Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2026 – sesiunea iunie–iulie, 1 iulie 2026, varianta 7, rezervă

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( ) ( )3 2 2 2 3 1i i i+ + − = , unde 2 1i = − .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 5f x x= − . Determinați numărul real a pentru care
( ) ( )1 1 0a f a f a+ − + + = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( )2 2
1 log 6 8 log
2 x x− = .
5p 4. Se consideră mulțimea { }3, 6, 9, , 60A = … . Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din
mulțimea A , acesta să fie divizibil cu 5 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2, 2A , ( ),0B a și ( )1,C b , unde a și b sunt
numere reale. Determinați numerele reale a și b pentru care 2OB OC OA+ =
   .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 6AC = și 3
B
π
= . Arătați că aria triunghiului
ABC este egală cu 6 3 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 
=  
 
 
și ( )
2 1 2 1
0 1
0 2 2
a
A a a
a
− 
 
= − − 
 
 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 3 0A = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( ) ( )2 1A a A a a A a⋅ = − , pentru orice număr real a .
5p c) Se consideră matricea ( ) ( ) 3B n A n nI= + , unde n este număr natural. Determinați numărul natural
n pentru care ( ) ( ) ( )2
2A n B n n A n⋅ = .
2. Se consideră polinomul 4 3 2 6f X X aX bX= − + + − , unde a și b sunt numere reale.
5p a) Pentru 4a = și 0b = , arătați că ( )1 0f − = .
5p b) Pentru 1a b= = , determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul 2 1.g X X= − +
5p c) Determinați perechile ( ),a b de numere naturale pentru care două dintre rădăcinile polinomului f
sunt numere opuse.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) ( )2 2
2 2 1 3ln 2 1f x x x= + − + .
5p a) Arătați că ( ) ( )2
2
4 2 1 3
' 2 1
x x
f x x
+ −
= + , x ∈ ℝ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 0x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstrați că ecuația ( )f x m= are exact două soluții, pentru orice ( )2,m ∈ +∞ .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcția ( ): 2,f − +∞ → ℝ , ( ) 3 1
4 2
f x x x
= + + .
5p a) Arătați că ( )
2
1
1 15
2
f x dx
x
 
− = 
+ 
 .
5p b) Arătați că ( )
2
3
1
4ln 9
4
e x dx e
f x x = +
−
 .
5p c) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției ( ): 2,g − +∞ → ℝ ,
( ) ( ) 3
4x x
g x f e e= − , axa Ox și dreptele de ecuații 0x = și 1x = este egală cu 1 3
ln
2 2
e
e + .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 7
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( ) 2
3 2 2 2 3 6 3 4 6i i i i i i+ + − = + + − = 3p
3 4 1=− + = 2p
2. ( )1 2 7f a a− = − , ( )1 2 3f a a+ = − , pentru orice număr real a 2p
2 7 2 3 0a a a+ − + − = , de unde obținem 2a = 3p
3. ( ) 2
2 2log 6 8 logx x− = , de unde obținem 2 6 8 0x x− + = 2p
2x = sau 4x = , care convin 3p
4. Mulțimea A are 20 de elemente, deci sunt 20 de cazuri posibile 2p
În mulțimea A sunt 4 numere divizibile cu 5 , deci sunt 4 cazuri favorabile, de unde obținem
4 1
20 5
p = = 3p
5. ( )1
2
OA OB OC= +
   , deci punctul A este mijlocul segmentului BC 2p
1 2
2
a + = , 0 2
2
b+ = , de unde obținem 3a = și 4b = 3p
6. tg AC
B AB
= , deci 6
3 AB
= , de unde obținem 2 3AB = 3p
2 3 6 6 3
2 2
ABC
AB AC
∆
⋅ ⋅
= = =
 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
5 2 1 5 2 1
3 0 1 3 det 3 0 1 3
0 2 6 0 2 6
A A
 
