Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2025 – sesiunea august–septembrie, 12 august 2025, varianta 9

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_șt-nat
Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați termenul 2a al progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ , în care 1 5a = și 3 35a = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 3f x x= + . Determinați numărul real m pentru care
( ) ( ) ( )0 1f m f f= ⋅ .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 2 3
4 3 6x x− = − .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de o cifră,
acesta să verifice inegalitatea 2
3 100n < .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0, 2A , ( )2,5B și C , astfel încât B este mijlocul
segmentului AC . Determinați coordonatele punctului C .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu AB AC= și aria egală cu 18 . Arătați că
6 2BC = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
  și ( ) 1 3
1 4
x x
A x x x
− 
=  
− +  , unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 2 3A = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( ) 21xA y A xy x I− = − , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinați numerele reale x pentru care ( ) ( ) ( )1 1A A x xA x⋅ − = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( )( )
1 1 1 1
4
x y x y= + + − .
5p a) Arătați că 1 5 2= .
5p b) Arătați că 3e = este elementul neutru al legii de compoziție „  ”.
5p c) Determinați perechile ( ),m n de numere naturale, cu m n≤ , pentru care 3m n = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2 3 1 lnf x x x x= − − + .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )2 1 1
' x x
f x x
− −
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Arătați că ( )
1
3
lim 3
lnx
f x x
x→
+ = .
5p c) Demonstrați că ( ) ( ) 21
4
f x f y+ ≤ − , pentru orice ( ]0,1x ∈ și orice [ ]1, 2y ∈ .
2. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 1x
f x x
−
= .
5p a) Arătați că ( )
4
2
4f x xdx = .
5p b) Arătați că ( )
4
1
8
3
f x dx = .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției [ ]: 2,3g → ℝ , ( ) ( )
2
g x f x
= , în
jurul axei Ox este egal cu ( )ln 4e
π .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 9
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_șt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 3
2
5 35
2 2
a a
a + +
= = = 3p
40 20
2
= = 2p
2. ( )0 3f = , ( )1 5f = , ( ) 2 3f m m= + , pentru orice număr real m 3p
2 3 3 5m + = ⋅ , de unde obținem 6m = 2p
3. 2 4 3 6x x− = − , de unde obținem 2 3 2 0x x− + = 3p
1x = sau 2x = 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de o cifră are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile 2p
În mulțimea numerelor naturale de o cifră sunt 6 numere n pentru care 2
3 100n < , deci sunt
6 cazuri favorabile, de unde obținem 6 3
10 5
p = = 3p
5. 0
2 2
Cx+
= și 2
5 2
Cy+
= 3p
( )4,8C 2p
6. 18 2
AB AC⋅
= , deci 6AB AC= = 3p
2 72BC = , de unde obținem 6 2BC = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1 6 1 6
2 det 1 1 9 6 2
2 9 2 9
A A
− − 
=  = = − ⋅ − ⋅ − = 
− −  3p
9 12 3= − + = 2p
b) ( ) ( ) 3 1 3 1 0
4 1 4 0 1
x xy xy xy xy x
xA y A xy xy x xy xy xy x
− − −     
− = − = =     
− + − + −      3p
( ) ( ) 2
1 0
1 1
0 1
x x I
 
= − = − 
 
, pentru orice numere reale x și y 2p
c) ( ) ( ) 0 3 2 3 3 3 3 12 9
1 1 1 5 1 4 3 3 4 17 12
x x x x
A A x x x x x
− − − −    
⋅ − = =    
− − + − − −    
, pentru orice număr real x 3p
2 2
2 2
3 3 12 9 3
3 4 17 12 4
x x x x x
x x x x x
 − − −   =   − −  − + 
, de unde obținem 1x = sau 3x = 2p
2.a) ( )( )
1
1 5 1 1 5 1 1
4
= + + − =
 3p
3 1 2= − = 2p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_șt-nat Varianta 9
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 2 din 2
b) ( )( )
1
3 1 3 1 1 1 1
4
x x x x= + + − = + − =
 , pentru orice număr real x 2p
( )( )
1
3 3 1 1 1 1 1
4
x x x x= + + − = + − =
 , pentru orice număr real x , deci 3e = este elementul
neutru al legii de compoziție „ 
 ”
3p
c) ( )( ) ( )( )
1 1 1 1 3 1 1 16
4 m n m n+ + − = ⇔ + + = 2p
Cum m și n sunt numere naturale, cu m n≤ , obținem perechile ( )0,15 , ( )1,7 și ( )3,3 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 1
' 2 3f x x x
= − + = 3p
( )( )2 2 1 12 3 1 x xx x
x x
− −− +
= = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) ( ) ( )
( )
22
1 1 1
1 ln '3 1 ln
lim lim lim
ln ln ln 'x x x
x xf x x x x
x x x→ → →
− ++ − +
= = = 3p
1
1
2
lim 3
1x
x x
x
→
+
= = 2p
c) ( ) 1
' 0 2
f x x= ⇔ = sau 1x = ; pentru orice 1
0, 2
x  
∈ 
  , ( )' 0f x ≥ , deci f este crescătoare
pe 1
0, 2
 
 
  , pentru orice 1 ,1
2
x  
∈  
  , ( )' 0f x ≤ , deci f este descrescătoare pe 1 ,1
2
 
 
  și, pentru
orice [ ]1, 2x ∈ , ( )' 0f x ≥ , deci f este crescătoare pe [ ]1, 2
3p
Pentru orice ( ]0,1x ∈ și orice [ ]1, 2y ∈ , rezultă ( ) 1
2
f x f  
≤  
  și ( ) ( )2f y f≤ și, cum
1 9 ln 2
2 4
f   = − − 
  și ( )2 3 ln 2f = − + , obținem ( ) ( ) 21
4
f x f y+ ≤ −
2p
2.a)
( ) ( )
4 4 2
2 2
4 4
1 2 2 2
x
f x xdx x dx x= − = − =  3p
6 2 4= − = 2p
b)
( )
4 4
1 1
4 41 2 2
3 1 1
x x
f x dx x dx x
x
 
= − = − = 
 
  3p
14 8
2
3 3
= − = 2p
c)
( ) 2
1
x
g x x
= − , [ ]2,3x ∈ , deci ( )( ) ( )
3 3
2
2
2 2
2
1
x
V g x dx dx
x
π
π= = =
−
  2p
( ) ( ) ( )
3
2
2
3 31 1 1
2 2 ln 1 ln 4
1 12 21
dx x e
x xx
π
π
π
   
   = + = − − =
  − −−   
 3p