Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2025 – sesiunea specială, 23 mai 2025, varianta 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați termenul 1b al progresiei geometrice ( ) 1n n
b ≥ , în care 2 20b = și 3 100b = .
5p 2. Se consideră funcțiile :f →ℝ ℝ , ( ) 4 3f x x= + și :g →ℝ ℝ , ( ) 3g x x= − . Determinați numărul
real a pentru care ( ) ( )f a g a= .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 2
9 3 3x x+
⋅ = .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
n să fie număr natural par.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,3A , ( )6,2B și ( )4,C a , unde a este număr
real. Determinați numărul real a pentru care dreptele AC și OB sunt paralele.
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu aria egală cu 32 și 2BC AB= . Arătați că
8AC = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 
=  
 
 
și ( )
2 3 3
2 1
0 0 1
x x
M x x x
x
− 
 
= − − 
 + 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 0 0M = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( )3 ( 1) 0M x M y xyI x y M⋅ − = + + , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinați numărul real x pentru care ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 0
2
x
M M x M M M
 
⋅ − ⋅ = 
  .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă ( )( )5 1 1 1x y x y∗ = − − + .
5p a) Arătați că 1 3 1∗ = .
5p b) Arătați că 6
5
e = este elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ”.
5p c) Determinați perechile ( ),m n de numere naturale pentru care 25
m este simetricul elementului n în
raport cu legea de compoziție „ ∗ ”.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2 2 lnx x
f x x
− +
= .
5p a) Arătați că ( ) 2
3 ln
' x
f x x
−
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Arătați că ( )
1
lim 3
lnx
f x
x→
= .
5p c) Determinați cel mai mare număr întreg m pentru care ecuația ( )f x m= are cel puțin o soluție.
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 4
x
x
f x e
+
= .
5p a) Arătați că ( )
2
0
10x
f x e dx = .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Arătați că ( )
1
0
6
5f x dx e
= − .
5p c) Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul ( )
1
0
n
n
x
I dx
f x
=  . Arătați că
1 4 1
n n
e
I I n
+ + ≤ + , pentru orice număr natural nenul n .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3
2
5
b
q b
= = , unde q este rația progresiei geometrice 3p
2
1 4
b
b q
= = 2p
2. ( ) 4 3f a a= + , ( ) 3g a a= − , pentru orice număr real a 3p
4 3 3a a+ = − , de unde obținem 2a = − 2p
3. 2 3 2
3 3x x+ +
= , de unde obținem 2 3 2x x+ = + 3p
1x = − 2p
4. În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri
posibile 2p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 3 numere n pentru care n este număr
natural par, deci sunt 3 cazuri favorabile, de unde obținem 3 1
90 30
p = = 3p
5. 1
3
OBm = 2p
3
3AC
a
m −
= și, cum OB ACm m= , obținem 4a = 3p
6. 1
2
AB
BC = , de unde obținem 4
B
π
= , deci AB AC= 3p
32
2
AB AC⋅ = , de unde obținem 8AC = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
0 0 3 0 0 3
0 0 0 1 det 0 0 0 1
0 0 1 0 0 1
M M
− − 
 =  = =
  
 
2p
0 0 0 0 0 0 0= + + − − − = 3p
b)
( ) ( ) 3
0 3 3 3 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0 0
xy x y xy
M x M y xyI xy x y xy
xy x y xy
− − −   
   ⋅ − = + + − =
      + + +   
3p
( )
( ) ( )
0 0 3 1
0 0 1 1 0
0 0 1
x y
x y x y M
x y
 − + + 
 = + + = + + 
 + + 
, pentru orice numere reale x și y 2p
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 31 2 2 0 3 0 1 0
2 2 2
x x x
M M x M M xI x M xI M M     ⋅ − ⋅ = + + − − + = −     
      ,
pentru orice număr real x
3p
( ) ( )1 0 2 0
2
x M M − = 
  , de unde obținem 6x = 2p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a) ( )( )1 3 5 1 1 3 1 1∗ = − − + = 3p
0 1 1= + = 2p
b) ( )
6 6
5 1 1 1 1 1
5 5
x x x x
 
∗ = − − + = − + = 
  , pentru orice număr real x 2p
( )
6 6
5 1 1 1 1 1
5 5
x x x x
 
∗ = − − + = − + = 
  , pentru orice număr real x , deci 6
5
e = este
elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ”
3p
c) 6
25 25 5
m m
n n∗ = ∗ = , de unde obținem ( ) ( ) 6
5 1 1 1 5 1 1 1
25 25 5
m m
n n
   
− − + = − − + =   
    3p
( )( )25 1 1m n− − = și, cum m și n sunt numere naturale, obținem perechile ( )24,0 și
( )26, 2 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( )
( )
2
1
2 2 2 ln
'
x x x
x
f x x
 
+ ⋅ − − + 
 = = 3p
2 2
2 1 2 2 ln 3 lnx x x x
x x
+ − + − −
= = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) ( ) ( )
( )1 1 1
2 2 ln '2 2 ln
lim lim lim
ln ln ln 'x x x
f x x xx x
x x x x x→ → →
− +− +
= = = 3p
1
1
2
lim 3
ln 1x
x
x→
+
= =
+
2p
c) ( ) 3
' 0f x x e= ⇔ = ; pentru orice ( 3
0,x e ∈  , ( )' 0f x ≥ , deci f este crescătoare pe ( 3
0,e 

și, pentru orice )3,x e∈ +∞
 , ( )' 0f x ≤ , deci f este descrescătoare pe )3,e +∞

2p
( )
0
lim
x f x
→ = −∞ , ( ) ( )3
3
1
2 2,3f e e
= + ∈ și f este continuă, deci cel mai mare număr întreg
m pentru care ecuația ( )f x m= are cel puțin o soluție este 2
3p
2.a)
( ) ( )
2 2 2
0 0
2
4 4
2 0
x x
f x e dx x dx x
 
= + = + =  
 
  3p
2 8 10= + = 2p
b)
( ) ( )( ) ( )( )
1 1
0 0
1 1
'4 4 0 0
x x x
f x dx x e dx x e e− − −
= + − = + − − =  3p
5 1 6
4 1 5
e e e
= − + − + = − 2p
c) 1
0 4
n x
n
x e
I dx
x
= + , de unde obținem ( )11 1
1
0 0
4
4 4
n n x
n x
n n
x x e
I I dx x e dx
x
+
+
+
+ = =
+  , pentru orice
număr natural nenul n
2p
Cum x
e e≤ , pentru orice [ ]0,1x ∈ , obținem
1
1
0
1
4 1 10
n
n
n n
x e
I I e x dx e n n
+ + ≤ = ⋅ =
+ + , pentru
orice număr natural nenul n
3p