Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2026 – sesiunea iunie–iulie, 1 iulie 2026, varianta 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numărul complex 3z i= − . Arătați că ( )2 10z z i+ = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 3 4f x x= − . Determinați numărul real a pentru care
( ) ( )2f a f a a+ − = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 7 2 1x x+ = + .
5p 4. Se consideră mulțimea { }1, 2, 3, 5, 7A = . Determinați câte dintre submulțimile mulțimii A au exact
trei elemente și conțin numărul 5 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3,6A , ( )4,1B și ( )5,C a , unde a este număr
real. Determinați numărul real a pentru care dreptele OA și BC sunt paralele.
5p 6. Se consideră expresia ( ) ( )2
1 tg sin cos3
2
x
E x x x= + + , unde 0, 2
x
π 
∈ 
  . Arătați că 1
3
E
π  = 
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1
3
0 2 1
a a
A a a a
 
 
=  
 
 
și sistemul de ecuații liniare
1
3 0
2 0
x ay az
ax y az
y z
+ + =
 + + =
 + =
, unde a
este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 2A = .
5p b) Arătați că, pentru orice număr real a , sistemul de ecuații are soluție unică.
5p c) Determinați numărul natural nenul a pentru care sistemul de ecuații are soluția ( )0 0 0, ,x y z , cu
0 0z nx= , unde n este număr natural.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă ( )( )
2 3 3 3.
3
x y x y∗ = − − +
5p a) Arătați că 0 2 5∗ = .
5p b) Determinați numerele reale x pentru care 3 5
2
x
x x∗ = .
5p c) Determinați perechile ( ),m n de numere naturale pentru care 1m m n∗ ∗ = − .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 3
2
4
5
x x
f x x
−
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )
( )
2 2
22
1 20
'
5
x x
f x
x
− +
=
+
, x ∈ ℝ .
5p b) Arătați că dreapta de ecuație y x= este asimptota oblică spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Determinați mulțimea numerelor reale m pentru care ecuația ( )f x m= are exact trei soluții.
2. Se consideră funcția ( ): 1,f +∞ → ℝ , ( ) 2 4
ln
x
f x x x
−
= .
5p a) Arătați că ( )
3
2
7
ln 3
f x x xdx = .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Arătați că ( )
2
2 ln 2
4
e
e
f x dx
x =
−
 .
5p c) Arătați că ( ) ( ) ( )22 2
1 ln 2
lim 2 4
x
x t F t dt
F x→ − = , unde ( ): 1,F +∞ → ℝ este primitiva funcției f
pentru care ( )2 0F = .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( )( ) 2
2 3 3 9z z i i i i+ = − + = − = 2p
( )9 1 10= − − = 3p
2. ( ) 3 4f a a= − , ( )2 6 4f a a− = − − , pentru orice număr real a 3p
3 4 6 4a a a− − − = , de unde obținem 2a = − 2p
3. ( )2 7 4 1x x+ = + , de unde obținem 2 4 3 0x x− + = 2p
1x = sau 3x = , care convin 3p
4. Numărul submulțimilor cu exact trei elemente ale mulțimii A , care conțin elementul 5 , este
egal cu numărul submulțimilor cu exact două elemente ale mulțimii { }\ 5A 3p
Mulțimea { }\ 5A are 6 submulțimi cu exact două elemente 2p
5. 2OAm = 2p
1BCm a= − și, cum OA BCm m= , obținem 3a = 3p
6. tg 3
3
π = , 1
sin 6 2
π = , cos 1
π = − 3p
( ) ( )
2 1 1
1 3 1 4 1 1
3 2 2
E
π   
= + ⋅ + − = ⋅ − =      2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
1 1 1 1 1 1
1 1 3 1 det 1 1 3 1
0 2 1 0 2 1
A A
 
 
=  = = 
 
 
2p
3 2 0 0 2 1 2= + + − − − = 3p
b)
( )( ) 2
1
det 3 2 3
0 2 1
a a
A a a a a a= = − + , pentru orice număr real a 3p
( )( ) ( )2
det 1 2 0A a a= − + ≠ , pentru orice număr real a , deci pentru orice număr real a
sistemul de ecuații are soluție unică 2p
c) ( )2 3 2a n a= − , unde a și n sunt numere naturale, a nenul 3p
3 2 0a− > și, cum a este număr natural nenul, obținem 1a = , care convine 2p
2.a) ( )( )
2
0 2 0 3 2 3 3
3
∗ = − − + = 3p
2 3 5= + = 2p
b) 23 5 9
2
x
x x x∗ = − + , pentru orice număr real x 2p
2 5 9 5x x x− + = , de unde obținem 1x = sau 9x = 3p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
c) ( )22 3 3
3
m m m∗ = − + , ( ) ( )24 3 3 3
9
m m n m n∗ ∗ = − − + , pentru orice numere naturale m și n 2p
( ) ( ) ( ) ( )2 24 3 3 3 1 3 3 9
9 m n m n− − + = − ⇔ − − = − și, cum m și n sunt numere naturale,
obținem perechile ( )0,2 și ( )6,2
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( ) ( )
( )
2 2 3
22
3 4 5 4 2
'
5
x x x x x
f x
x
− + − − ⋅
= =
+
3p
( )
( )( )
( )
2 24 2
2 22 2
1 2019 20
5 5
x xx x
x x
− ++ −
= =
+ +
, x ∈ ℝ 2p
b) ( )( )lim
x
f x x
→+∞
− = 2p
2
9
lim 0
5x
x
x→+∞
−
= =
+ , deci dreapta de ecuație y x= este asimptota oblică spre +∞ la graficul
funcției f
3p
c) ( )' 0 1f x x=  = − sau 1x = ; pentru orice ( ), 1x ∈ −∞ − , ( )' 0f x > , deci f este strict
crescătoare pe ( ), 1−∞ − , pentru orice ( )1,1x ∈ − , ( )' 0f x < , deci f este strict descrescătoare
pe ( )1,1− și, pentru orice ( )1,x ∈ +∞ , ( )' 0f x > , deci f este strict crescătoare pe ( )1, +∞
2p
( )lim
x
f x
→−∞
= −∞ , ( ) 1
1 2
f − = , ( ) 1
1 2
f = − , ( )lim
x
f x
→+∞
= +∞ și f este continuă, de unde
obținem că ecuația ( )f x m= are exact trei soluții dacă și numai dacă 1 1
,
2 2
m  
∈ − 
 
3p
2.a)
( ) ( )
3 3 3
2
2 2
3
ln 4 4
3 2
x
f x x xdx x dx x
 
= − = − =  
 
  3p
16 7
3 3 3
= − + = 2p
b) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2
1 1 'ln ln ln
ln ln4
e e e
e e e
ef x dx dx x dx x
x x xx e
= = ⋅ = =
−
   3p
ln 2 ln1 ln 2= − = 2p
c)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2 22 2 2
2
'
2 21
lim 2 lim lim 2'
x
x
x x x
t F t dt x F x
t F t dt F x f xF x F x→ → →
 
 −
  − − = = =

 3p
( ) ( )2 2
2 ln ln 2
lim lim
2 2 2 4x x
x x x
f x x→ →
−
= = =
+ 2p