Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2025 – sesiunea august–septembrie, 12 august 2025, varianta 9

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( ) ( )3 4 5 5 3 2 2i i i− + + = , unde 2 1i = − .
5p 2. Se consideră funcțiile :f →ℝ ℝ , ( ) 4f x x= + și :g →ℝ ℝ , ( ) 2g x x a= + , unde a este număr
real. Determinați numărul real a pentru care ( )( )1 1g f = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( ) ( )2
2 2log 6 log 4x x x− = + .
5p 4. Se consideră mulțimea { }3,4,5,7,9A = . Determinați câte numere naturale impare, de două cifre
distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea A .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,2A și ( )6,4B . Determinați coordonatele
punctului C pentru care 2 AC OB=
  .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 4AB = și raza cercului circumscris egală cu
4 . Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 8 3 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 2
1 0
1 1
a a
A a a
a
 
 
=  
 − 
și sistemul de ecuații
2 1
0
1
ax y a z a
ax y
x y az
+ + = +
 + =
 + − = −
, unde a
este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 2 4A = .
5p b) Pentru 1a = , arătați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții.
5p c) Determinați numărul real a pentru care sistemul de ecuații are soluția unică ( )0 0 0, ,x y z și 0x a= .
2. Se consideră polinomul 4 3 2
3 2f X X X X m= − + − + , unde m este număr real.
5p a) Pentru 3m = , arătați că ( )1 0f = .
5p b) Determinați numerele reale m pentru care ( )2
1 2 3 4 1 2 3 4 1x x x x x x x x− − − − = , unde 1x , 2x , 3x și
4x sunt rădăcinile polinomului f .
5p c) Pentru 0m = , determinați numerele reale a pentru care restul împărțirii polinomului f la
polinomul X a− este egal cu a .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
2
6
1
x
f x
x
+
=
+
.
5p a) Arătați că ( ) ( )
( )
2
2 2
4
'
1 1
x x
f x
x x
−
=
+ +
, x ∈ ℝ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 0x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Arătați că ( ) ( )7 2 2f x f x− ≤ , pentru orice [ ]0,1x∈ .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2
3 1 x
f x x e= − + .
5p a) Arătați că ( )( )
3 2
0
24x
f x e dx− = .
5p b) Arătați că ( )( )
1 2 2
0
4 3 1 1x f x x dx e− + = + .
5p c) Demonstrați că ( )
20 0
1
lim 1
1
x
x
f t dt
tx→ =
+ .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 9
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( ) 2
3 4 5 5 3 2 12 15 15 10i i i i i i− + + = − + + = 3p
12 10 2= − = 2p
2. ( )1 5f = , ( )( ) ( )1 5 10g f g a= = +
 , pentru orice număr real a 3p
10 1a+ = , de unde obținem 9a = − 2p
3. 2
6 4x x x− = + , de unde obținem 2 5 4 0x x− + = 2p
1x = sau 4x = , care convin 3p
4. Cifra unităților se poate alege în 4 moduri 2p
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 4 moduri, deci se
pot forma 4 4 16⋅ = numere 3p
5. 6 4OB i j= +
   , ( )2C CAC x i y j= + −
   2p
( )2 2 2 6 4C Cx i y j i j+ − = +
    , de unde obținem 3Cx = și 4Cy = 3p
6. 8BC = , de unde obținem 4 3AC = 3p
4 4 3 8 3
2
ABC∆
⋅
= =
A 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
2 1 4 2 1 4
2 2 1 0 det 2 2 1 0
1 1 2 1 1 2
A A
 
 
=  = = 
 − − 
2p
4 8 0 4 0 4 4= − + + − − + = 3p
b) 2 2
1 0
1
x y z
a x y
x y z
+ + =

=  + =
 + − = −
și
1 1 2
1 1 0 0
1 1 1
=
−
2p
1 0 0
1 1 ≠
− și
1 2 2
1 0 0 0
1 1 1
=
− −
, deci sistemul de ecuații are o infinitate de soluții 3p
c)
( )( ) 2
1 2
det 1 0 2 2
1 1
a a
A a a a a
a
= = −
−
, pentru orice număr real a și, cum sistemul de ecuații
are soluție unică, obținem { }\ 0,1a ∈ ℝ
2p
Obținem 0
1
2
x = − , deci 1
2
a = − , care convine 3p
2.a) ( )4 3 2 4 3 2
3 2 3 1 1 3 1 1 2 1 3f X X X X f= − + − +  = − ⋅ + − ⋅ + = 3p
1 3 1 2 3 0= − + − + = 2p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 9
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
b) 1 2 3 4x x x x m= , ( )2 2
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 43 3x x x x x x x x x x x x m+ + + =  − − − − = − , pentru orice
număr real m 3p
2 3 1m − = , deci 2 4 0m − = , de unde obținem 2m = − sau 2m = 2p
c) 4 3 2
3 2f X X X X= − + − și ( )f a a= , de unde obținem 4 3 2
3 3 0a a a a− + − = 3p
( )( )2
3 1 0a a a− + = și, cum a este număr real, obținem 0a = sau 3a = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( )
( )2 2
2
2
2
2 1 6
2 1' 1
x
x x x
xf x x
+ − + ⋅
+= =
+
3p
( )
( )
( )
23 3
2 2 2 2
42 2 6
1 1 1 1
x xx x x x
x x x x
−+ − −
= =
+ + + +
, x ∈ ℝ 2p
b) ( )0 6f = , ( )' 0 0f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )0 ' 0 0y f f x− = − , adică 6y = 3p
c) Pentru orice [ ]0,2x∈ , ( )' 0f x ≤ , deci f este descrescătoare pe [ ]0,2 și, pentru orice
[ )2,x∈ +∞ , ( )' 0f x ≥ , deci f este crescătoare pe [ )2,+∞ 2p
[ ] [ ]0,1 7 0,7x x∈  ∈ , ( )0 6f = , ( ) 7
1 2
f = , ( ) 11
7 2
f = , de unde obținem ( )
7
2 f x≤ și
( ) 11
7 2
f x ≤ , deci ( ) ( )7 2 2f x f x− ≤ , pentru orice [ ]0,1x∈
3p
2.a)
( )( ) ( ) ( )
3 3
2 2 3
0 0
3
3 1 0
x
f x e dx x dx x x− = − = − =  3p
24 0 24= − = 2p
b)
( )( ) ( )
1 1
2 2 2 2
0 0
1 1
'4 3 1 2 2 0 0
x x x
x f x x dx x e dx xe e− + = = − =  3p
2 2 2
2 1 1e e e= − + = + 2p
c)
( )
( )
( ) ( )
( )
0
2 20 0 0
0
'
11
lim lim lim
1 2 1'
x
x
x x x
f t dt
tf t f x
dt
t x xx x→ → →
 
 
 + = = =
+ +

 3p
( ) 2
0 0
' 6 2
lim lim 1
4 2 4 2
x
x x
f x x e
x x→ →
+
= = =
+ + 2p