Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M3 Tehnologic 2026

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1 3 1
3 4
4 2 4
 
    
  .
5p 2. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,   4 9f x x  . Determinați numărul real a pentru care  f a a .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 1x x  .
5p 4. Se consideră mulțimea  1, 2,3,4,5,6,7,8A  . Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n
din mulțimea A , numărul natural  1n n  să fie multiplu de 10 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele  6,8A ,  8,4B și M , mijlocul segmentului OA .
Arătați că triunghiul OBM este isoscel.
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 6AC  și 3AC AB . Arătați că 2 10BC  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea   1 4
1 4
a
M a a
 
  
  
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că   det 0 0M  .
5p b) Arătați că      3 2 0 3 1M M M  .
5p c) Determinați numărul real a pentru care      0 3 0M a M M  .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție  4x y xy x y   .
5p a) Arătați că 1 2 14 .
5p b) Determinați numărul real x pentru care 3x x .
5p c) Determinați numărul real x pentru care 4
2 4 2x x
 .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,   2
1
4 5
f x x x
   .
5p a) Arătați că    
 22
2 2
'
4 5
x
f x
x x
 

 
, x  ℝ .
5p b) Arătați că    2
lim 1 1
x x f x
    .
5p c) Demonstrați că    5 2f x f x   , pentru orice  0,x   .
2. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,   2
5 2 1f x x x   .
5p a) Arătați că   
1
0
8
2 3
f x x dx  .
5p b) Arătați că  
2
2
0
1 ln 5
25 dx
f x x 

 .
5p c) Determinați primitiva  : 0,G   ℝ a funcției  : 0,g   ℝ ,     2f x x
g x x

 , pentru care
 1 5G  .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Barem de evaluare și de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
 Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 3 1 1 5
3 3
4 2 4 4 4
 
       
  3p
1 15 4
4 4
   2p
2.   4 9f a a  , pentru orice număr real a 2p
4 9a a  , de unde obținem 3a  3p
3. 2
2 1x x  , deci 2 2 1 0x x   3p
1x  , care convine 2p
4. Mulțimea A are 8 elemente, deci sunt 8 cazuri posibile 2p
În mulțimea A sunt 2 numere n pentru care numărul  1n n  este multiplu de 10 , deci sunt
2 cazuri favorabile, de unde obținem 2 1
8 4
p   3p
5.  3, 4M , 5OM  3p
5BM  , deci OM BM , de unde obținem că triunghiul OBM este isoscel 2p
6. 2AB  2p
2 2 2
2 6 40BC    , de unde obținem 2 10BC  3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)         
1 4 1 4
0 det 0 1 4 4 1
1 4 1 4
M M
 
          
     3p
4 4 0    2p
b)   4 4
3 1 1
M  
  
  
,     6 12
3 2 0 3 9
M M  
   
   3p
 
2 4
3 3 1
1 3 M
 
  
   2p
c)     3 4 12
0 3 12 4
a a
M a M a a
  
   
  
, pentru orice număr real a 3p
3 4 12 3 12
3 12 4 3 12
a a
a a
    
   
      
, de unde obținem 6a  2p
2.a)  1 2 1 2 4 1 2    
 3p
2 12 14   2p
b) 3 7 12x x 
 , pentru orice număr real x 3p
7 12x x  , de unde obținem 2x   2p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Barem de evaluare și de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c)  2 4 2 4 4 2 4 8 2 16x x x x
      
 , pentru orice număr real x 2p
4 3 4
8 2 16 2 2 2x x x 
     , de unde obținem 1x  3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
     
 
2 2
22
'1' 4 5 1 4 5
'
4 5
x x x x
f x
x x
      
 
 
2p
 
 
 
 
2 22 2
0 2 4 2 2
4 5 4 5
x x
x x x x
   
 
   
, x  ℝ 3p
b)
   
2
2 2
2
2 2
2
1
1
1
lim 1 lim lim 4 54 5 1
x x x
x
x xx f x x x x x x
  
 
       
     
 
3p
2
2
1
1
lim 1
4 5
1
x
x
x x


 
 
2p
c)  ' 0 2f x x    ; pentru orice  , 2x    ,  ' 0f x  , deci f este crescătoare pe
 , 2  și, pentru orice  2,x    ,  ' 0f x  , deci f este descrescătoare pe  2,  2p
   0, ,0x x      , deci    0f x f și    2f x f   și, cum   1
0 5
f  și
 2 1f   , obținem    5 2f x f x   , pentru orice  0,x  
3p
2.a)
    
1 1 3
2
0 0
1 15
2 5 1 3 0 0
x
f x x dx x dx x       3p
5 8
1
3 3
   2p
b)
 
   
2 2 2
2
0 0 0
22 1 '1 1 1 1 ln 2 1
2 1 2 2 1 25 0
x
dx dx dx x
x xf x x

    
 
   3p
ln 5 ln1 ln 5
2 2 2
   2p
c)   1
5g x x x x
  ,  0,x   ;   21
5 2 2g x dx x x dx x x x C
x
 
     
 
  , deci
  2
2 2G x x x x c   , unde c este număr real
3p
 1 5 1G c   , deci   2
2 2 1G x x x x   ,  0,x   2p