Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2025 – sesiunea specială, 23 mai 2025, varianta 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_șt-nat
Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )2 1,1 0,3 1,8 1⋅ + − = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 4f x x= + . Determinați numărul real a pentru care
( ) ( )0f a a f= ⋅ .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2
2 1x x x− = + − .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de o cifră,
acesta să verifice inegalitatea 3 10n > .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1, 4A , ( )2,0B și ( )8, 2C . Determinați distanța
dintre punctul A și mijlocul segmentului BC .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 10BC = și 2
sin 5
B = . Arătați că 4AC = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
  și ( ) 2 2
2 2
x x
A x x x
+ 
=  
− −  , unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 1A = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( ) 22 1 3 2 16A A A I⋅ + − = .
5p c) Determinați numărul întreg nenul m pentru care matricea ( ) ( )
1
B m A m
m
= − este inversa matricei
( )A m .
2. Se consideră polinomul 3 2
3 3f X X X a= − − + , unde a este număr real.
5p a) Pentru 1a = , arătați că ( )1 0f − = .
5p b) Determinați numărul real a pentru care 1 2 3 1 2 33 3 3 3x x x x x x+ + − = , unde 1x , 2x și 3x sunt
rădăcinile polinomului f .
5p c) Pentru 9a = , determinați rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 8
x
x
f x e
−
= .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )2 4
' x
x x
f x e
+ −
= , x ∈ℝ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 0x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstrați că ( )2 3
4e f x e− ≤ ≤ , pentru orice [ ]3, 4x ∈ − .
2. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2ln
6 x
f x x x
= + .
5p a) Arătați că ( )
3
2
2ln 15
x
f x dx
x
 
− = 
 
 .
5p b) Arătați că ( )( )
1
6 1
e
f x x dx− = .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p c) Determinați numărul real a pentru care ( ) ( ) ( )
2
2
1
' ln
e f x f x x dx af e
x
 
+ = 
 
 .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 3
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_șt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )2 1,1 0,3 1,8 2 1, 4 1,8⋅ + − = ⋅ − = 2p
2,8 1,8 1= − = 3p
2. ( )0 4f = , ( ) 2 4f a a= + , pentru orice număr real a 2p
2 4 4a a+ = , de unde obținem 2a = 3p
3. 2
2 1x x x− = + − , de unde obținem 2 2 3 0x x+ − = 2p
3x = − sau 1x = , care convin 3p
4. Mulțimea numerelor naturale de o cifră are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile 2p
În mulțimea numerelor naturale de o cifră sunt 7 numere n care verifică inegalitatea
3 10n > , deci sunt 7 cazuri favorabile, de unde obținem 7
10
p = 3p
5. ( )5,1M , unde punctul M este mijlocul segmentului BC 3p
5AM = 2p
6. sin AC
B BC
= , deci 2
5 10
AC
= 3p
2 10 4
5
AC ⋅
= = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( ) ( )
4 1 4 1
1 det 1 4 0 1 1
1 0 1 0
A A
 
=  = = ⋅ − ⋅ − = 
− −  3p
0 1 1= + = 2p
b) ( ) 6 2
2 2 2
A  
=  
− −  , ( ) ( ) 22 6
2 1 6 2
A A  
⋅ =  
− −  3p
Cum ( ) 2 2
2 2 6
A − − 
− =  
  , obținem ( ) ( ) ( ) 2
16 0
2 1 3 2 16
0 16
A A A I
 
⋅ + − = = 
  2p
c)
( )B m este inversa matricei ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2
2 2 2
4 3m
A m A m B m B m A m I I I
m
−
⇔ ⋅ = ⋅ = ⇔ = 3p
2
4 3 1
m
m
− = , de unde obținem 4
3
m = − , care nu convine, sau 1m = , care convine 2p
2.a) ( ) ( ) ( ) ( )3 23 2
3 3 1 1 1 3 1 3 1 1f X X X f= − − +  − = − − ⋅ − − ⋅ − + = 3p
1 3 3 1 0= − − + + = 2p
b) 1 2 3 3x x x+ + = , 1 2 3 1 2 3 1 2 33 3 3 9x x x a x x x x x x a= −  + + − = + , pentru orice număr real a 3p
9 3a+ = , de unde obținem 6a = − 2p
c) ( )( )3 2 2
3 3 9 3 3f X X X X X= − − + = − − 2p
Rădăcinile polinomului sunt 1 3x = , 2 3x = − și 3 3x = 3p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 3
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )
( )
2
2
2 8
'
x x
x
xe x e
f x
e
− −
= = 3p
( )( )2 2 42 8
x x
x xx x
e e
+ −− + +
= = , x ∈ℝ 2p
b) ( )0 8f = − , ( )' 0 8f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )0 ' 0 0y f f x− = − , adică 8 8y x= − 3p
c) ( )' 0 2f x x= ⇔ = − sau 4x = ; pentru orice [ ]3, 2x ∈ − − , ( )' 0f x ≤ , deci f este
descrescătoare pe [ ]3, 2− − și, pentru orice [ ]2,4x ∈ − , ( )' 0f x ≥ , deci f este crescătoare pe
[ ]2, 4−
3p
( ) 3
3f e− = , ( ) 2
2 4f e− = − și ( ) 3
4
8
4f e
e
= < , de unde obținem ( )2 3
4e f x e− ≤ ≤ , pentru
orice [ ]3, 4x ∈ −
2p
2.a)
( )
3 3 2
2 2
32ln 6 3
2
x
f x dx xdx x
x
 
− = = = 
 
  3p
27 12 15= − = 2p
b)
( )( ) ( ) 2
1 1 1
2ln '6 2ln ln ln 1
e e e ex
f x x dx dx x x dx x
x
− = = = =   3p
2 2
ln ln 1 1e= − = 2p
c) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1 1
'' ln ln ln ln 2
1
e e ef x f x x dx f x x dx f x x f e e f e
x
 
+ = = = = 
 
  3p
( ) ( )2 2
2 f e af e= și, cum ( )2 0f e ≠ , obținem 2a = 2p