Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2025 – sesiunea iunie–iulie, 11 iunie 2025, varianta 1

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1 1 1
3 1
10 2 5
 
+ ⋅ − = 
  .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 6 3f x x= − . Determinați numărul real a pentru care
( ) ( )2 0f a f= + .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 3
5 5x x−
= .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea { }0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9A = , acesta
să verifice inegalitatea 6 25n > .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,0A , ( )2,1B și ( )6,4C . Determinați numărul
real a pentru care BC a AB= ⋅ .
5p 6. Se consideră triunghiul MNP , dreptunghic în M , cu 4MN MP= ⋅ și 8MN = . Arătați că aria
triunghiului MNP este egală cu 8 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 5 2
2 1
A  
=  
 
, 5 3
3 1
B  
=  
− 
și 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
5p a) Arătați că det 1A = .
5p b) Determinați numărul real x pentru care 23 5A I xB− = .
5p c) Determinați mulțimea numerelor reale x pentru care ( )( )2det 2A B A xI⋅ − + ≤ .
2. Se consideră polinomul 3 2
3f X X X m= − + + , unde m este număr real.
5p a) Pentru 1m = , arătați că ( )1 0f = .
5p b) Determinați numărul real m pentru care 1 2 3 1 2 32 2 2 1x x x x x x+ + = + , unde 1x , 2x și 3x sunt
rădăcinile polinomului f .
5p c) Știind că restul împărțirii polinomului f la polinomul 2X − este 5− , arătați că f este divizibil
cu polinomul 2 1X + .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
x
x
f x e
−
= .
5p a) Arătați că ( ) 3
' x
x
f x e
−
= , x ∈ ℝ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 0x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstrați că 1 3
2x x
e x e− −
− ≤ − ≤ , pentru orice [ ]1, 4x ∈ .
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 4 8f x x x= + + .
5p a) Arătați că ( )( )
1 2
0
8 2f x x dx− − = .
5p b) Arătați că ( )
8
0
ln 3
4
x dx
f x x =
− .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
5p c) Determinați ( )0,a ∈ +∞ pentru care ( )0
1 1
4 4
a
dx
f x =
− .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1
Barem de evaluare și de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 1 1 1 3
3 3
10 2 5 10 10
 
+ ⋅ − = + ⋅ = 
  3p
1 9 1
10 10
= + = 2p
2. ( )2 9f = , ( )0 3f = − 2p
9 3a= − , de unde obținem 12a = 3p
3. 2 3x x= − 3p
1x = 2p
4. Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile 2p
În mulțimea A sunt 5 numere n pentru care 6 25n > , deci sunt 5 cazuri favorabile, de unde
obținem 5 1
10 2
p = = 3p
5. 5BC = 2p
1AB = și, cum 5BC AB= ⋅ , obținem 5a = 3p
6. 2MP = 2p
8 2 8
2 2
MNP
MN MP
∆
⋅ ⋅
= = =
A 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 5 2
det 5 1 2 2
2 1
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
5 4 1= − = 2p
b)
2
15 6 5 0 10 6 5 3
3 5 2 2
6 3 0 5 6 2 3 1
A I B
       
− = − = = =       
− −        3p
2B xB= , de unde obținem 2x = 2p
c) ( ) 2 1
1 0
A B A  
⋅ − =  
  , ( ) 2
2 1
1
x
A B A xI x
+ 
⋅ − + =  
  , ( )( ) 2
2det 2 1A B A xI x x⋅ − + = + − ,
pentru orice număr real x
3p
2 2 1 2x x+ − ≤ , deci 2 2 3 0x x+ − ≤ , de unde obținem [ ]3,1x ∈ − 2p
2.a) ( )3 2 3 2
3 1 1 1 3 1 1 1f X X X f= − + +  = − ⋅ + + = 3p
1 3 1 1 0= − + + = 2p
b) 1 2 3 3x x x+ + = , 1 2 3x x x m= − , deci 2 3 1 m⋅ = − 3p
5m = − 2p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1
Barem de evaluare și de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) ( )2 2f m= − + , deci 2 5m− + = − , de unde obținem 3m = − 3p
( )( )3 2 2
3 3 3 1f X X X X X= − + − = − + , de unde rezultă că polinomul f este divizibil cu
2 1X +
2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )
( )2
2
'
x x
x
e x e
f x
e
− −
= = 3p
( )
( )2
1 2 3
x
xx
e x x
ee
− + −
= = , x ∈ ℝ 2p
b) ( )0 2f = − , ( )' 0 3f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )0 ' 0 0y f f x− = − , adică 3 2y x= − 3p
c) ( )' 0 3f x x= ⇔ = ; pentru orice [ ]1,3x ∈ , ( )' 0f x ≥ , deci f este crescătoare pe [ ]1,3 și,
pentru orice [ ]3, 4x ∈ , ( )' 0f x ≤ , deci f este descrescătoare pe [ ]3,4 2p
( ) 1
1f e
= − , ( ) 3
1
3f e
= și ( ) 4
2
4f e
= , deci ( ) 3
1 1
f x
e e
− ≤ ≤ , pentru orice [ ]1, 4x ∈ , de unde
obținem 1 3
2x x
e x e− −
− ≤ − ≤ , pentru orice [ ]1, 4x ∈
3p
2.a)
( )( )
1 1
2 2
0 0
1
8 4 2
0
f x x dx xdx x− − = = =  3p
2 0 2= − = 2p
b)
( )
( ) ( )
28 8 8 2
2 2
0 0 0
' 881 1 ln 8
4 2 28 8 0
xx x
dx dx dx x
f x x x x
+
= = = + =
− + +
   3p
ln 72 ln 8 ln 3
2 2
= − = 2p
c)
( ) ( )2
0 0
1 1 1 1 1
4 2 2 202
a a a
dx dx
f x x ax
= = − = − +
− + ++
  , pentru orice ( )0,a ∈ +∞ 3p
1 1 1
2 2 4a
− + =
+ , de unde obținem 2a = 2p