Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2026 – sesiunea august–septembrie, 11 august 2026, varianta 4

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_șt-nat
Varianta 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numerele complexe 1 2 3z i= − și 2 1 2z i= − . Arătați că 1 2 4i z z+ = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 3f x x= + . Determinați numărul real a pentru care
( ) ( )2f a a f a+ = + .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2
2 2x x x= − + .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de o cifră,
acesta să verifice inegalitatea 2
3 100n > .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )6,0A , ( )8, 2B și ( )1,9C . Determinați distanța
dintre punctul C și mijlocul segmentului AB .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , cu 9AC = și 3
B
π
= . Arătați că raza cercului circumscris
triunghiului ABC este egală cu 3 3 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ), 4
x y xy
A x y x y
+ 
=  
+  , unde x și y sunt numere reale.
5p a) Arătați că ( )( )det 1, 2 1A = .
5p b) Arătați că matricea ( ),A x y este inversabilă, pentru orice numere reale distincte x și y .
5p c) Determinați numerele reale x și y pentru care ( ) ( ) ( ), 2 , 2 4 ,0A x A x A y⋅ = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 5 2
x y
x y xy
+
∗ = − + .
5p a) Arătați că 1 3 6∗ = .
5p b) Determinați numărul real x pentru care 5 2x x∗ = .
5p c) Determinați perechile ( ),m n de numere naturale pentru care ( ) ( ) 2
m n m n m− ∗ + = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
2
8 2
2
x x
f x x
+ −
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )
( )22
8 1 2
'
2
x x
f x
x
+ −
=
+
, x ∈ℝ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Demonstrați că ( ) ( )2 2f x f y− ≤ − ≤ , pentru orice [ ], 4,0x y ∈ − .
2. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2
5 3 lnf x x x= − + .
5p a) Arătați că ( )( )
2
1
26
ln 3
f x x dx− = .
5p b) Arătați că ( )( )2
1
1 1
5 3 2
e
f x x dx
x ⋅ − + = .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p c) Determinați numărul real m pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției
( ): 0,g +∞ → ℝ , ( ) ( ) 3f x
g x x
+
= , axa Ox și dreptele de ecuații 1x = și 4x = este egală cu
58 ln 2m+ .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 4
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_șt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) 2
1 2 2 3 1 2 2 3 1 2iz z i i i i i i+ = − + − = − + − = 2p
3 1 4= + = 3p
2. ( )2 5f a a+ = + , ( ) 3f a a= + , pentru orice număr real a 2p
5 3a a a+ = + + , de unde obținem 2a = 3p
3. 2
2 2x x x= − + , de unde obținem 2 3 2 0x x− + = 2p
1x = sau 2x = , care convin 3p
4. Mulțimea numerelor naturale de o cifră are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile 2p
În mulțimea numerelor naturale de o cifră sunt 4 numere n care verifică inegalitatea
2
3 100n > , deci sunt 4 cazuri favorabile, de unde obținem 4 2
10 5
p = = 3p
5. Mijlocul segmentului AB este ( )7,1M 3p
2 2
6 8 100 10CM = + = = 2p
6. 9
2 sin sin
AC
R B B
= = , unde R este raza cercului circumscris triunghiului ABC 3p
Cum 3
sin 3 2
π = , obținem 3 3R = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( )
3 2 3 2
1, 2 det 1, 2 3 3 2 4
4 3 4 3
A A
 
=  = = ⋅ − ⋅ = 
  3p
9 8 1= − = 2p
b) ( )( ) ( ) ( )2 2
det , 4
4
x y xy
A x y x y xy x y
x y
+
= = + − = −
+ , pentru orice numere reale x și y 3p
Cum x y≠ , obținem ( )( )det , 0A x y ≠ , deci matricea ( ),A x y este inversabilă, pentru orice
numere reale distincte x și y 2p
c)
( ) 2 2
, 2 4 2
x x
A x x
+ 
=  
+ 
, ( ) ( ) 2 2
2
12 4 4 8
, 2 , 2
8 16 12 4
x x x x
A x A x
x x x
 + + +
 ⋅ =  + + + 
, ( ) 4 0
4 ,0 ,
16 4
y
A y y
 
= 
 
pentru orice numere reale x și y
3p
0x = și 1y = 2p
2.a) 1 3
1 3 5 1 3
2
+
∗ = − + ⋅ = 3p
5 2 3 6= − + = 2p
b) 9 5
5 2
x
x +
∗ = , pentru orice număr real x 3p
9 5 2
2
x x
+ = , de unde obținem 1x = − 2p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 4
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 2 din 2
c) ( ) ( ) 2 2
5m n m n m m n− ∗ + = − + − , deci 2 5m n+ = 2p
Cum m și n sunt numere naturale, obținem perechile ( )1,2 , ( )4,1 și ( )5,0 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( ) ( )
( )
2 2
22
2 8 2 8 2 2
'
2
x x x x x
f x
x
+ + − + − ⋅
= =
+
3p
( )
( )( )
( )
2
2 22 2
8 1 28 8 16
2 2
x xx x
x x
+ −− + +
= =
+ +
, x ∈ ℝ 2p
b) 2
2 2 2
2 2
22
8 2 8 2
1 1
8 2
lim lim lim 1
222 11
x x x
x
x x x xx x
x x xx
→+∞ →+∞ →+∞
 
+ − + − + −  = = =
 + ++ 
 
3p
Dreapta de ecuație 1y = este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcției f 2p
c) ( )' 0 1f x x= ⇔ = − sau 2x = ; pentru orice [ ]4, 1x∈ − − , ( )' 0f x ≤ , deci f este
descrescătoare pe [ ]4, 1− − și, pentru orice [ ]1,0x∈ − , ( )' 0f x ≥ , deci f este crescătoare pe
[ ]1,0−
2p
[ ], 4,0x y ∈ − și, cum ( )4 1f − = − , ( )1 3f − = − , ( )0 1f = − , obținem ( )3 1f x− ≤ ≤ − și
( )3 1f y− ≤ ≤ − , deci ( ) ( )2 2f x f y− ≤ − ≤ , pentru orice [ ], 4,0x y ∈ − 3p
2.a)
( )( ) ( )
2 2 3
2
1 1
2 25
ln 5 3 3
3 1 1
x
f x x dx x dx x− = − = − =  3p
35 26
3
3 3
= − = 2p
b)
( )( ) ( ) 2
2
1 1 1
1 ln ln
5 3 ln ln ' 2 1
e e e ex x
f x x dx dx x x dx
x x
⋅ − + = = ⋅ = =   3p
2 2
ln ln 1 1
2 2 2
e
= − = 2p
c)
( ) 2
5 lnx x
g x x
+
= , ( )0,x∈ +∞ , deci ( ) ( )( )
4 4
1 1
'5 2 lng x dx x x x x dx= = + ⋅ = 
A 2p
2 4 4 4
2 2 ln 4 58 8ln 2
1 1 1
x x x x x= + − = + , deci 58 ln 2 58 8ln 2m+ = + , de unde obținem
8m =
3p