Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2025 – sesiunea iunie–iulie, 11 iunie 2025, varianta 1

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_șt-nat
Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați termenul 3a al progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ , în care 1 4a = și 2 15a = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 3 2f x x= − . Determinați numărul real a pentru care
( ) ( )2 2f a f a+ = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( ) ( )2
2 2log 3 2 log 2x x x− + = + .
5p 4. Determinați câte numere naturale pare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii
{ }1,2,3,5,7,8A = .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,5A , ( )8, 4B și C , mijlocul segmentului OB .
Arătați că AO AC= .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 4AB = și 2
cos 3
B = . Arătați că 6BC = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și 2 8
1 3
A − 
=  
− 
.
5p a) Arătați că det 2A = .
5p b) Arătați că matricea ( )2
1
2
B I A= − este inversa matricei A .
5p c) Determinați matricea ( )2X ∈ ℝ
M pentru care ( )2 2A I X A− ⋅ = .
2. Pe mulțimea [ )0,M = +∞ se definește legea de compoziție x y x y xy∗ = + − .
5p a) Arătați că 1 4 3∗ = .
5p b) Determinați x M∈ pentru care ( ) 2
9x x x∗ = .
5p c) Determinați numărul real x pentru care 2
2 2 6x x x+
∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2
2
2
x
f x x x
= + + .
5p a) Arătați că ( )
( )
2
22
3 2
'
2
x x
f x
x x x
− − +
=
+ +
, ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Determinați ( )0,a ∈ +∞ pentru care tangenta la graficul funcției f în punctul ( )( ),A a f a este
paralelă cu axa Ox .
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 3 3 3f x x x= + + .
5p a) Arătați că ( )( )
2
0
3 3 4f x x dx− − = .
5p b) Arătați că
( )( )
1
23
0
1 1
18
dx
f x x
=
−
 .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p c) Determinați numărul real m pentru care ( ) 2
2
1
3 ln 4
e f x e m
x dx
x
− +
⋅ = .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 1
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_șt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 1 11r a a= − = , unde r este rația progresiei 3p
3 2 26a a r= + = 2p
2. ( )2 4f = , ( ) 3 2f a a= − , pentru orice număr real a 2p
3 2 4 2a a− + = , de unde obținem 2a = − 3p
3. 2 3 2 2x x x− + = + , de unde obținem 2 4 0x x− = 2p
0x = sau 4x = , care convin 3p
4. Cifra unităților se poate alege în 2 moduri 2p
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 5 moduri, deci se
pot forma 2 5 10⋅ = numere 3p
5. ( )4, 2C 2p
5AO = , 5AC = , deci AO AC= 3p
6. cos AB
B BC
= , deci 2 4
3 BC
= 3p
3 4 6
2
BC ⋅
= = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )
2 8
det 2 3 8 1
1 3
A −
= = − ⋅ − ⋅ − =
− 3p
6 8 2= − + = 2p
b)
2
3 8
1 2
I A − 
− =  
− 
,
3 4
2
1 1
2
B
 
− 
=  
 − 
 
3p
2A B B A I⋅ = ⋅ = , deci matricea B este inversa matricei A 2p
c) Cum 1
2 2A I A−
− = − , obținem 1
2 2A X A−
− ⋅ = , deci X A A= − ⋅ 3p
4 8
1 1
X − 
=  
−  2p
2.a) 1 4 1 4 1 4∗ = + − ⋅ = 3p
5 2 3= − = 2p
b) ( ) 2
9 9 9 7x x x x x x∗ = + − = , pentru orice x M∈ 2p
2
7x x= , de unde obținem 0x = sau 7x = , care convin 3p
c) 2 2 1
2 2 2 2 2 2 3x x x x x x+ + +
∗ = + − = ⋅ , pentru orice număr real x 3p
2 3 6x x
⋅ = , deci 3 3x = , de unde obținem 1x = 2p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 1
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( ) ( )
( )
2
22
1 2 2 2 1
'
2
x x x x
xf x
x x
+ + − +
= =
+ +
3p
( ) ( )
2 2 2
2 22 2
2 4 2 3 2
2 2
x x x x x x
x x x x x x
+ + − − − − +
= =
+ + + +
, ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) ( ) 2
2 2
lim lim lim 0
22x x x
x
f x x x x x x x
→+∞ →+∞ →+∞
= = =
+ + + + 3p
Dreapta de ecuație 0y = este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcției f 2p
c) Tangenta la graficul funcției f în punctul ( )( ),A a f a este paralelă cu axa
( )' 0Ox f a⇔ = , ( )0,a ∈ +∞ 3p
( )
2
22
3 2 0
2
a a
a a a
− − + =
+ +
, de unde obținem 1a = − , care nu convine, sau 2
3
a = , care convine 2p
2.a)
( )( )
2 2 4
3
0 0
2
3 3 4 0
x
f x x dx x dx− − = = =  3p
4 0 4= − = 2p
b)
( )( )
( )
( )
1 1
2 23
0 0
13 3 '1 1 1 1
3 3 3 3 03 3
x
dx dx xxf x x
+
= = − ⋅ =
++−
  3p
1 1 1
18 9 18
= − + = 2p
c) ( ) 2 2 2 2 2
2
1 1 1
3 3ln 3ln 7'
ln ln ln
2 2 4 2 41 1
e e e e ef x x x x x x e
xdx xdx dx x
xx
   − +
⋅ = ⋅ + = ⋅ − + =      
   
   3p
2 2 7
4 4
e m e+ +
= , de unde obținem 7m = 2p