Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M3 Tehnologic 2025 – 25 martie 2025

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Simulare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați termenul 3a al progresiei aritmetice   1n n
a  , în care 1 3a  și 2 10a  .
5p 2. Se consideră funcțiile :f ℝ ℝ ,   3 4f x x  și :g ℝ ℝ ,   2g x x  . Determinați numărul
real a pentru care    2f a a g  .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația  3log 10 1 2x   .
5p 4. După o ieftinire cu 45% , un produs costă 110 lei. Determinați prețul produsului înainte de ieftinire.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele  0,4A ,  0, 1B  ,  8,3C . Arătați că AB AM ,
unde punctul M este mijlocul segmentului BC .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 6AB  și 8AC  . Arătați că 3
sin 5
C  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
  
 
și   3
2 3
a a
A a a a
 
  
 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că   det 2 2A  .
5p b) Determinați numărul real x pentru care      21 1 2 1A A I xA   .
5p c) Determinați matricea  2X  ℝ
M pentru care      2 2 0A X A A   .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 2 2 6x y xy x y     .
5p a) Arătați că 0 2 2  .
5p b) Determinați numerele reale x pentru care  2 6x x  .
5p c) Știind că 3e  este elementul neutru al legii de compoziție „  ”, determinați numărul real x al
cărui simetric în raport cu legea de compoziție „  ” este 4 .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția  : 0,f   ℝ ,   2
2 2 lnf x x x   .
5p a) Arătați că     2 1 2 1
' x x
f x x
 
 ,  0,x   .
5p b) Arătați că  
1
ln 4
lim 3 3 3x
f x x
x
 
 .
5p c) Arătați că  
2
4 1 ln 2
2
x x
  , pentru orice  0,x   .
2. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,   2 2x
f x e x   .
5p a) Arătați că   
1
0
2 1f x x dx e   .
5p b) Arătați că  
3
0
1 ln 2x dx
f x e 

 .
5p c) Determinați numărul real a pentru care  1
0
5x
f x a
dx ee   .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare
Barem de evaluare și de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 1 7r a a   , unde r este rația progresiei aritmetice 3p
3 10 7 17a    2p
2.  2 4g  ,   3 4f a a  , pentru orice număr real a 3p
3 4 4a a   , de unde obținem 4a  2p
3. 2
10 1 3x   , deci 10 1 9x   3p
1x  , care convine 2p
4. 45 110
100
x x   , unde x este prețul produsului înainte de ieftinire 3p
200x  de lei 2p
5. 5AB  2p
 4,1M , deci 2 2
4 3 5AM    , de unde obținem AB AM 3p
6. 10BC  2p
6 3
sin 10 5
AB
C BC
   3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)     
2 6 2 6
2 det 2 2 7 2 6
2 7 2 7
A A
 
        
  3p
14 12 2   2p
b)   1 3
1 1 5
A  
  
 
,     2
4 18 2 0 6 18 1 3
1 1 2 6
6 28 0 2 6 30 1 5
A A I        
            
        3p
   1 6 1xA A , de unde obținem 6x  2p
c) Cum   det 2 0A  ,        1 1
2 0 2X A A A
 
   ;   0 0
0 0 3
A  
  
  2p
   1 7 3
2 2
1 1
A   
     
, de unde obținem 9 9
3 3
X  
  
  3p
2.a) 0 2 0 2 2 0 2 2 6         3p
0 0 4 6 2     2p
b)   2
2 2 6 6x x x x    , pentru orice număr real x 2p
2
2 6 6 6x x   , deci 2
2 6 0x x  , de unde obținem 0x  sau 3x  3p
c) 4 4 3x x    , de unde obținem 4 2 8 6 3x x    3p
5
2
x  2p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare
Barem de evaluare și de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)   1
' 4f x x x
   3p
  2 2 1 2 14 1 x xx
x x
 
  ,  0,x   2p
b)     
 
2
1 1 1
ln 2 1 12 2
lim lim lim
3 3 3 3 3 1x x x
f x x x xx
x x x  
  
  
   3p
 
1
2 1 4
lim 3 3x
x


  2p
c)   1
' 0 2
f x x   ; pentru orice 1
0, 2
x  
 
  ,  ' 0f x  , deci f este descrescătoare pe 1
0, 2
 
 
 
și, pentru orice 1 ,
2
x  
  
  ,  ' 0f x  , deci f este crescătoare pe 1 ,
2
 
 
 
2p
  1
2
f x f  
  
  , pentru orice  0,x   și, cum 1 3 1
ln
2 2 2
f      
  , obținem  
2
4 1 ln 2
2
x x
  ,
pentru orice  0,x  
3p
2.a)
      
1 1
0 0
1
2 2 2 0
x x
f x x dx e dx e x       3p
2 1 1e e     2p
b)
   
3 3 3
0 0 0
31 1 1 1 1 ln 1
2 2 2 1 2 0
x dx dx dx x
x xf x e     
 
   3p
ln 4 ln1 ln 2
2 2
   2p
c)        
1 1 1
0 0 0
1 '1 2 2 2 2
0
x x
x
f x dx x e dx x x e dx
e
 
          3p
  1 6
1 2 4 5
0
x
x e e

     , deci 6
5 5
a
e e
   , de unde obținem 6a   2p