număr real x 3p
2 10 2x− + = , de unde obținem 4x = 2p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 3
Barem de evaluare și de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) ( ) ( ) ( )( )2 2 1 4 2 3 2 2m n m n∗ + = − − + 2p
( )( )4 2 3 2 8m n− − = și, cum m și n sunt numere întregi, obținem perechile ( )2,1− și ( )6,2 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 3 2
' 12 12 24f x x x x= − − = 3p
( ) ( )( )2
12 2 12 1 2x x x x x x= − − = + − , x ∈ ℝ 2p
b) ( )0 1f = − , ( )' 0 0f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )0 ' 0 0y f f x− = − , adică 1y = − 3p
c) Pentru ( ],0x ∈ −∞ , ( )' 0 1f x x= ⇔ = − sau 0x = ; pentru orice ( ], 1x ∈ −∞ − , ( )' 0f x ≤ ,
deci f este descrescătoare pe ( ], 1−∞ − și, pentru orice [ ]1,0x ∈ − , ( )' 0f x ≥ , deci f este
crescătoare pe [ ]1,0−
3p
( ) ( )1f x f≥ − , pentru orice ( ],0x ∈ −∞ și, cum ( )1 6f − = − , obținem 4 3 2
3 5 4 12x x x+ ≥ + ,
pentru orice ( ],0x ∈ −∞ 2p
2.a)
( )( ) ( )
4 4 2
0 0
4 4
1 2 0 0
x x
f x xe dx x dx x− = + = + =  3p
8 4 12= + = 2p
b)
( )( ) ( )
1 1
0 0
1 1
'1 0 0
x x x
f x x dx x e dx xe e− − = = − =  3p
1 1e e= − + = 2p
c)
( )( ) ( )
( )( ) ( )
1 1
2
2
0 0
1' 1
0
f x
V g x dx dx f xf x
π
π
π  
= = = ⋅ − =  
 
  3p
( )11 1
2 2
e
e e
π
π + 
= − + = 
+ +  2p