Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2025 – sesiunea august–septembrie, 12 august 2025, varianta 9

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 9
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )5 0,7 0,2 0,5 3⋅ − + = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 6 2f x x= − . Determinați numărul real m pentru care
( ) 10f m = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 16 3 1x− = .
5p 4. După o scumpire cu 60% , un obiect costă 320 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de
scumpire.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3,0A , ( )3,2B și ( ),C a b , unde a și b sunt
numere reale. Determinați numerele reale a și b , știind că punctul B este mijlocul segmentului AC .
5p 6. Arătați că ( )2
5cos60 sin30 4 sin 60 5° − ° + ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și ( ) 2
2
x
A x x
 
=  
− − 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 5 21A = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( )2 1 5 3 1A A A− + = .
5p c) Determinați mulțimea numerelor reale x pentru care ( ) ( )( )2 2det 0A x A x x I⋅ − − ≥ .
2. Se consideră polinomul 3 2
f X mX X m= + − − , unde m este număr real.
5p a) Arătați că ( )1 0f = , pentru orice număr real m .
5p b) Pentru 3m = − , arătați că 3 este rădăcină a polinomului f .
5p c) Determinați numărul real m pentru care ( ) ( )2
1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 2 3 1x x x x x x x x x x x x+ + + + + = , unde 1,x
2x și 3x sunt rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2 4
2 1f x x x
= − + .
5p a) Arătați că ( ) ( )3
2
4 1
' x
f x x
−
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 2x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Arătați că 2 4
6 2 33x x
≤ + ≤ , pentru orice 1 , 4
4
x  
∈  
  .
2. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 1 2lnf x x x= − + .
5p a) Arătați că ( )( )
3
1
2ln 2f x x dx− = .
5p b) Arătați că ( )
1
1 1
e f x x dx
x
− + = .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
5p c) Determinați numărul real a , știind că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției
( ): 0,g +∞ → ℝ , ( ) ( )( )3 1g x x f x= + , axa Ox și dreptele de ecuații 1x = și 3x = este egală cu
27 ln 3a + .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9
Barem de evaluare și de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 9
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )5 0,7 0,2 0,5 5 0,5 0,5⋅ − + = ⋅ + = 2p
2,5 0,5 3= + = 3p
2. ( ) 6 2f m m= − , pentru orice număr real m 2p
6 2 10m − = , de unde obținem 2m = 3p
3. 16 3 1x− = 3p
5x = , care convine 2p
4. 60 320
100
x x+ ⋅ = , unde x este prețul obiectului înainte de scumpire 3p
200x = de lei 2p
5. 3a = 2p
0
2 2
b+
= , de unde obținem 4b = 3p
6. 1
cos 60 2
° = , 1
sin 30 2
° = , 3
sin 60 2
° = 3p
( )
2
2 1 1 3 5 1 3
5cos 60 sin 30 4 sin 60 5 4 4 5
2 2 2 2 2 4
 
° − ° + ° = ⋅ − + ⋅ = − + ⋅ =  
 
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2 5 2 5
5 det 5 2 2 5 5
5 2 5 2
A A
 
=  = = ⋅ − − ⋅ − = 
− − − −  3p
4 25 21= − + = 2p
b) ( ) 2 1
1 1 2
A − 
− =  
− 
, ( ) ( ) 6 3
2 1 5 3 6
A A  
− + = = 
− −  3p
( )
2 1
3 3 1
1 2 A
 
= = 
− −  2p
c) ( ) ( ) ( ) 2 2
2 4 4
2 4 4
x x
A x A x A x x I
x x
− −   
− =  ⋅ − − =   
− −   
, de unde obținem
( ) ( )( ) ( )2 2
2det 16 1A x A x x I x⋅ − − = − , pentru orice număr real x
3p
( )2
16 1 0x− ≥ , de unde obținem [ ]1,1x ∈ − 2p
2.a) ( ) 3 2
1 1 1 1f m m= + ⋅ − − = 3p
1 1 0m m= + − − = , pentru orice număr real m 2p
b) ( )3 2 3 2
3 3 3 3 3 3 3 3f X X X f= − − +  = − ⋅ − + = 3p
27 27 3 3 0= − − + = , deci 3 este rădăcină a polinomului f 2p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9
Barem de evaluare și de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) 1 2 3x x x m+ + = − , 1 2 1 3 2 3 1x x x x x x+ + = − , 1 2 3x x x m= , pentru orice număr real m 3p
2
1 1m− = , de unde obținem 0m = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2
4
' 4f x x x
= − = 3p
( )33
2 2
4 14 4 xx
x x
−−
= = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) ( )2 9f = , ( )' 2 7f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )2 ' 2 2y f f x− = − , adică 7 5y x= − 3p
c) ( )' 0 1f x x= ⇔ = ; pentru orice 1 ,1
4
x  
∈  
  , ( )' 0f x ≤ , deci f este descrescătoare pe 1 ,1
4
 
 
 
și, pentru orice [ ]1, 4x ∈ , ( )' 0f x ≥ , deci f este crescătoare pe [ ]1, 4
2p
Cum 1 121
4 8
f   = 
  , ( )1 5f = , ( )4 32f = , obținem ( ) ( ) ( )1 4f f x f≤ ≤ , pentru orice
1 , 4
4
x  
∈  
  , deci 2 4
6 2 33x x
≤ + ≤ , pentru orice 1 , 4
4
x  
∈  
 
3p
2.a)
( )( ) ( )
3 3 2
1 1
3 3
2ln 1 2 1 1
x
f x x dx x dx x− = − = − =  3p
4 2 2= − = 2p
b) ( ) ( ) 2
1 1 1
1 2ln 2ln ln ' ln 1
e e e ef x x x
dx dx x x dx x
x x
− + = = ⋅ = =   3p
2 2
ln ln 1 1e= − = 2p
c)
( ) ( )3 2lng x x x x= + , ( )0,x ∈ +∞ , deci ( ) ( )
3 3
3 2
1 1
3 '3 ln
1
g x dx x x xdx= = + ⋅ = 
A 3p
2
2 3 33
26 3 ln 14 27 ln 3
21 1
x
x x= + − = + , deci 27 ln 3 14 27 ln 3a + = + , de unde obținem 14a = 2p