Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2026 – sesiunea august–septembrie, 11 august 2026, varianta 5, rezervă

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_șt-nat
Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( ) ( )6 3 3 2 10i i i− + − = , unde 2 1i = − .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 4f x x x= − . Determinați abscisele punctelor de intersecție a
graficului funcției f cu axa Ox .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 2
7 7 49x x− −
= ⋅ .
5p 4. Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea
{ }2, 3, 4, 5, 8, 9A = .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )5, 2A , ( )7, 4B și C , astfel încât A este mijlocul
segmentului BC . Determinați lungimea segmentului OC .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 2AB = și 4BC = . Arătați că 3AD = , unde
AD este înălțime a triunghiului ABC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
  și ( ) 2 1
3 4
x x
A x x x
− − − 
=  
+  , unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 2 18A = .
5p b) Arătați că matricea ( )24 1B I A= − este inversa matricei ( )1A .
5p c) Determinați matricea ( )2X ∈ ℝ
M pentru care ( ) ( )12 3 1 5X A X A− ⋅ = .
2. Se consideră polinomul 3 2
2 4f X X mX= + + + , unde m este număr real.
5p a) Pentru 2m = , arătați că ( )2 0f − = .
5p b) Pentru 1m = , determinați restul împărțirii polinomului f la polinomul 1g X= + .
5p c) Determinați rădăcinile polinomului f , știind că produsul a două dintre acestea este egal cu 1.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 1,f − +∞ → ℝ , ( ) 2 3 1
1
x x
f x x
+ +
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
2
2
2 2
'
1
x x
f x
x
+ +
=
+
, ( )1,x ∈ − +∞ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 0x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstrați că funcția f este concavă.
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
3 4 x
f x x e= + + .
5p a) Arătați că ( )( )
1 2
0
3 3f x x dx e− = + .
5p b) Arătați că ( )
2
0
ln 2
3x
x dx
f x e =
−
 .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p c) Se consideră :G →ℝ ℝ , o primitivă a funcției :g →ℝ ℝ , ( ) ( )2 4
3g x f x x= − . Știind că
( )
1
0
1
2
e
G x dx −
= , arătați că ( )1 2G = .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 5
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_șt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( ) 2
6 3 3 2 6 9 6i i i i i i− + − = − + − = 3p
1 9 10= + = 2p
2. ( ) 0f x = , deci 2 4 0x x− = 3p
Abscisele sunt 0 și 4 2p
3. 3 2 2
7 7x x− − +
= , de unde obținem 3 2 2x x− = − + 3p
1x = 2p
4. Cifra unităților se poate alege în 3 moduri 2p
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 5 moduri, deci se
pot forma 3 5 15⋅ = numere 3p
5. 7 5
2
Cx+ = , 4 2
2
Cy+ = , unde Cx și Cy sunt coordonatele punctului C 2p
3Cx = , 0Cy = , de unde obținem 3OC = 3p
6. 2 3AC = , 2 2 3 4
2 2
AD⋅ ⋅
= 3p
2 2 3
4
AD ⋅
= , de unde obținem 3AD = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( ) ( )
0 3 0 3
2 det 2 0 6 3 6
6 6 6 6
A A
− − 
=  = = ⋅ − − ⋅ = 
  3p
0 18 18= + = 2p
b) ( ) 1 2
1 3 5
A − − 
=  
  , 5 2
3 1
B  
=  
− −  2p
( ) ( ) 21 1A B B A I⋅ = ⋅ = , deci matricea B este inversa matricei ( )1A 3p
c) ( )( ) ( )23 4 1 5I A X A− ⋅ = , ( ) 3 6
5 15 9
A − 
=  
  2p
( )( ) ( )
1
24 1 1I A A
−
− = , de unde obținem ( ) ( )
1 1 5
3
X A A= ⋅ , deci 11 4
28 9
X − − 
=  
  3p
2.a) ( ) ( ) ( ) ( )3 23 2
2 2 4 2 2 2 2 2 2 4f X X X f= + + +  − = − + − + ⋅ − + = 3p
8 8 4 4 0= − + − + = 2p
b) ( ) ( ) ( ) ( )3 23 2
2 4 1 1 2 1 1 4f X X X f= + + +  − = − + ⋅ − + − + = 3p
1 2 1 4 4= − + − + = , deci restul împărțirii polinomului f la g este 4 2p
c) 1 2 1x x = și, cum 1 2 3 4x x x = − , obținem 3 4x = − 2p
1 2 3 2x x x+ + = − , deci 1 2 2x x+ = , de unde obținem 1 2 1x x= = 3p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 5
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( ) ( )
( )
2
2
2 3 1 3 1 1
'
1
x x x x
f x
x
+ + − + + ⋅
= =
+
3p
( ) ( )
2 2 2
2 2
2 5 3 3 1 2 2
1 1
x x x x x x
x x
+ + − − − + +
= =
+ +
, ( )1,x ∈ − +∞ 2p
b) ( )0 1f = , ( )' 0 2f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )0 ' 0 0y f f x− = − , adică 2 1y x= + 3p
c)
( ) ( ) ( )
2
2 3
'2 2 2
''
1 1
x x
f x
x x
 + +
 = = −
 + + 
, ( )1,x ∈ − +∞ 3p
( )'' 0f x ≤ , pentru orice ( )1,x ∈ − +∞ , de unde rezultă că funcția f este concavă 2p
2.a)
( )( ) ( )
1 1
2
0 0
1 1
3 4 4 0 0
x x
f x x dx e dx x e− = + = + =  3p
4 1 3e e= + − = + 2p
b)
( )
( ) ( )
22 2 2 2
2 2
0 0 0
' 23 41 1 ln 3 4
6 63 4 3 4 0
x
xx x
dx dx dx x
f x e x x
+
= = = + =
− + +
   3p
ln16 ln 4 ln 2
6 6 3
= − = 2p
c)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1 1 1 1
0 0 0 0
1
' 1 4
0
x
G x dx x G x dx xG x xg x dx G x xe dx= = − = − + =    3p
( ) ( )
2
2 1 11 3
1 2 1
2 20 0
x e
G x e G +
= − − = − , deci ( ) 3 1
1 2 2
e e
G + −
− = , de unde obținem ( )1 2G = 2p