Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M4 Pedagogic 2025 – sesiunea specială, 23 mai 2025, varianta 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 3
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Varianta 3
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )6 6 2 16 2 6 2⋅ − − + = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 3 1f x x= − . Determinați numărul real a pentru care
( ) ( )4 1f a f= .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4 2
3 3x x+ −
= .
5p 4. Se consideră mulțimea { }1, 2, 3, ,15A = … . Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din
mulțimea A , acesta să fie divizor al lui 15 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )4,8A , ( )5,0B și C , mijlocul segmentului OA .
Determinați distanța dintre punctele B și C .
5p 6. Arătați că ( )2
2sin 30 cos 45 cos60 0° − ° − ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 10x y xy x y∗ = + + + .
5p 1. Arătați că 2 5 27∗ = .
5p 2. Arătați că ( )( )1 1 9x y x y∗ = + + + , pentru orice numere reale x și y .
5p 3. Determinați numărul real x pentru care ( )10 10x x− ∗ = + .
5p 4. Determinați numerele reale x pentru care ( ) 1x x∗ − = .
5p 5. Determinați [ )0,x ∈ +∞ pentru care ( ) ( )9 9 9x x− ∗ − = .
5p 6. Arătați că, pentru orice număr natural n , divizibil cu 3 , numărul natural ( ) ( )1 2n n+ ∗ + este
divizibil cu 3 .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
 
, 1 1
3 1
A − 
=  
 
și ( ), a a
B a b b a
 
=  
 
, unde a și b sunt numere
reale.
5p 1. Arătați că ( )( )det 1, 1 2B − = .
5p 2. Arătați că ( ) 21, 3 4A B I⋅ − = .
5p 3. Determinați numerele reale a și b pentru care ( )22 ,A I B a b− = .
5p 4. Determinați matricea ( )2X ∈ ℝ
M pentru care ( )1, 1X B A⋅ − = .
5p 5. Știind că a și b sunt numere reale, 0a ≠ , astfel încât ( )( )det , 0aA B a b− = , arătați că 3a b= .
5p 6. Determinați perechile ( ),a b de numere reale, cu a b< , pentru care
( ) ( ) ( ) ( ), , 25,6a b B a b bB a b b B+ + + − = .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 3
Barem de evaluare și de notare
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 3
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )6 6 2 16 2 6 6 6 2 6 4 2 6− − + = ⋅ − − + = 3p
6 4 2= − = 2p
2. ( )1 2f = , ( ) 3 1f a a= − , pentru orice număr real a 3p
3 1 4 2a − = ⋅ , de unde obținem 3a = 2p
3. 4 2x x+ = − 3p
1x = − 2p
4. Mulțimea A are 15 elemente, deci sunt 15 cazuri posibile 2p
În mulțimea A sunt 4 numere care sunt divizori ai lui 15 , deci sunt 4 cazuri favorabile, de
unde obținem 4
15
p = 3p
5. ( )2, 4C 3p
2 2
3 4 5BC = + = 2p
6. 1
sin 30 2
° = , 2
cos 45 2
° = , 1
cos 60 2
° = 3p
( )
2
2 1 2 1 1 1
2sin 30 cos 45 cos 60 2 1 0
2 2 2 2 2
 
° − ° − ° = ⋅ − − = − − =  
 
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. 2 5 2 5 2 5 10∗ = ⋅ + + + = 3p
10 2 5 10 27= + + + = 2p
2. 1 9x y xy x y∗ = + + + + = 2p
( ) ( ) ( )( )1 1 9 1 1 9x y y x y= + + + + = + + + , pentru orice numere reale x și y 3p
3. ( )10 9x x− ∗ = − , pentru orice număr real x 2p
9 10x x− = + , de unde obținem 1x = − 3p
4. ( ) 2 10x x x∗ − = − + , pentru orice număr real x 3p
2 10 1x− + = , deci 2 9 0x− + = , de unde obținem 3x = − sau 3x = 2p
5. ( ) ( ) ( )( )9 9 8 10 9x x x x− ∗ − = − − + , pentru orice [ )0,x ∈ +∞ 2p
( )( )8 10 9 9x x− − + = , deci ( )( )8 10 0x x− − = , de unde obținem 8x = sau 100x = , care
convin
3p
6. ( ) ( ) ( )( )1 2 2 3 9n n n n+ ∗ + = + + + , pentru orice număr natural n 2p
3n m= , unde m este număr natural, deci ( ) ( ) ( )( )( )1 2 3 3 2 1 3n n m m+ ∗ + = + + + , de unde
rezultă că numărul natural ( ) ( )1 2n n+ ∗ + este divizibil cu 3 3p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 3
Barem de evaluare și de notare
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( )( ) ( )
1 1 1 1
1, 1 det 1, 1 1 1 1 1
1 1 1 1
B B
 
− =  − = = ⋅ − ⋅ − = 
− −  3p
1 1 2= + = 2p
2. ( ) ( )
1 1 4 0
1, 3 1, 3
3 1 0 4
B A B
   
− =  ⋅ − = =   
−    3p
2
1 0
4 4
0 1 I
 
= = 
  2p
3.
2
1 1
2 3 1
A I − − 
− =  
−  2p
1 1
3 1
a a
b a
− −   
=   
−    , de unde obținem 1a = − și 3b = 3p
4.
( )( ) 1
1 1
2 21, 1 1 1
2 2
B −
 
− 
− =  
 
 
 
3p
( )( ) 1 0 1
1, 1 2 1
X A B − − 
= ⋅ − =  
−  2p
5. ( ) ( )( ) ( )
0 2
, det , 2 3
3 0
a
aA B a b aA B a b a a b
a b
− 
− =  − = − 
−  , pentru orice numere reale
a și b
3p
( )2 3 0a a b− = și, cum 0a ≠ , rezultă că 3a b= 2p
6.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
2
, , a b a b
a b B a b bB a b b
ab a b
 + +
 + + + − =  + 
, pentru orice numere reale a și b 2p
( ) ( )
( )
2 2
2
25 25
6 25
a b a b
ab a b
 + +    =  
   + 
, de unde obținem 5a b+ = și 6ab = sau 5a b+ = − și
6ab = și, cum a b< , perechile sunt ( )2,3 și ( )3, 2− −
3p