Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2025 – sesiunea iunie–iulie, 11 iunie 2025, varianta 5, rezervă

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )5 5 52 log 10 log 2 log 25 4− + = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 4f x x= − . Determinați numărul real m pentru care
( )2 2f m m+ = − .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 1 7
8 2 2x x−
⋅ = .
5p 4. Se consideră mulțimea { }1,2,3,4,5,6A = . Determinați câte dintre numerele naturale de trei cifre
distincte, care se pot forma cu cifre din mulțimea A , sunt divizibile cu 5 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,1A , ( )2,0B și ( )4,6C . Determinați ecuația
dreptei d ce trece prin punctul A și este paralelă cu dreapta BC .
5p 6. Se consideră expresia ( ) 2
3
tg cos cos
4 2
x x
E x x  
= ⋅ − 
  , unde 0, 2
x
π 
∈ 
  . Arătați că 0
3
E
π  = 
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 2
0 1
2 4 1
a
A a a
− 
 
=  
 
 
și sistemul de ecuații
2 4
1
2 4 4
ax y z
ay z
x y z
+ − =
 + =
 + + =
, unde a este
număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 3A = .
5p b) Arătați că sistemul de ecuații are soluție unică, pentru orice număr real a .
5p c) Determinați mulțimea numerelor reale a pentru care soluția ( )0 0 0, ,x y z a sistemului de ecuații
verifică inegalitatea 0 1y ≥ .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă
( )( )
1
4 4 4
2
x y x y∗ = − − − .
5p a) Arătați că 6 7 1∗ = .
5p b) Determinați numărul real x pentru care ( )4 6x x∗ + = .
5p c) Determinați tripletele ( ), ,m n p de numere naturale, cu m n p< < , pentru care 3m n p∗ ∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) ( ) 2
5 2f x x x= − + .
5p a) Arătați că ( ) 2
2
2 5 2
'
2
x x
f x
x
− +
=
+
, x ∈ℝ .
5p b) Determinați intervalele de monotonie a funcției f .
5p c) Arătați că ( )
2 5
lim 1
x
x
x x
f x→+∞
 − =  
 
.
2. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 3 2
8 1 lnf x x x= + + .
5p a) Arătați că ( )( )
2 2
1
ln 31f x x dx− = .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Arătați că ( ) 3
1
8 1 1
3
e f x x dx
x
− − = .
5p c) Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul ( )
( )
2
3
1
ln
8
ne
n
x x
I dx
f x x
= −
 . Demonstrați că
( )1 4
2 2 1n
n nI I e−
+ + ≤ − , pentru orice număr natural nenul n .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 5
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) 2
5 5 5 5 52 log 10 log 2 log 25 2log 5 log 5− + = + = 3p
2 1 2 4= ⋅ + = 2p
2. ( )2 2f m m+ = − , pentru orice număr real m 2p
2 2m m− = − , de unde obținem 2m = 3p
3. 2 1 7
2 2x+ = , de unde obținem 2 1 7x + = 3p
3x = 2p
4. Cifra unităților se poate alege într-un singur mod 2p
Cifra sutelor se poate alege în 5 moduri și, pentru fiecare alegere a cifrei sutelor, cifra zecilor
se poate alege în câte 4 moduri, deci sunt 1 5 4 20⋅ ⋅ = de numere 3p
5. 3BCm = , deci 3dm = 3p
Ecuația dreptei d este ( )1 3 0y x− = − , adică 3 1y x= + 2p
6. tg 3
3
π = , 2
cos 4 2
π = , 3
cos 6 2
π = 3p
2
2 3 1 3
3 3 0
3 2 2 2 2
E
π    = ⋅ − = ⋅ − =       
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
1 1 2 1 1 2
1 0 1 1 det 1 0 1 1
2 4 1 2 4 1
A A
− − 
 
=  = = 
 
 
2p
1 0 2 4 4 0 3= + + + − − = 3p
b)
( )( ) 2
1 2
det 0 1 2
2 4 1
a
A a a a
−
= = + , pentru orice număr real a 3p
2 2 0a + ≠ , pentru orice număr real a , deci sistemul de ecuații are soluție unică, pentru orice
număr real a 2p
c) 0 2
12 3
2
a
y a
−
= + , pentru orice număr real a 3p
2
12 3 1
2
a
a
− ≥
+ , de unde obținem [ ]5, 2a ∈ − 2p
2.a) ( )( )
1
6 7 4 6 4 7 4
2
∗ = − − − = 3p
4 3 1= − = 2p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 5
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
b) ( ) ( )
1
4 4 4
2
x x x x∗ + = − − , pentru orice număr real x 2p
( )
1
4 4 6
2 x x− − = , de unde obținem 2x = 3p
c) ( )( )( )
1
4 4 4 4
4
m n p m n p∗ ∗ = + − − − , pentru orice numere naturale m , n și p 3p
( )( )( ) ( )( )( )
1
4 4 4 4 3 4 4 4 4
4 m n p m n p+ − − − = ⇔ − − − = − și, cum m , n și p sunt
numere naturale cu m n p< < , obținem tripletele ( )2,5,6 și ( )3,5,8
2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )2
2
2
' 2 5
2 2
x
f x x x
x
= + + − ⋅ =
+ 3p
2 2 2
2 2
2 5 2 5 2
2 2
x x x x x
x x
+ + − − +
= =
+ +
, x ∈ ℝ 2p
b) ( ) 1
' 0 2
f x x= ⇔ = sau 2x = 2p
Pentru orice 1
, 2
x  
∈ −∞ 
  , ( )' 0f x ≥ , deci f este crescătoare pe 1
, 2
 
−∞ 
  , pentru orice
1 , 2
2
x  
∈  
  , ( )' 0f x ≤ , deci f este descrescătoare pe 1 , 2
2
 
 
  și, pentru orice [ )2,x ∈ +∞ ,
( )' 0f x ≥ , deci f este crescătoare pe [ )2, +∞
3p
c)
( )
2 22 2
2 2 2
2 2
5 2 2
lim lim 1 lim 1
2 2
x
x x xx
x x x
x x
f x x x
−
+ +−
→+∞ →+∞ →+∞
 
   −    
= − = − =        + +      
 
3p
2
lim 02 1x
x
xe e→+∞
− += = = 2p
2.a)
( )( ) ( ) ( )
2 2
2 3 4
1 1
2
ln 8 1 2
1
f x x dx x dx x x− = + = + =  3p
34 3 31= − = 2p
b) ( ) ( )
3 3
2
1 1
8 1 ln
ln ln ' 3 1
e e ef x x x
dx x x dx
x
− − = ⋅ = =  3p
3 3
ln ln 1 1
3 3 3
e
= − = 2p
c) ( )
2
2
1
ln
1 ln
ne
n
x x
I dx
x
= +
 , ( ) ( ) ( )
2 22
2 2
1 1
ln ln ln
1 ln
n ne e n
n n
x x x x
I I dx x x dx
x
+
+
+
+ = =
+
  , pentru orice
număr natural nenul n
3p
Pentru orice 2
1,x e ∈   , ln 2x ≤ , de unde obținem ( )
2
1 4
2
1
2 2 1
e
n n
n nI I xdx e−
+ + ≤ = − 2p