Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2026 – sesiunea iunie–iulie, 1 iulie 2026, varianta 7, rezervă

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 7
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 7
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )3 2,9 1,7 0, 4 4⋅ − + = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x= − . Determinați numărul real m pentru care
( ) ( )0 0f f m+ = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 6 6x + = .
5p 4. Prețul unui obiect este de 500 de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu 30% .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0, 4M , ( )2,8N și ( )4,0P . Determinați distanța
dintre mijlocul segmentului MP și punctul N .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 10BC = și 2 5BC AB= . Arătați că
2 21AC = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și ( ) 1
1 1
x x
A x x x
− 
=  
+ + 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 2A = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( )2 1 7 3 3A A A+ = .
5p c) Determinați numerele reale x și y pentru care ( ) ( )( ) ( )2 22 1 2A x x I A yI− + ⋅ = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 1x y x y xy∗ = + − + .
5p a) Arătați că 2 3 0∗ = .
5p b) Determinați numărul real x pentru care 5 10x ∗ = .
5p c) Determinați numerele naturale nenule n pentru care numărul ( )
3 3N n
n
= ∗ + este natural.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 3 1 3lnf x x
x
= − + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
2
3 1
' x
f x x
−
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Arătați că ( )lim 0
x
f x
x→+∞ = .
5p c) Demonstrați că 1
ln 1x x
≥ − , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ .
2. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 4 3 6f x x x= + − .
5p a) Arătați că ( )( )
2
1
3 6 6f x x dx− + = .
5p b) Arătați că ( )4
1
4 12
x f x dx
x
− = .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 7
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
5p c) Demonstrați că orice primitivă ( ): 0,G +∞ → ℝ a funcției ( ): 0,g +∞ → ℝ , ( ) ( )g x f x x= ⋅ este
convexă.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 7
Barem de evaluare și de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 7
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )3 2,9 1,7 0, 4 3 1, 2 0, 4⋅ − + = ⋅ + = 2p
3,6 0, 4 4= + = 3p
2. ( )0 1f = − , ( ) 2 1f m m= − , pentru orice număr real m 3p
1 2 1 0m− + − = , de unde obținem 1m = 2p
3. 3 6 36x + = 3p
10x = , care convine 2p
4. 30 500 150
100 ⋅ = 3p
Prețul obiectului după scumpire este 500 150 650+ = de lei 2p
5. Mijlocul segmentului MP este punctul ( )2, 2Q 2p
6QN = 3p
6. 4AB = 3p
2 2 2
10 4 84AC = − = , de unde obținem 2 21AC = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( )
1 0 1 0
1 det 1 1 2 0 2
2 2 2 2
A A
 
=  = = ⋅ − ⋅ = 
  3p
2 0 2= − = 2p
b) ( ) 7 6
7 8 8
A  
=  
 
, ( ) ( ) 9 6
2 1 7 12 12
A A  
+ = = 
  3p
( )
3 2
3 3 3
4 4 A
 
= = 
  2p
c) ( ) ( ) 2
1 1
2 1 1
x x
A x x I x x
− − − 
− + =  
+ − 
, ( ) ( )( ) ( )2
5 2 4
2 1 2 2 2 1
x x
A x x I A x x
− − 
− + ⋅ =  
− + − + 
, pentru
orice număr real x
3p
5 2 4 0
2 2 1 0
x x y
x x y
− −   
=   
− + − +   
, de unde obținem 2x = și 3y = − 2p
2.a) 2 3 2 3 2 3 1∗ = + − ⋅ + = 3p
2 3 6 1 0= + − + = 2p
b) 5 4 6x x∗ = − + , pentru orice număr real x 3p
4 6 10x− + = , de unde obținem 1x = − 2p
c) ( )
3 6
3 1N n n
n n
= ∗ + = − + + , pentru orice număr natural nenul n 2p
N și n sunt numere naturale, de unde obținem 2n = , 3n = și 6n = 3p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 7
Barem de evaluare și de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2
1 1
' 3 3f x xx
 
= − + ⋅ = 
  3p
( )
2 2
3 13 3
x x
xx −−
= = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) ( ) ( ) ( )
2
' 3 1
lim lim lim
'x x x
f x f x x
x x x→+∞ →+∞ →+∞
−
= = = 3p
2
1 1
lim 3 0
x x x→+∞
 
= − = 
  2p
c) ( )' 0 1f x x= ⇔ = ; pentru orice ( ]0,1x ∈ , ( )' 0f x ≤ , deci f este descrescătoare pe ( ]0,1 și,
pentru orice [ )1,x ∈ +∞ , ( )' 0f x ≥ , deci f este crescătoare pe [ )1, +∞ 2p
( ) ( )1f x f≥ , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ și, cum ( )1 2f = , obținem ( ) 2f x ≥ , deci
1
ln 1 ,x x
≥ − pentru orice ( )0,x ∈ +∞ 3p
2.a)
( )( )
2 2 2
1 1
2
3 6 4 2 1
f x x dx xdx x− + = = =  3p
8 2 6= − = 2p
b) ( )4 4 4
1 1 1
4 44 3 6 3 6 6 6
1 1
x f x x
dx dx dx x x
x x x
− − + − 
= = + = − + = 
 
   3p
6 18 12= − + = 2p
c) ( ) ( )'G x g x= , ( )0,x ∈ +∞ ; ( ) ( ) ( ) 1
'' ' 4 4 3 6
2
G x g x x x x
= = + + ⋅ − = 3p
( )2
3 2 112 12 3 0
2 2
xx x
x x
−− +
= = ≥ , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ , de unde rezultă că G este
convexă
2p