Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2026 – sesiunea august–septembrie, 11 august 2026, varianta 5, rezervă

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 5
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 5
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1 2
1 : 2 1
5 5
 
+ + = 
  .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 4 2f x x= − . Determinați numărul real a pentru care
( ) ( )2 1f a f= ⋅ .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 6 7 5x + = .
5p 4. Se consideră mulțimea { }11,12,13,14,15,16,17,18,19, 20A = . Determinați probabilitatea ca,
alegând un număr din mulțimea A , acesta să fie multiplu de 4 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )4,0A , ( )2,6B și C , mijlocul segmentului AB .
Arătați că 3 2OC = .
5p 6. Arătați că ( )2
2 sin 60 sin 45 cos 45 2° + ° ⋅ ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 2 1
1 3
a a
M a a a
− 
=  
+ + 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 2 17M = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( )4 2 5 3 1M M M− = .
5p c) Demonstrați că numărul ( ) ( ) ( ) ( )( )det 0 1 0N M M n M M= ⋅ − ⋅ este pătratul unui număr natural,
pentru orice număr natural n .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 3 2x y x y xy= − + .
5p a) Arătați că 2 2 6= .
5p b) Determinați numărul real x pentru care 3 3x = .
5p c) Determinați numerele întregi m pentru care ( )m m m m− >  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 3 2
3 24 21f x x x x= + − + .
5p a) Arătați că ( ) ( )' 3 2 ( 4)f x x x= − + , x ∈ ℝ .
5p b) Arătați că ( )3
21
lim 18
x
x f x
x x→
− =
− .
5p c) Demonstrați că 3 2
28 3 24 80x x x− ≤ + − ≤ , pentru orice [ ]4,3x ∈ − .
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 5 4f x x= − .
5p a) Arătați că ( )( )
1
1
4 0f x dx
−
+ = .
5p b) Arătați că
( )
4
1
1 6
5
dx
f x = .
5p c) Determinați numărul real a pentru care ( )
1
ln 8
e f ax x dx
x ⋅ = .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 5
Barem de evaluare și de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 5
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 2 6 2
1 : 2 : 2
5 5 5 5
 
+ + = + = 
  3p
3 2 1
5 5
= + = 2p
2. ( )1 2f = , ( ) 4 2f a a= − , pentru orice număr real a 3p
4 2 4a− = , de unde obținem 0a = 2p
3. 6 7 25x + = 3p
3x = , care convine 2p
4. Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile 2p
În mulțimea A sunt 3 multipli de 4 , deci sunt 3 cazuri favorabile, de unde obținem 3
10
p = 3p
5. ( )3,3C 2p
18 3 2OC = = 3p
6. 3
sin 60 2
° = , 2
sin 45 2
° = , 2
cos 45 2
° = 3p
( )
2
2 3 2 2 3 1
2 sin 60 sin 45 cos 45 2 2
2 2 2 2 2
 
° + ° ⋅ ° = ⋅ + ⋅ = + =  
 
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( )
4 1 4 1
2 det 2 4 5 3 1
3 5 3 5
M M
 
=  = = ⋅ − ⋅ = 
  3p
20 3 17= − = 2p
b) ( ) 10 4
5 6 8
M  
=  
 
, ( ) ( ) 6 0
4 2 5 6 12
M M  
− = = 
  3p
( )
2 0
3 3 1
2 4 M
 
= = 
  2p
c) ( ) 0 1
0 1 3
M − 
=  
 
, ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 0 2
0 1 0 5 3 4 8 4 10
n n
M M n M M n n
− − − − −   
⋅ − ⋅ = − =   
+ +   
1 1
5 1 4 2
n n
n n
− − − − 
=  
− − 
, pentru orice număr natural n
2p
( )( ) ( )( ) ( )2
1 4 2 1 5 1 1N n n n n n= − − − − − − − = + , deci N este pătratul unui număr natural,
pentru orice număr natural n 3p
2.a) 2 2 3 2 2 2 2 2= ⋅ − ⋅ + ⋅ =
 3p
6 4 4 6= − + = 2p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 5
Barem de evaluare și de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
b) 3 9x x= +
 , unde x este număr real 3p
9 3x+ = , de unde obținem 6x = − 2p
c) ( ) 2
5m m m m− = − −
 , 2
m m m m= +
 , pentru orice număr întreg m 2p
2 2 2
5 3 0m m m m m m− − > + ⇔ + < și, cum m este număr întreg, obținem 2m = − și 1m = − 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )3 2' ' '' 3 24 ' 21f x x x x= + ⋅ − ⋅ + = 2p
( )( )2
3 6 24 3 2 4x x x x= + − = − + , x ∈ ℝ 3p
b) ( ) ( )( )
( )
3 2
2 21 1 1
3 1 73 24 21
lim lim lim 1x x x
x f x x xx x
x xx x x x→ → →
− − − −− + −
= = =
−− − 3p
( )
1
3 7
lim 18
x
x
x→
− −
= = 2p
c) ( )' 0 4f x x= ⇔ = − sau 2x = ; pentru orice [ ]4, 2x ∈ − , ( )' 0f x ≤ , deci f este
descrescătoare pe [ ]4, 2− și, pentru orice [ ]2,3x ∈ , ( )' 0f x ≥ , deci f este crescătoare pe
[ ]2,3
3p
Cum ( )4 101f − = , ( )2 7f = − și ( )3 3f = , obținem ( )7 101f x− ≤ ≤ , pentru orice
[ ]4,3 ,x ∈ − de unde rezultă 3 2
28 3 24 80x x x− ≤ + − ≤ , pentru orice [ ]4,3x ∈ − 2p
2.a)
( )( )
1 1 2
1 1
15
4 5 2 1
x
f x dx xdx
− −
+ = = =
−
  3p
5 5 0
2 2
= − = 2p
b)
( )
( )4 4 4
1 1 1
4'5 41 1 2 2 5 4
5 55 4 2 5 4 1
x
dx dx dx x
x xf x
−
= = = − =
− −
   3p
8 2 6
5 5 5
= − = 2p
c) ( ) ( )
1 1 1 1
5 4 'ln ln 5 ' ln 4 ln ln
e e e e
f ax ax
xdx x dx a x x dx x x dx
x x
−
⋅ = ⋅ = ⋅ − ⋅ =    2p
2
5 ln 2ln 5 2
1 1 1
e e e
a x x x x a
 
 = − − = −
 
 
, deci 5 2 8a − = , de unde obținem 2a = 3p