 
= − − ⇒ = − − = 
 
 
2p
30 0 0 0 30 0 0=− + + − + − = 3p
b)
( ) ( )
( )2
2
2
2 1 4 2 2 1
0 1 2 2
0 2 4 2 4
a a a
A a A a a a a
a a a
 − − −
 
 ⋅ = − − =
 
 − + − +
 
3p
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 1 2 2 1 2 1
0 2 1 2 1 2 1
0 2 2 1 2 2 1
a a a
a a a a A a
a a a
 − − −
 
= − − − − = − 
  − − 
 
, pentru orice număr real a 2p
c) ( ) ( ) ( ) ( )3 1A n B n n A n⋅ = − , pentru orice număr natural n 3p
( ) ( ) ( )2
3 1 2n A n n A n− = și, cum n este număr natural, obținem 1n = 2p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 7
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a) ( ) ( ) ( ) ( )4 3 24 3 2
4 6 1 1 1 4 1 6f X X X f= − + − ⇒ − =− − − + − − = 3p
1 1 4 6 0= + + − = 2p
b) ( )4 3 2 2 2
6 1 6f X X X X X X X X= − + + − = − + + −, deci câtul împărțirii este 2
X 3p
Restul este 6X − 2p
c) 2 1x x= − , deci ( ) ( )1 1 0f x f x= − = , de unde rezultă ( ) ( )1 1 0f x f x+ − = și
( ) ( )1 1 0f x f x− − = , de unde obținem 4 2
1 1 6 0x ax+ − = și 3
1 1 0x bx− = 2p
Cum 1 0x ≠ , obținem 2
1b x= , deci ( ) 6b a b+ = și, cum a și b sunt numere naturale, rezultă
că perechile sunt ( )1, 2 și ( )5,1 , care convin 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 22
4 4
' 3 2 12 1
x x
f x xx
= − ⋅ =
++ 3p
( )2
2
2 2
4 2 1 3
4 2 1 12
2 1 2 1
x x
x x x
x x
+ −
+ −
= =
+ + , x ∈  2p
b) ( )0 2f = , ( )' 0 0f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )0 ' 0 0y f f x− = −, adică 2y = 3p
c) ( )' 0 2f x x= ⇔ =− sau 0x = sau 2x = ; pentru orice ( ), 2x ∈ −∞ − , ( )' 0f x < , deci f este
strict descrescătoare pe ( ), 2−∞ − ; pentru orice [ ]2,0x ∈ − , ( )' 0f x ≥ , deci f este
crescătoare pe [ ]2,0− ; pentru orice [ ]0, 2x ∈ , ( )' 0f x ≤ , deci f descrescătoare pe [ ]0, 2 ;
pentru orice ( )2,x ∈ +∞ , ( )' 0f x > , deci f este strict crescătoare pe ( )2, +∞
2p
Cum ( ) ( )lim lim
x x
f x f x
→−∞ →+∞
= = +∞, ( )0 2f = și f este continuă, obținem că ecuația
( )f x m= are exact două soluții pentru orice ( )2,m ∈ +∞ 3p
2.a)
( )
2 2 3 4
1 1
21 4
2 1
f x dx x dx x
x
 
− = = = 
+ 
∫ ∫ 3p
16 1 15= − = 2p
b)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
3
1 1 1
4ln '4 8 ln 2 8 ln 2 8 ln 8
4 1 1
e e e e ex dx x xdx x x xdx x x x x x
f x x = + = + = + − + =
−
∫ ∫ ∫ 3p
2 2 2
2 8 8 9 9e e e e e= + − − + = + 2p
c)
( ) 1
2x
g x e
= + , ( )2,x ∈ − +∞ ( ) ( )
1 1
0 0
1 11 1
1 ln 2
2 22 0 0
x x
x
e
g x dx dx x e
e
    ⇒ = = − = − + =    +   
∫ ∫
 3p
1 2 1 3
1 ln ln
2 3 2 2
e e
e
+ 
= − =  +  2p