Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2026 – sesiunea august–septembrie, 11 august 2026, varianta 4

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 4
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 4
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1 1 4
3 2
5 3 3
 
⋅ + + = 
  .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 3f x x= − . Determinați numărul real a pentru care
( ) ( )4 4f a f− = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 1 3
2 2x x− +
= .
5p 4. După o scumpire cu 20% , un obiect costă 48 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de
scumpire.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,5A și ( )6,8B . Arătați că 2OB AB= .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 4AB = și 6BC = . Arătați că aria triunghiului
ABC este egală cu 4 5 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 1 1
3 3 3 2
a
A a a a
− 
=  
− − 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 2 1A = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( )2 2 5 3 3A A A+ = .
5p c) Determinați matricea ( )2X ∈ ℝ
M pentru care ( ) ( ) ( )2 2 2 6X A A A⋅ − = .
2. Se consideră polinomul 3 2
3 2f X X X m= − − + , unde m este număr real.
5p a) Pentru 9m = , arătați că ( )1 7f − = .
5p b) Determinați numărul real m pentru care 2 este rădăcină a polinomului f .
5p c) Știind că restul împărțirii polinomului f la polinomul 4g X= − este egal cu 14 , determinați
rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 3,f − +∞ → ℝ , ( ) 2 5
3
x
f x x
−
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
2
2
6 5
'
3
x x
f x
x
+ +
=
+
, ( )3,x ∈ − +∞ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 1x = − , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției f .
2. Se consideră funcția ( ): 2,f − +∞ → ℝ , ( ) 2
x
e
f x x
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
1
0
2 1x f x dx e+ ⋅ = − .
5p b) Arătați că ( )6
0
2ln 2x
f x dx
e = .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 4
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
5p c) Determinați numărul real a pentru care ( )
1
0
1 4
a dx
f x e
 
− =  
 
 .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 4
Barem de evaluare și de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 4
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 1 4 1 10 4
3
5 3 3 5 3 3
 
⋅ + + = ⋅ + = 
  3p
2 4 2
3 3
= + = 2p
2. ( )4 5f = , ( ) 2 3f a a= − , pentru orice număr real a 3p
2 3 5 4a − − = , de unde obținem 6a = 2p
3. 1 3x x− = + 3p
1x = − 2p
4. 20 48
100
x x+ ⋅ = , unde x este prețul înainte de scumpire 3p
40x = de lei 2p
5. 10OB = 2p
5AB = , de unde obținem 2 5 2OB AB= ⋅ = 3p
6. 2 5AC = 3p
4 2 5 4 5
2 2
ABC
AB AC
∆
⋅ ⋅
= = =
A 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( )
1 1 1 1
2 det 2 1 4 1 3
3 4 3 4
A A
 
=  = = ⋅ − ⋅ = 
  3p
4 3 1= − = 2p
b) ( ) 1 4
5 12 13
A  
=  
 
, ( ) ( ) 3 6
2 2 5 18 21
A A  
+ = = 
  3p
( )
1 2
3 3 3
6 7 A
 
= = 
  2p
c) ( ) ( ) ( )2 2 6 2X A A A⋅ = + și, cum ( )( )det 2 0A ≠ , obținem ( ) ( )( ) ( )( ) 11 6 2 2
2
X A A A −
= + ⋅ 2p
( )( ) 1 4 1
2 3 1
A − − 
=  
− 
, ( ) ( ) 2 6
6 2 18 20
A A  
+ =  
 
, de unde obținem 5 2
6 1
X − 
=  
  3p
2.a) ( ) ( ) ( ) ( )3 23 2
3 2 9 1 1 3 1 2 1 9f X X X f= − − +  − = − − ⋅ − − − + = 3p
1 3 2 9 7= − − + + = 2p
b) ( )2 8f m= − + , pentru orice număr real m 3p
8 0m− + = , de unde obținem 8m = 2p
c) ( )4 14f = , de unde obținem 6m = , deci ( )( )3 2 2
3 2 6 3 2f X X X X X= − − + = − − 2p
Rădăcinile polinomului f sunt 1 3x = , 2 2x = − , 3 2x = 3p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 4
Barem de evaluare și de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
2
'5 3 5 3 '
'
3
x x x x
f x
x
− ⋅ + − − ⋅ +
= =
+
2p
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 3 5 1 6 5
3 3
x x x x x
x x
+ − − ⋅ + +
= =
+ +
, ( )3,x ∈ − +∞ 3p
b) ( )1 2f − = − , ( )' 1 0f − = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )1 ' 1 1y f f x− − = − + , adică 2y = − 3p
c)
( )
( )
2 2
5
1
5
lim lim lim 1
33 1
x x x
f x x x
x x x
x
→+∞ →+∞ →+∞
−
−
= = =
+ +
2p
( )( )
5 3
5 3
lim lim lim 3
33 1
x x x
x xf x x x
x
→+∞ →+∞ →+∞
− −
− −
− = = = −
+ +
, deci dreapta de ecuație 3y x= − este
asimptota oblică la graficul funcției f
3p
2.a)
( ) ( )
1 1
0 0
1
2 0
x x
x f x dx e dx e+ ⋅ = = =  3p
1 0 1e e e= − = − 2p
b) ( ) ( ) ( )
6 6
0 0
62 ' ln 2
2 0
x
f x x
dx dx x
xe
+
= = + =
+  3p
ln 8 ln 2 2 ln 2= − = 2p
c)
( ) ( ) ( )( ) ( )
1 1 1
0 0 0
1 1 11 '2 2 2
0 0 0
x x x x
a dx ax x e dx a x e dx a x e e
f x
− − − − 
− = − + = − + − = + + + =  
 
   3p
4
3a e
= − + , deci 4 4
3a e e
− + = , de unde obținem 3a = 2p