Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M4 Pedagogic 2025 – sesiunea august–septembrie, 12 august 2025, varianta 9

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 9
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Varianta 9
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 3 1 1
3 2 : 8
2 6 2
 
⋅ − + = 
  .
5p 2. Se consideră funcțiile :f →ℝ ℝ , ( ) 5 2f x x= − și :g →ℝ ℝ , ( ) 2 7g x x= + . Determinați
numărul real m pentru care ( ) ( )1 1 2f g m+ = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 6
2 2x x− −
= .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea { }0,1, 2, 3, ,19A = … , numărul
3 2n + să aparțină mulțimii A .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,0A , ( )0,6B , ( )5, 4C și D , mijlocul
segmentului AC . Determinați distanța dintre punctele B și D .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 4AB = și 8AC = . Arătați că 5
sin 5
C = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 90 9 9x y xy x y∗ = + − − .
5p 1. Arătați că 0 9 9∗ = .
5p 2. Arătați că ( )( )9 9 9x y x y∗ = − − + , pentru orice numere reale x și y .
5p 3. Arătați că 10e = este elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ”.
5p 4. Determinați simetricul numărului 26
3 în raport cu legea de compoziție „ ∗ ”.
5p 5. Calculați 0 1 2 3 4
3 3 3 3 3∗ ∗ ∗ ∗ .
5p 6. Determinați numerele naturale de forma ab pentru care 12a b∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
  și ( ) 1
3 2
a
M a a
 
=  
− −  , unde a este număr real.
5p 1. Arătați că ( )( )det 1 4M = .
5p 2. Arătați că ( ) ( ) ( )3 4 2 2 5M M M− = .
5p 3. Determinați numerele reale a pentru care ( )( )det 0M a = .
5p 4. Determinați numărul real x pentru care ( ) ( ) ( )3 3 3M M xM⋅ = .
5p 5. Determinați matricea ( )2X ∈ ℝ
M pentru care ( ) ( )1 2 1M X M⋅ = − .
5p 6. Determinați numerele întregi m pentru care ( )( ) ( )( )2det det 2M m mI M m+ ≤ − .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 9
Barem de evaluare și de notare
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 9
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3 1 1 8
3 2 : 3 2 2
2 6 2 6
 
⋅ − + = ⋅ + ⋅ = 
  3p
4 4 8= + = 2p
2. ( )1 3f = , ( )1 9g = 2p
3 9 2m+ = , de unde obținem 6m = 3p
3. 2 6x x− = − 3p
2x = 2p
4. Mulțimea A are 20 de elemente, deci sunt 20 de cazuri posibile 2p
În mulțimea A sunt 6 numere n pentru care numărul 3 2n + aparține mulțimii A , deci sunt
6 cazuri favorabile, de unde obținem 6 3
20 10
p = = 3p
5. ( )3,2D 2p
5BD = 3p
6. 4 5BC = 2p
4 5
sin 54 5
AB
C BC
= = = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. 0 9 0 9 90 9 0 9 9∗ = ⋅ + − ⋅ − ⋅ = 3p
90 81 9= − = 2p
2. 9 9 81 9x y xy x y∗ = − − + + = 2p
( ) ( ) ( )( )9 9 9 9 9 9 9x y y x y= − − − + = − − + , pentru orice numere reale x și y 3p
3. ( )( )10 9 10 9 9 9 9x x x x∗ = − − + = − + = , pentru orice număr real x 2p
( )( )10 10 9 9 9 9 9x x x x∗ = − − + = − + = , pentru orice număr real x , deci 10e = este
elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ” 3p
4. 26 26 10
3 3
x x∗ = ∗ = , deci ( ) ( )
26 26
9 9 9 9 9 9 10
3 3
x x
   
− − + = − − + =   
    3p
6x = 2p
5. 9 9x ∗ = și 9 9y∗ = , pentru orice numere reale x și y 2p
( ) ( )0 1 2 3 4 0 1 3 4 3 4
3 3 3 3 3 3 3 9 3 3 9 3 3 9∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ = 3p
6. ( )( ) ( )( )9 9 9 12 9 9 3a b a b− − + = ⇔ − − = 2p
Cum a și b sunt cifre, 0a ≠ , obținem numerele 68 și 86 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( )( ) ( )
1 1 1 1
1 det 1 1 1 1 3
3 1 3 1
M M
 
=  = = ⋅ − ⋅ − = 
− −  3p
1 3 4= + = 2p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 9
Barem de evaluare și de notare
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 2 din 2
2. ( ) ( ) 4 1 2 1 10 2
3 4 2 3 3 2 3 0 6 6
M M      
− = − = =     
− − − − −      3p
( )
5 1
2 2 5
3 3 M
 
= = 
− −  2p
3. ( )( ) 21
det 2 3
3 2
a
M a a a
a
= = − + +
− − , pentru orice număr real a 3p
2 2 3 0a a− + + = , de unde obținem 1a = − sau 3a = 2p
4. ( ) 3 1
3 3 1
M  
=  
− − 
, ( ) ( ) ( )
6 2
3 3 2 3
6 2
M M M
 
⋅ = = 
− −  3p
( ) ( )2 3 3M xM= , de unde obținem 2x = 2p
5.
( )( ) 1
1 1
4 4
1 3 1
4 4
M −
 
− 
=  
 
 
 
3p
( )( ) ( )
1
2 1 1X M M
−
= ⋅ − , deci 1 1
3 3
X − 
=  
−  2p
6. ( )( )2det 4 3M m mI m+ = + , ( )( ) 2
det 2 4 4 3M m m m− = − − + , pentru orice număr întreg m 2p
2
4 3 4 4 3m m m+ ≤ − − + , deci 2 2 0m m+ ≤ și, cum m este număr întreg, obținem 2m = − ,
1m = − și 0m = 3p