Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2025 – sesiunea specială, 23 mai 2025, varianta 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 3
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 3
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați termenul 3a al progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ , în care 1 3a = și 2 9a = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 3 5f x x= − . Arătați că ( ) ( ) ( )3 2 0 0f f f+ + = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 9 5 2x − = .
5p 4. După o ieftinire cu 30% , un obiect costă 56 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de
ieftinire.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,1A , ( )5,6B și ( )7, 2C . Arătați că AB AC= .
5p 6. Arătați că ( ) ( )2
sin 30 3cos 60 sin 45 1° + ° ⋅ ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
  , 1 2
2 1
A  
=  
−  și ( ) 2
1 2
x
B x x
 
=  
−  , unde x este număr real.
5p a) Arătați că det 5A = .
5p b) Arătați că ( )23 2 1A I B+ = .
5p c) Determinați numerele reale x pentru care ( ) ( )( ) 2
det 2B x B x A x− ⋅ = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 8 8 8x y xy x y∗ = − − + .
5p a) Arătați că 0 1 0∗ = .
5p b) Determinați numărul real x pentru care 2 2x x∗ = .
5p c) Determinați perechile ( ),m n de numere naturale, cu m n< , pentru care ( ) ( )8 8 2m n+ ∗ + = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 4,f − +∞ → ℝ , ( ) 4 7
4
x
f x x
+
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )2
9
'
4
f x
x
=
+
, ( )4,x ∈ − +∞ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Determinați ( )4,a ∈ − +∞ , știind că panta tangentei la graficul funcției f în punctul ( )( ),A a f a
este egală cu 1.
2. Se consideră funcția ( ): 3,f − +∞ → ℝ , ( ) 2 3f x x x= + + .
5p a) Arătați că ( )( )
2
1
3 3f x x dx− + = .
5p b) Arătați că ( )
6
1
1 2
2 dx
f x x =
− .
5p c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției [ ]: 0,6g → ℝ ,
( ) ( ) 2
x
g x f x x
= − , în jurul axei Ox este egal cu 9 ln 3
π .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 3
Barem de evaluare și de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 3
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 1 6r a a= − = , unde r este rația progresiei aritmetice 3p
3 2 15a a r= + = 2p
2. ( )3 4f = , ( )2 1f = , ( )0 5f = − 3p
( ) ( ) ( )3 2 0 4 1 5 0f f f+ + = + − = 2p
3. 9 5 4x − = 3p
1x = , care convine 2p
4. 30 56
100
x x− ⋅ = , unde x este prețul înainte de ieftinire 3p
80x = de lei 2p
5. 2 2
5 5 5 2AB = + = 2p
2 2
7 1 5 2AC = + = , deci AB AC= 3p
6. 1
sin 30 2
° = , 1
cos 60 2
° = , 2
sin 45 2
° = 3p
( ) ( )
2
2 1 3 2 1
sin 30 3cos 60 sin 45 2 1
2 2 2 2
  
° + ° ⋅ ° = + ⋅ = ⋅ =       
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( )
1 2
det 1 1 2 2
2 1
A = = ⋅ − ⋅ − =
− 3p
1 4 5= + = 2p
b)
2
1 2 3 0 4 2
3 2 1 0 3 2 4
A I      
+ = + = =     
− −      3p
( )
2 1
2 2 1
1 2 B
 
= = 
−  2p
c) ( ) 2 2
2 1 4
x
B x x
 
=  
− 
, ( ) 2 2 4
1 4 2 2
x x
B x A x x
− + 
⋅ =  
− − − + 
, ( ) ( ) 2 4
2 4 2 2
x x
B x B x A x x
− 
− ⋅ =  
+ 
, de
unde obținem ( ) ( )( )det 2 20B x B x A x− ⋅ = , pentru orice număr real x
3p
2
20x x= , de unde obținem 0x = sau 20x = 2p
2.a) 0 1 0 1 8 0 8 1 8∗ = ⋅ − ⋅ − ⋅ + = 3p
0 0 8 8 0= − − + = 2p
b) 2 6 8x x∗ = − − , pentru orice număr real x 3p
6 8 2x x− − = , de unde obținem 1x = − 2p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 3
Barem de evaluare și de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) ( ) ( )8 8 56m n mn+ ∗ + = − , pentru orice numere naturale m și n 2p
56 2 58mn mn− = ⇔ = și, cum m și n sunt numere naturale, cu m n< , obținem perechile
( )1,58 și ( )2, 29 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )
( )2
4 4 4 7
'
4
x x
f x
x
+ − +
= =
+ 3p
( ) ( )2 2
4 16 4 7 9
4 4
x x
x x
+ − −
= =
+ +
, ( )4,x ∈ − +∞ 2p
b)
( )
7
4
4 7
lim lim lim 4
44 1
x x x
x xf x x
x
→+∞ →+∞ →+∞
+
+
= = =
+ +
3p
Dreapta de ecuație 4y = este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcției f 2p
c) ( )' 1f a = 2p
( )2
9 1
4a
=
+
, deci ( )2
4 9a + = și, cum ( )4,a ∈ − +∞ , obținem 1a = − 3p
2.a)
( )( )
2 2 2
1 1
2
3 2 1
f x x dx xdx x− + = = =  3p
4 1 3= − = 2p
b)
( )
( )6 6 6
1 1 1
63 '1 1 2 2 3
2 3 2 3 1
x
dx dx dx x
f x x x x
+
= = = + =
− + +
   3p
6 4 2= − = 2p
c)
( ) 3
x
g x x
= + , [ ]0,6x ∈ , deci ( )( )
6 6 2
2
0 0 3
x
V g x dx dx
x
π
π= = =
+  2p
( )
6 2
0
6 6 69
3 3 9ln 3 9 ln 3
3 2 0 0 0
x
x dx x x
x
π
π
π
    = − + = − + + =   +   
 3p