Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2026 – sesiunea august–septembrie, 11 august 2026, varianta 4

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați termenul 3b al progresiei geometrice ( ) 1n n
b ≥ , în care 1 2b = și 2 10b = .
5p 2. Se consideră funcțiile :f →ℝ ℝ , ( ) 5f x x= − și :g →ℝ ℝ , ( ) 1g x ax= − , unde a este număr
real. Determinați numărul real a pentru care ( )( )2 2f g = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( ) ( )8 8 8log log 8 log 6x x x+ − = + .
5p 4. Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, se pot forma cu cifre din mulțimea
{ }1, 2, 4, 6, 8A = .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,3A , ( )2, 2B și ( )4, 6C . Determinați ecuația
dreptei d ce trece prin punctul B și este paralelă cu dreapta AC .
5p 6. Se consideră expresia ( ) 2
3tg sin 2sin
3 3
x x
E x x= + − , unde 3
0, 2
x
π 
∈ 
  . Arătați că 1
2
E
π  = 
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 2
2 1
1 0
a a
A a a
a
− 
 
= − − 
 − 
și sistemul de ecuații liniare
2 1
2
x ay az
x y az a
x ay a
+ − = −
 − − =
 − =
,
unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 2 4A = .
5p b) Pentru 1a = , arătați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții.
5p c) Arătați că, pentru orice { }\ 0,1a ∈ ℝ , sistemul de ecuații are soluție unică ( )0 0 0, ,x y z și 0 04 1.x z =
2. Se consideră polinomul 3 2 8f X X aX= + + + , unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )0 8f = , pentru orice număr real a .
5p b) Determinați numărul real a pentru care polinomul f este divizibil cu polinomul 2g X= + .
5p c) Determinați numărul real a pentru care raportul a două dintre rădăcinile polinomului f este egal
cu 2 .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) ( )2 2
2 4 3 2 3 x
f x x x x e= − − − − .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )2
' 4 1 1 x
f x x e= − − , x ∈ ℝ .
5p b) Arătați că ( )
20
lim 4
x
f x
x→ = .
5p c) Demonstrați că ecuația ( ) 0f x n+ = are soluție unică, pentru orice număr natural nenul n .
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
2
4 5
x
f x
x x
−
=
− +
.
5p a) Arătați că ( )
4 2
2
4 5 2f x x x dx− + = .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Arătați că ( )
3
1
0f x dx = .
5p c) Determinați numărul real nenul m pentru care volumul corpului obținut prin rotația graficului
funcției [ ]: 2,3g → ℝ , ( ) ( )g x f x= , în jurul axei Ox este egal cu 1 m
π
π  
− 
  .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 4
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 4
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2
1
5
b
q b
= = , unde q este rația progresiei geometrice 3p
2
3 1 50b b q= = 2p
2. ( )2 2 1g a= − , ( )( )2 2 6f g a= −
 , pentru orice număr real a 3p
2 6 2a − = , de unde obținem 4a = 2p
3. ( ) ( )2
8 8log 8 log 6x x x− = + , de unde obținem 2 7 6 0x x− + = 2p
1x = sau 6x = , care convin 3p
4. Cifra unităților se poate alege în 4 moduri 2p
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 5 moduri, deci se
pot forma 4 5 20⋅ = de numere 3p
5. 1ACm = , deci 1dm = 3p
Ecuația dreptei d este 2 2y x− = − , adică y x= 2p
6. 1
tg 6 3
π = , sin 1
2
π = , 3
sin 3 2
π = 3p
1 3
3 1 2 3 1 3 1
2 23
E
π  = ⋅ + − ⋅ = + − = 
  2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
1 2 4 1 2 4
2 2 1 2 det 2 2 1 2
1 2 0 1 2 0
A A
− − 
 
= − −  = − − = 
 − − 
2p
0 16 4 4 4 0 4= + − − − − = 3p
b) 2 1
2 1
1
x y z
x y z
x y
+ − = −
 − − =
 − =
și
1 1 2
2 1 1 0
1 1 0
−
− − =
−
2p
1 1 0
2 1 ≠
− și
1 1 1
2 1 1 0
1 1 1
−
− =
−
, deci sistemul de ecuații are o infinitate de soluții 3p
c) ( )( ) 2
det 2 2A a a a= − ; cum { }\ 0,1a ∈ ℝ , obținem că ( )( )det 0A a ≠ , deci sistemul de
ecuații are soluție unică 2p
Pentru { }\ 0,1a ∈ ℝ , 0 2
a
x = , 0
1
2
z a
= , deci 0 04 1x z = , pentru orice { }\ 0,1a ∈ ℝ 3p
2.a) ( ) 3 2
0 0 0 0 8f a= + + ⋅ + = 3p
0 0 0 8 8= + + + = , pentru orice număr real a 2p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 4
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
b) ( )2 4 2f a− = − , pentru orice număr real a 3p
4 2 0a− = , de unde obținem 2a = 2p
c) Pentru 2
1
2
x
x = , cum 1 2 3 1x x x+ + = − și 1 2 3 8x x x = − , obținem 3 2
1 13 4 0x x+ − = 3p
( )( )2
1 1 11 3 4 4 0x x x− + + = ; cum f este polinom de gradul 3 cu coeficienți reali și 2 12 ,x x=
rezultă că 1x este număr real, deci 1 1x = și ( )1 0f = , de unde obținem 10a = − , care convine
2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )2 2
' 4 4 2 2 3 2x x
f x x e x e= − − − − ⋅ = 3p
( ) ( ) ( )( )2 2
4 1 4 1 4 1 1x x
x x e x e= − − − = − − , x ∈ ℝ 2p
b) ( ) ( )
( )
( )( )2
2 20 0 0
4 1 1'
lim lim lim
' 2
x
x x x
x ef x f x
xx x→ → →
− −
= = 3p
2
0
1
lim 1
2
x
x
e
x→
− = − , de unde obținem ( ) ( )( )20
lim 4 1 1 4
x
f x
x→ = − − = 2p
c) ( )' 0 0f x x= ⇔ = sau 1x = ; pentru orice ( ],0x∈ −∞ , ( )' 0f x ≤ , deci f este
descrescătoare pe ( ],0−∞ , pentru orice [ ]0,1x∈ , ( )' 0f x ≥ , deci f este crescătoare pe [ ]0,1
și, pentru orice ( )1,x∈ +∞ , ( )' 0f x < , deci f este strict descrescătoare pe ( )1,+∞
3p
Cum ( )0 0f = , ( )lim
x
f x
→+∞
= −∞ și f este continuă, obținem că ecuația ( ) 0f x n+ = are
soluție unică pentru orice număr natural nenul n
2p
2.a)
( ) ( )
4 4 2
2
2 2
4
4 5 2 2
2 2
x
f x x x dx x dx x
 
− + = − = − =  
 
  3p
( )0 2 2= − − = 2p
b)
( ) ( )23 3 2
2
1 1
' 34 5 4 5 12 4 5
x x
f x dx dx x x
x x
− +
= = − + =
− +
  3p
2 2 0= − = 2p
c)
( ) ( ) ( )( )
3 3 32
2
2 2
2 2 2
34 4 1
1 arctg 2
4 5 22 1
x x
V f x dx dx dx x x
x x x
π
π
π
π
 − +  = = = − = − − =
 − + − + 
   3p
1 4
π
π  
= − 
  , deci 1 1 4m
π
π
π
π
   
− = −   
    , de unde obținem 4m = 2p