Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M4 Pedagogic 2025 – sesiunea iunie–iulie, 11 iunie 2025, varianta 1

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 1
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Varianta 1
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )3 1,5 0,3 0,8: 2 4⋅ − + = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x= + . Determinați numărul real a pentru care
( ) ( )3f a f a= − .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( ) ( )2 2log 5 12 log 2x x− = .
5p 4. După o scumpire cu 35% , un obiect costă 54 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de
scumpire.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,5A , ( )4,1B , ( )6,0C și M , mijlocul
segmentului AB . Arătați că OM CM= .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 16AB = și 5 4AB BC= . Arătați că 12AC = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( )6 14x y xy x y∗ = − + + .
5p 1. Arătați că 0 2 2∗ = .
5p 2. Arătați că legea de compoziție „ ∗ ” este comutativă.
5p 3. Determinați numărul real x pentru care 4 4x ∗ = .
5p 4. Determinați perechile ( ),m n de numere naturale, cu m n< , pentru care ( ) ( ) ( ) 36m n m n− ∗ − = ∗ + .
5p 5. Determinați numărul real x pentru care ( ) ( )1 3 1 3 0x x
+ ∗ − = .
5p 6. Arătați că 1 3x x
∗ ≤ , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și ( ) 2 3
2
x
M x x
 
=  
 
, unde x este număr real.
5p 1. Arătați că ( )( )det 1 1M = .
5p 2. Arătați că ( ) ( ) ( )1 2 4 3 3M M M+ = .
5p 3. Determinați numărul real a pentru care ( ) ( ) 22 2M M aI⋅ − = .
5p 4. Determinați numerele reale x pentru care ( ) ( )( )det 2 4M x M x+ − = .
5p 5. Determinați numerele reale x și y pentru care ( ) ( ) ( ) ( )1 12 1M x M M y M⋅ − + = − .
5p 6. Demonstrați că numărul natural ( )( )2det 2 1N M nI= + este multiplu de 4 , pentru orice număr
natural par n .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 1
Barem de evaluare și de notare
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 1
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )3 1,5 0,3 0,8 : 2 3 1, 2 0,4⋅ − + = ⋅ + = 3p
3,6 0,4 4= + = 2p
2. ( )3 7f = , ( ) 2 1f a a= + , pentru orice număr real a 3p
2 1 7a a+ = − , de unde obținem 2a = 2p
3. 5 12 2x x− = 3p
4x = , care convine 2p
4. 35 54
100
x x+ ⋅ = , unde x este prețul obiectului înainte de scumpire 3p
40x = de lei 2p
5. ( )3,3M , de unde obținem 3 2OM = 3p
3 2CM = , deci OM CM= 2p
6. 20BC = 2p
2 2 2
20 16 144AC = − = , de unde obținem 12AC = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. ( )0 2 0 2 6 0 2 14∗ = ⋅ − + + = 3p
0 12 14 2= − + = 2p
2. ( ) ( )6 14 6 14y x yx y x xy x y∗ = − + + = − + + = 3p
x y= ∗ , deci legea de compoziție „ ∗ ” este comutativă 2p
3. 4 2 10x x∗ = − − , pentru orice număr real x 3p
2 10 4x− − = , de unde obținem 7x = − 2p
4. ( ) ( ) ( )6 14m n mn m n− ∗ − = + + + , pentru orice numere naturale m și n 2p
( ) ( )6 14 6 14 36mn m n mn m n+ + + = − + + + , deci 3m n+ = și, cum m și n sunt numere
naturale, cu m n< , obținem perechile ( )0,3 și ( )1,2 3p
5. ( ) ( ) 2
1 3 1 3 3 3x x x
+ ∗ − = − + , pentru orice număr real x 3p
2 2
3 3 0 3 3x x
− + = ⇔ = , de unde obținem 1
2
x = 2p
6. ( ) ( )2 2
6 1 6 11 1 14 12 3
x x
x x x x
+ +
∗ = − + = − + = 2p
( ) ( )
2 26 2 1 6 1
3 3 3
x x x
x x
− + −
= − + = − + ≤ , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ 3p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 1
Barem de evaluare și de notare
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( )( )
2 3 2 3
1 det 1 2 2 3 1
1 2 1 2
M M
 
=  = = ⋅ − ⋅ = 
  3p
4 3 1= − = 2p
2. ( ) ( ) 2 3 4 24 6 27
1 2 4 1 2 8 4 9 6
M M      
+ = + = =     
      3p
( )
2 9
3 3 3
3 2 M
 
= = 
  2p
3.
( ) 2 6
2 2 2
M  
=  
  , ( ) 2 6
2 2 2
M − 
− =  
−  , ( ) ( ) 2
8 0
2 2 8
0 8
M M I
− 
⋅ − = = − 
−  3p
2 28aI I= − , de unde obținem 8a = − 2p
4. ( ) 2 6
2 2 2
x
M x x
− 
− =  
−  , ( ) ( ) 4 3
2 4
x
M x M x x
− 
+ − =  
−  , ( ) ( )( ) 2
det 2 16 3M x M x x+ − = − ,
pentru orice număr real x
3p
2
16 3 4x− = , de unde obținem 2x = − sau 2x = 2p
5.
( ) ( ) ( ) 4 3 6 6 2 3 6 3 6 6 3
1 2 2 3 4 2 2 2 3 6
x x y x x y
M x M M y x x y x y x
− − + − − + +     
⋅ − + = + =     
− − + − + − +      ,
pentru orice numere reale x și y
3p
6 3 6 6 3 24 36
2 2 3 6 12 24
x x y
x y x
− − + + −   
=   
− + − + −    , de unde obținem 6x = − și 2y = 2p
6. ( ) 2
4 6
2 1 2 4
n
M nI n
+ 
+ =  
+  , 2 8 4N n n= + + , pentru orice număr natural n 3p
Pentru 2n k= , unde k este număr natural, obținem ( )2
4 4 1N k k= + + , deci N este
multiplu de 4 , pentru orice număr natural par n
2p