Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2026

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_șt-nat
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numerele complexe 1 4 3z i  și 2 1 2z i  . Arătați că 1 23 10z iz  .
5p 2. Se consideră funcțiile :f ℝ ℝ ,   3f x x  și :g ℝ ℝ ,   2 1g x x  . Determinați numărul
real a pentru care    3 3f a a g  .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația  2
4 4 4log 4 log log 5x x   .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 4 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele  2,8A ,  0,4B și  ,C a b , unde a și b sunt
numere reale. Determinați numerele reale a și b , știind că segmentele OA și BC au același mijloc.
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 6
C

 . Raza cercului circumscris triunghiului
ABC este egală cu 4 . Arătați că 4AB  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
  
 
și   1 1
1 5
x
A x x x
 
  
  
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că   det 6 10A  .
5p b) Determinați numărul real a pentru care     23 3A A aI  .
5p c) Demonstrați că numărul       det 2 1N A m A A m    este natural, pentru orice număr întreg
m .
2. Se consideră polinomul 3 2 2 2f X aX X    , unde a este număr real.
5p a) Arătați că  0 2f  , pentru orice număr real a .
5p b) Determinați numărul real a pentru care  1 2 3 1 2 31 4x x x x x x    , unde 1x , 2x și 3x sunt
rădăcinile polinomului f .
5p c) Știind că polinomul f este divizibil cu polinomul 1X  , determinați restul împărțirii lui f la
polinomul 2 2X  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,    2 1x
f x e x x   .
5p a) Arătați că    2
' 3x
f x e x x  , x ℝ .
5p b) Arătați că  
 0
1
lim ' 3
x
x
e f x
f x
  .
5p c) Demonstrați că  3 2 1 5x
e x x    , pentru orice  ,0x   .
2. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,   2
2 1f x x x   .
5p a) Arătați că   
5 2
3
2 1 8f x x dx   .
5p b) Arătați că
  
2
2
1
ln 3
4
x dx
f x x


 .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p c) Determinați numărul real a pentru care volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției
 : 0,2g  ℝ ,    g x f x în jurul axei Ox este egal cu 3
a
 .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Model
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2026
Proba E. c)
Matematică M_șt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
 Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.   2
1 23 4 3 3 1 2 4 3 3 6z iz i i i i i i          2p
4 6 10   3p
2.  3 7g  ,   3f a a  , pentru orice număr real a 2p
3 3 7a a   , de unde obținem 1a   3p
3.    2
4 4log 4 log 5x x  , de unde obținem 2 5 4 0x x   3p
1x  sau 4x  , care convin 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri
posibile 2p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 3 numere care au produsul cifrelor egal
cu 4 , deci sunt 3 cazuri favorabile, de unde obținem 3 1
90 30
p   3p
5.  1, 4M este mijlocul segmentului OA 2p
Cum M este mijlocul segmentului BC , obținem 2a  și 4b  3p
6. 2 8BC R  , unde R este raza cercului circumscris triunghiului ABC 2p
4
2
BC
AB   3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)       
5 1 5 1
6 det 6 5 1 5 1
5 1 5 1
A A
 
         
   3p
5 5 10   2p
b)       2
2 1 2 0
3 3 3 2
2 2 0 2
A A A I
   
       
     3p
2 22I aI , de unde obținem 2a  2p
c)       1 1 1 1 2 1 0 5
2 1 1 5 1 3 2 6 4 22 5
m m m
A m A A m m m m m m m
        
           
             
,
de unde obținem   4 5N m m   , pentru orice număr întreg m
3p
Cum 4m  și 5m  sunt numere întregi și   4 5 0m m   , obținem că numărul N este
natural, pentru orice număr întreg m 2p
2.a)   3 2
0 0 0 2 0 2f a       3p
0 0 0 2 2     , pentru orice număr real a 2p
b) 1 2 3 2x x x   , 1 2 3x x x a    ,    1 2 3 1 2 31 2 1x x x x x x a      , pentru orice număr real
a 3p
 2 1 4a   , de unde obținem 3a  2p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Model
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 2 din 2
c)  1 0f   , de unde obținem 3a   2p
  3 2 2
3 2 2 2 3 4f X X X X X        , deci restul împărțirii lui f la 2 2X  este 4 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)      2
' 1 2 1x x
f x e x x e x      3p
   2 2
1 2 1 3x x
e x x x e x x       , x  ℝ 2p
b)  
 
 
   
 
2
20 0 0
1
lim lim lim
' 33
xx
xx x x
e x xe f x x x
f x x xe x x  
 
  
 3p
0
1 1
lim 3 3x
x
x

 
 2p
c)  ' 0 3f x x    sau 0x  ; pentru orice  , 3x    ,  ' 0f x  , deci f este
crescătoare pe  , 3  și, pentru orice  3,0x   ,  ' 0f x  , deci f este descrescătoare
pe  3,0
3p
   3f x f  , pentru orice  ,0x   și, cum   3
5
3f e
  , obținem  3 2 1 5x
e x x    ,
pentru orice  ,0x  
2p
2.a)
  
5 5 2
2
3 3
5
2 1 2 3
x
f x x dx xdx      3p
25 9 8
2 2
   2p
b)
  
   
22 2 2 2
2 2 2
1 1 1
' 22 11 1 ln 2 1
4 42 1 2 1 1
xx x
dx dx dx x
x xf x x

    
 
   3p
ln 9 ln 3 ln 3
4 4 4
   2p
c)
     
2 2 2
2 2 2 3 2 2
0 0 0
2 2 1 '3 1 2 2 1 2 1 2 1
20 0
V g x dx x x x dx x x x x dx


  
            
 
 
   2p
 2 2 22 1 2 1 56
10 3 30
x x


  
    
 
 
, deci 56
3 3
a
 
 , de unde obținem 56a  3p