Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2025 – sesiunea iunie–iulie, 11 iunie 2025, varianta 1

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numerele complexe 1 1z i= − și 2 2z i= + . Arătați că 1 22 1z iz+ = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 3f x x= + . Determinați numărul real a pentru care
( )( ) 9f f a = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2
2 3 2x x x− + = .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să fie divizor al numărului 6
2 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,1A , ( )5, 0B , ( )6,3C și ( ),D a b , unde a și b
sunt numere reale. Determinați numerele reale a și b , știind că segmentele AC și BD au același
mijloc.
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 2AB = și tg 3B = . Arătați că 2 10BC = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
2 3 0
0 2 0
9 0 2 3
x x
A x
x x
− 
 
=  
 − + 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 8A = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( )2A x A y A x y⋅ = + , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinați numerele reale x pentru care ( ) ( )( ) ( ) ( )2
3 2 4A x A x A x A x+ ⋅ = .
2. Se consideră polinomul 3 2
3 6f aX X aX= + − − , unde a este număr real nenul.
5p a) Arătați că ( )1 3f = − , pentru orice număr real nenul a .
5p b) Pentru 1a = , determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul 2 3 1g X X= + − .
5p c) Determinați numărul real nenul a pentru care ( )( )( )1 2 31 1 1 1x x x+ + + = , unde 1x , 2x și 3x sunt
rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2 ln 2
x
f x x x
= + + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
( )
2
2 1
' 2
x
f x x x
+
= + , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Demonstrați că funcția f este bijectivă.
2. Se consideră funcția ( ): 1,f − +∞ → ℝ , ( ) ( )
2
3
1
x
f x
x
=
+ .
5p a) Arătați că ( )( )
3 3
0
1 9f x x dx+ = .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Arătați că ( )( )
1
0
1 1 ln 2f x x dx+ = − .
5p c) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției :g →ℝ ℝ , ( ) ( )x
x
f e
g x e
= , axa Ox
și dreptele de ecuații 1x = − și 1x = este egală cu ( )
1
2 1
e
e
−
+ .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 1
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( ) 2
1 22 2 1 2 2 2 2z iz i i i i i i+ = − + + = − + + = 2p
2 1 1= − = 3p
2. ( ) 3f a a= + , ( )( ) 6f f a a= +
 , pentru orice număr real a 3p
6 9a + = , de unde obținem 3a = 2p
3. 2 2
2 3 2x x x− + = , de unde obținem 2 3 2 0x x− + = 2p
1x = sau 2x = , care convin 3p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri
posibile 2p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 3 divizori ai numărului 6
2 , deci sunt 3
cazuri favorabile, de unde obținem 3 1
90 30
p = = 3p
5. Mijlocul segmentului AC are coordonatele ( )3, 2 și mijlocul segmentului BD are
coordonatele 5 ,
2 2
a b+ 
 
 
3p
1a = și 4b = 2p
6. tg AC
B AB
= , de unde obținem 6AC = 3p
2 2 2
2 6BC = + , de unde obținem 2 10BC = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
1 0 1 1 0 1
1 0 2 0 det 1 0 2 0
9 0 5 9 0 5
A A
− − 
 
=  = = 
 − − 
2p
10 0 0 18 0 0 8= − + + + − − = 3p
b)
( ) ( )
4 6 6 0 2 2
0 4 0
18 18 0 4 6 6
x y x y
A x A y
x y x y
− − + 
 
⋅ = = 
 − − + + 
3p
( )
( ) ( )
( )
2 3 0
2 0 2 0 2
9 0 2 3
x y x y
A x y
x y x y
 − + + 
 
= = + 
 − + + + 
, pentru orice numere reale x și y 2p
c) ( ) ( ) ( )3 2 2A x A x A x+ = , ( ) ( )( ) ( ) ( )3 2 4 4A x A x A x A x+ ⋅ = , pentru orice număr real x 3p
( ) ( )2
4 4 4A x A x= , de unde obținem 2
4x x= , deci 0x = sau 4x = 2p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 1
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a) ( ) 3 2
1 1 3 1 1 6f a a= ⋅ + ⋅ − ⋅ − = 3p
3 6 3a a= + − − = − , pentru orice număr real nenul a 2p
b) ( )2 3 1 6f X X X= + − − și câtul împărțirii este X 3p
Restul este 6− 2p
c) ( )( )( ) ( )
1 2 3
1
1 1 1 f
x x x a
−
+ + + = − , pentru orice număr real nenul a 3p
( )1 1
f
a
−
− = , de unde obținem 3a = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )2
2 2 2
' 2 2 22
x x x
f x x x xx
+ + −
= + ⋅ = + =
++ 3p
( )
( )
( )
22 2 12 4 2
2 2
xx x
x x x x
++ +
= =
+ + , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) ( ) 1
lim lim 2 ln 2
2x x
f x x
x x x→+∞ →+∞
 
= + = 
+  2p
( )( )lim 2 lim ln 0
2x x
x
f x x x→+∞ →+∞
− = =
+ , deci dreapta de ecuație 2y x= este asimptota oblică
spre +∞ la graficul funcției f
3p
c) Pentru orice ( )0,x ∈ +∞ , ( )' 0f x f>  este strict crescătoare, deci f este injectivă 2p
( )
0
lim
x f x
→ = −∞ , ( )lim
x f x
→+∞ = +∞ și f este continuă, deci f este surjectivă, de unde
obținem că f este bijectivă 3p
2.a)
( )( )
3 3 3
3 2
0 0
3
1 3 0
x
f x x dx x dx+ = = =  3p
9 0 9= − = 2p
b)
( )( ) ( )
1 1 1
0 0 0
1 11
1 1 ln 1
1 1 0 0
x
f x x dx dx dx x x
x x
 
+ = = − = − + = 
+ + 
   3p
1 0 ln 2 ln1 1 ln 2= − − + = − 2p
c)
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
1 1 1
3 3 3 2
1 1 1
' 11 1
,
11 1 1 2 1
xx x
x x x x
ee e
g x x g x dx dx dx
e e e e− − −
+
= ∈  = = = = − =
−+ + + +
  ℝ
A 3p
( ) ( )
2
2
1 1
2 12 1
e e
ee
− −
= = ++ 2p