Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2026 – sesiunea specială, 19 mai 2026, varianta 2

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_șt-nat
Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( ) ( )2 2 3 2 3 1 2 2 7+ + − = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 3 10f x x= − . Determinați numărul real a pentru care
( ) ( )2 3f a f a= − .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2
4 6 5 3x x x− + = .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să aibă suma cifrelor cel mult egală cu 3 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,3A , ( )1,5B și ( )6,0C . Arătați că triunghiul
ABC este dreptunghic în A .
5p 6. Se consideră expresia ( ) cos sin 3 sin 2E x x x x= ⋅ − , unde x este număr real. Arătați că 0
6
E
π  = 
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și ( ) 2 1 0
4 1
x
A x x x
+ 
=  
+ 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 6A = .
5p b) Determinați numărul real x pentru care ( ) ( ) ( )22 1 4A A I A x− ⋅ − = .
5p c) Demonstrați că ( ) 2
1
det 2 8A x A I
x
  
+ − ≥  
   , pentru orice număr real nenul x .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 2 2 1x y x xy x y= − − + + .
5p a) Arătați că 1 1 2= .
5p b) Determinați numerele reale x pentru care ( )2 1x x = .
5p c) Determinați perechile ( ),m n de numere naturale pentru care m n m= .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) ( ) 2
1f x x x x
= − + .
5p a) Arătați că ( ) 2
3 2
' 2
x x
f x x x
− −
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Arătați că ( )
1
' 1
lim 5 5 2x
x f x
x→
⋅ =
− .
5p c) Determinați imaginea funcției f .
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) ( )2 x
f x x x e= + .
5p a) Arătați că ( )1
0
5
6x
f x dx
e = .
5p b) Arătați că ( ) ( )
2
1
2 1
f x dx e e
x = − .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p c) Determinați numărul real a pentru care ( )
( ) ( )
4
2
5 ln 3
1
x f x dx ae
f x = +
− .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 2
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_șt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( )2 2 3 2 3 1 2 2 6 2 2 2 2 3 6 2+ + − = + ⋅ + − = 2p
4 3 7= + = 3p
2. ( )2 6 10f a a= − , ( ) 3 10f a a= − , pentru orice număr real a 2p
6 10 3 10 3a a− = − − , de unde obținem 1a = − 3p
3. 2 2
4 6 5 3x x x− + = , de unde obținem 2 6 5 0x x− + = 2p
1x = sau 5x = , care convin 3p
4. În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri
posibile 2p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 6 numere care au suma cifrelor cel mult
egală cu 3 , deci sunt 6 cazuri favorabile, de unde obținem 6 1
90 15
p = = 3p
5. 2ABm = 2p
1
2
ACm = − și, cum 1AB ACm m⋅ = − , obținem că triunghiul ABC este dreptunghic în A 3p
6. 3
cos 6 2
π = , sin 1
2
π = , 3
sin 3 2
π = 3p
3 3
1 0
6 2 2
E
π  = ⋅ − = 
  2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( )
3 0 3 0
1 det 1 3 2 0 4
4 2 4 2
A A
 
=  = = ⋅ − ⋅ = 
  3p
6 0 6= − = 2p
b) ( ) 3 0
2 8 1
A − 
− =  
− − 
, ( ) ( ) 2
9 0 4 0
2 1 4 28 2 0 4
A A I −   
− ⋅ − = − =   
− −    2p
( )
( ) ( )
2 7 1 013 0 7
4 7 7 128 6 A
 ⋅ − + − 
= = = −   ⋅ − − +− −   
, deci ( ) ( )7A x A= − , de unde obținem 7x = − 3p
c)
( ) 2
2
2 0
1 2 4 1
4
x x
A x A I
x x x
x x
 
+  
+ − =   
   + + 
 
, ( ) 2
1 2 1
det 2 2A x A I x x
x x x
     
+ − = + + =     
      2p
2
2
2
1 1
2 2 2 4 8x x xx
    
 = + + = − + ≥        
, pentru orice număr real nenul x 3p
2.a) 2
1 1 1 1 1 1 2 1 1= − ⋅ − + ⋅ + =
 3p
1 1 1 2 1 2= − − + + = 2p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 2
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 2 din 2
b) ( ) 2
2 3 1x x x x= − + +
 , pentru orice număr real x 2p
2 3 1 1x x− + + = , deci 2 3 0x x− + = , de unde obținem 0x = sau 3x = 3p
c) 2 2 1m n m mn m n= − − + +
 , deci 2 2 2 1m mn m n− − + = − 2p
( )( )2 1m m n− − = − și, cum m și n sunt numere naturale, obținem perechile ( )1,0 și ( )3, 4 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )
1
2
1 2' 1 2
xf x x x xx
− ⋅
= + − ⋅ + = 3p
2 2 2
2 2 3 2
2 2
x x x x x
x x x x
+ − − − −
= = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) ( )
( )
( )( )
( )
2
1 1 1
' 3 2 13 2
lim lim lim
5 5 2 5 5 10 1x x x
x f x x xx x
x x x x x→ → →
⋅ + −− −
= = =
− − − 3p
1
3 2 1
lim 10 2x
x
x→
+
= = 2p
c) ( )' 0 1f x x= ⇔ = ; pentru orice ( ]0,1x ∈ , ( )' 0f x ≤ , deci f este descrescătoare pe ( ]0,1 și,
pentru orice [ )1,x ∈ +∞ , ( )' 0f x ≥ , deci f este crescătoare pe [ )1, +∞ 2p
( )lim
x
f x
→+∞
= +∞ , ( )1 2f = și f este continuă, de unde obținem că imaginea funcției f este
[ )2, +∞ 3p
2.a) ( ) ( )
1 1 3 2
2
0 0
1 1
3 20 0
x
f x x x
dx x x dx
e = + = + =  3p
1 1 5
3 2 6
= + = 2p
b) ( ) ( )( )
2 2
1 1
2
'1 1
x xf x dx x e dx xe
x = + = =  3p
( )2
2 2 1e e e e= − = − 2p
c) ( )
( ) ( ) ( )
4 4 42 2
2 2 2
42
2 2 2ln 1 2 5 ln 3
1 1 1 2 2
x f x x x x
dx e dx e x dx e x x e
f x x x
 +  
= = + + = + + − = +    − − −   
   3p
( ) ( )5 ln 3 2 5 ln 3ae e+ = + , de unde obținem 2a = 2p