Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2026 – sesiunea iunie–iulie, 1 iulie 2026, varianta 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_șt-nat
Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )4,9 3, 4 : 3 2,5 3− + = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 21f x x= − . Determinați numărul real a pentru care punctul
( )3 ,A a a− aparține graficului funcției f .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( ) ( )2
7 7log 1 2 log 3x x x+ − = − .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să fie multiplu impar de 11 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,5A , ( )2,0B și ( )4,2C . Arătați că triunghiul
ADC este isoscel, unde punctul D este mijlocul segmentului BC .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 1
tg 3
B = și aria egală cu 24 . Arătați că 4.AC =
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
  și ( ) 2 2
3 1
a a
A a a
+ − 
=  
−  , unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 2A = .
5p b) Determinați numărul real x pentru care ( ) ( ) ( )( )2 20 6 2 2A I A A xI⋅ − − − = .
5p c) Determinați matricea ( )2X ∈ ℝ
M pentru care ( ) ( ) 21 1 4A X A I⋅ ⋅ = .
2. Se consideră polinomul 3 2f X aX a= − + + , unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )1 3f = , pentru orice număr real a .
5p b) Determinați numărul real a pentru care polinomul f este divizibil cu polinomul 2g X= + .
5p c) Determinați numărul real a pentru care 3 3 3
1 2 3 1 2 1 3 2 3x x x x x x x x x+ + = + + , unde 1x , 2x și 3x sunt
rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) ( )2
2 3x
f x e x x= − .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 2 3 1x
f x e x x= + − , x ∈ℝ .
5p b) Arătați că ( )
( )0
lim 2
x
f x x
f x x→
− =
+ .
5p c) Determinați numerele reale a pentru care tangenta la graficul funcției f în punctul de abscisă
x a= , situat pe graficul funcției f , are panta egală cu 0 .
2. Se consideră funcția ( ): 1,f − +∞ → ℝ , ( ) ( )2
2 4 1f x x x x= + + .
5p a) Arătați că ( )3
0
36
1
f x dx
x =
+
 .
5p b) Arătați că ( )
8 2
3
2 1
x x dx
f x
+ = .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p c) Se consideră funcția ( ): 0,g +∞ → ℝ , ( ) ( )
4 1x
g x f x
+
= . Determinați aria suprafeței plane delimitate
de graficul funcției g , axa Ox și dreptele de ecuații 1x = și 4x = .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 3
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_șt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )4,9 3, 4 : 3 2,5 1,5 : 3 2,5− + = + = 2p
0,5 2,5 3= + = 3p
2. ( )3f a a− = 2p
6 21a a− − = , de unde obținem 3a = − 3p
3. 2
1 2 3x x x+ − = − , de unde obținem 2 3 2 0x x− + = 2p
1x = sau 2x = , care convin 3p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri
posibile 2p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 5 multipli impari de 11 , deci sunt 5 cazuri
favorabile, de unde obținem 5 1
90 18
p = = 3p
5. ( )3,1D , 5AD = 3p
5AC = , deci triunghiul ADC este isoscel 2p
6. 1
3
AC
AB = , deci 3AB AC= 2p
24
2
AB AC⋅ = , deci 2 16AC = , de unde obținem 4AC = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( ) ( ) ( )
4 1 4 1
1 det 1 4 1 1 2
2 1 2 1
A A
− − 
=  = = ⋅ − − ⋅ − = 
− −  3p
4 2 2= − = 2p
b) ( ) 2 0
0 3 1
A  
=  
−  , ( ) ( )2
2 0
6 2 2 6 4
I A A  
− − − =  
  , ( ) ( ) ( )( )2 2
4 0
0 6 2 2 4
0 4
A I A A I
 
⋅ − − − = = 
  3p
2 24I xI= , de unde obținem 4x = 2p
c) Cum ( )( )det 1 0A ≠ , ( )( ) ( )( )1 1
4 1 1X A A
− −
= ⋅ 2p
( )( ) 1 1 1
1 2 2
1 2
A −  
 =   
 
, de unde obținem 3 5
10 18
X  
=  
  3p
2.a) ( ) 3
1 1 1 2f a a= − ⋅ + + = 3p
1 2 3= + = , pentru orice număr real a 2p
b) ( )2 3 6f a− = − , pentru orice număr real a 3p
3 6 0a − = , de unde obținem 2a = 2p
c) 1 2 3 0x x x+ + = , 1 2 1 3 2 3x x x x x x a+ + = − , pentru orice număr real a 2p
( )1 0f x = , ( )2 0f x = , ( )3 0f x = , de unde rezultă 3 3 3
1 2 3 3 6x x x a+ + = − − , deci
3 6a a− − = − , de unde obținem 3a = − 3p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 3
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )2
' 2 3 4 3x x
f x e x x e x= − + − = 3p
( ) ( )( )2
2 3 2 3 1x x
e x x e x x= + − = + − , x ∈ ℝ 2p
b) ( )
( )
( )( )
( )( )0 0
'
lim lim 'x x
f x xf x x
f x x f x x→ →
−− = =
+ + 2p
( )( )
( )( )0
2 3 1 1 3 1
lim 2
3 12 3 1 1
x
xx
e x x
e x x→
+ − − − −
= = =
− ++ − + 3p
c) ( )' 0f a = , deci ( )( )2 3 1 0a
e a a+ − = 3p
3
2
a = − sau 1a = 2p
2.a) ( ) ( )
3 3 3
2 2
0 0
3 32
2 4 2
31 0 0
f x x
dx x x dx x
x = + = + =
+
  3p
18 18 36= + = 2p
b)
( )
( )8 8 82
3 3 3
81 '2 1 1
2 1 2 1 3
xx x dx dx dx x
f x x x
++ = = = + =
+ +
   3p
3 2 1= − = 2p
c)
( ) 2
2
2
g x x x
= + , ( )0,x ∈ +∞ , deci ( ) ( )
4 4 4
1 1 1
2 1 1
2 2
g x dx dx dx
x x x x
 
= = = − = 
+ + 
  
A 3p
( )
4 4
ln ln 2 ln 2
1 1
x x= − + = 2p