Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2025 – 25 martie 2025

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că    2 6 3 1 4 5i i i    , unde 2 1i   .
5p 2. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,   5f x x  . Determinați numărul real a pentru care
   2f f a a .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 4 4 2x x x   .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de o cifră,
numărul 2n să fie divizibil cu 16 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele  3,1A și  2, 4B . Arătați că triunghiul OAB este
dreptunghic în A .
5p 6. Se consideră expresia   2
sin 2cos 2 2sin 2
x
E x x x   , unde x este număr real. Arătați că
0
2
E
   
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea   1
2 2 1
x x
A x x x
  
  
  
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că   det 1 4A  .
5p b) Arătați că      1 2 1A A x A x     , pentru orice număr real x .
5p c) Determinați perechile  ,m n de numere naturale, cu m n , pentru care
        1 2 4A A m A n A     .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 3 3y x
x y x y    .
5p a) Arătați că 1 2 15 .
5p b) Arătați că 0e  este elementul neutru al legii de compoziție „  ”.
5p c) Determinați numărul real nenul x pentru care      3 2 2x x x x  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,   2 3 3
x
e
f x x x
   .
5p a) Arătați că    
 
2
22
'
3 3
x
e x x
f x
x x


 
, x ℝ .
5p b) Arătați că  lim
x
f x

  .
5p c) Demonstrați că     3
3
e
f x f y e

  , pentru orice numere reale x și y , cu 0x y  .
2. Se consideră funcția  : 0,f   ℝ ,   4 1 3 lnf x x x x   .
5p a) Arătați că   
2
1
3 ln 7f x x x dx  .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p b) Arătați că  
1
4 1 3
e f x x dx
x
   .
5p c) Determinați numărul real a pentru care  4
2
2
1 ln 2
ln
f x dx a
x x
  .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
 Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.     2
2 6 3 1 4 12 2 3 12i i i i i i        3p
 2 1 3 5     2p
2.   5f a a  ,    10f f a a 
 , pentru orice număr real a 3p
10 2a a  , de unde obținem 10a  2p
3. 2 2
4 4 2x x x   , de unde obținem 2 4 4 0x x   3p
2x  , care convine 2p
4. În mulțimea numerelor naturale de o cifră sunt 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile 2p
2n este divizibil cu 16 dacă și numai dacă 4n  , deci sunt 6 cazuri favorabile, de unde
obținem 6 3
10 5
p   3p
5. 1
3
OAm  2p
3ABm   , deci 1OA ABm m   , de unde obținem că triunghiul OAB este dreptunghic în A 3p
6. sin 1
2
  , cos 1
   , 2
sin 4 2
  3p
 
2
2 2
1 2 1 2 1 2 2 0
2 2 4
E
                     
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)         
2 1 2 1
1 det 1 2 3 1 2
2 3 2 3
A A
  
          
   3p
6 2 4   2p
b)   0 1
1 2 1
A  
   
 
,     2 2 1
1 4 2 4 1
x x
A A x x x
  
    
    3p
   
     
2 1 1 2 1 2 1
2 2 1 2 2 1 1
x x A x
x x
       
    
      
, pentru orice număr real x 2p
c)             1 2 1 2 1 2 1A A m A n A m A n A m n             , pentru orice numere
reale m și n 3p
   2 1 2 4A m n A     , de unde obținem 3m n  și, cum m și n sunt numere naturale,
cu m n , perechile sunt  0,3 și  1, 2 2p
2.a) 2 1
1 2 1 3 2 3    
 3p
1 9 2 3 15     2p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
b) 0
0 3 0 3 1x
x x x x      
 , pentru orice număr real x 2p
0
0 0 3 3 1x
x x x x      
 , pentru orice număr real x , deci 0e  este elementul neutru al
legii de compoziție „ 
 ” 3p
c)    2
3 3 3 3x x
x x x  
 ,     2
2 2 4 3 x
x x x 
 , pentru orice număr real x 2p
 2 2
3 3 3 4 3x x x
x x    , deci   3 3 3 3 1 0x x x
x     și, cum x este număr real nenul,
obținem 1x 
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
     
 
2
22
3 3 2 3
'
3 3
x x
e x x e x
f x
x x
   
 
 
3p
 
 
 
 
2 2
2 22 2
3 3 2 3
3 3 3 3
x x
e x x x e x x
x x x x
    
 
   
, xℝ 2p
b)
   
 2 2
'
lim lim lim lim
' 2 33 3 3 3
xx x
x x x x
ee e
f x xx x x x   
   
    3p
 
 
'
lim lim
'2 3 2
x x
x x
e e
x 
   
 2p
c)  ' 0 1f x x    sau 0x  ; pentru orice  , 1x   ,  ' 0f x  , deci f este crescătoare
pe  , 1  , pentru orice  1,0x   ,  ' 0f x  , deci f este descrescătoare pe  1,0 și,
pentru orice  0,x  ,  ' 0f x  , deci f este crescătoare pe  0,
2p
 ,0x  , deci    1f x f  și  0,y   , deci    0f y f și, cum   1
1f e
  și
  1
0 3
f  , obținem     1 1
3
f x f y e
   , deci     3
3
e
f x f y e

  , pentru orice numere
reale x și y , cu 0x y 
3p
2.a)
      
2 2 2
1 1
2
3 ln 4 1 2 1
f x x x dx x dx x x       3p
 8 2 2 1 7     2p
b)    
1 1 1
4 1 '3ln 3 ln 3 ln 3
1 1
e e e e ef x x dx xdx x xdx x x x
x
         3p
3 3 3 3e e    2p
c)      
4 4 4 4
2 2
2 2 2 2
4 41 4 3 ln 4 1
ln ' 3 4ln ln 3ln
lnln ln 2 2
f x x x x
dx dx x dx dx x x
x xx x x x
 
          3p
7ln 2 , deci ln2 7ln2a  , de unde obținem 7a  2p