Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M1 Mate-Info 2025 – 25 martie 2025

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați termenul 1b al progresiei geometrice   1n n
b  , în care 3 40b  și 4 80b  .
5p 2. Determinați mulțimea numerelor reale m pentru care graficul funcției :f ℝ ℝ ,
  2 2f x x x m   intersectează axa Ox în două puncte distincte.
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 1
3 2 3 63x x
   .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
2
n să fie număr natural de trei cifre.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele  1, 2A ,  7, 4B și C , astfel încât 2AB AC
  .
Determinați coordonatele punctului D pentru care OD CB
  .
5p 6. Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABC , cu 10AB  , înălțimea 8AD  și distanța de la punctul
D la dreapta AC egală cu 4 2 . Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 56 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea  
1
3 1 2
1 3
a a
A a
a
 
 
  
  
și sistemul de ecuații
1
3 2 1
3 3
ax y az
x y z
x y az
  
   
    
, unde a este
număr real.
5p a) Arătați că   det 0 2A   .
5p b) Determinați mulțimea numerelor reale a pentru care sistemul are soluție unică.
5p c) Pentru 1a  , determinați soluțiile  1 1 1, ,x y z și  2 2 2, ,x y z ale sistemului de ecuații pentru care
1 2y x și 1 2z y .
2. Pe mulțimea  0,M   se definește legea de compoziție 1 2
2
x y
x y xy xy

     .
5p a) Arătați că 1 4 3  .
5p b) Determinați x M pentru care 1x x  .
5p c) Demonstrați că mulțimea  1,  este parte stabilă a mulțimii M în raport cu legea de compoziție
„  ”.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția  : 0,f   ℝ ,   2 2 2
ln
2
x x
f x x x
 
 
 .
5p a) Arătați că    
 2
4 1
'
2
x
f x
x x



,  0,x   .
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre  la graficul funcției f .
5p c) Determinați numerele naturale n pentru care ecuația  f x n nu are soluții.

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,   2
2
2 1
x
f x x
  .
5p a) Arătați că    
2 2
1
2 1 3x f x dx

  .
5p b) Arătați că  
2
0
1f x dx  .
5p c) Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul
 
1
0
n
n x
x
I dx
f e
  . Arătați că
   
1
2 1 1
1 2
n n
n
n I I n e


   
 , pentru orice număr natural nenul n .

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 4
3
2
b
q b
  , unde q este rația progresiei geometrice 2p
3
1 2
b
b q
 , deci 1
40 10
4
b   3p
2.   0f x  are două soluții reale distincte, deci 4 4 0m  3p
 ,1m  2p
3. 3 6 3 63x x
   , deci 3 9x  3p
2x  2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri
posibile 2p
Cum 2 2 2
10 31n  , obținem 22 de cazuri favorabile, deci 22 11
90 45
p   3p
5. 1
2
CB AB



 


 și 6 2AB i j 



   3p
3OD i j 



   , deci punctul D are coordonatele  3,1 2p
6. 8DC  , 6BD  3p
14BC  și 14 8 56
2 2
ABC
BC AD

 
  
A 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
    
0 1 0 0 1 0
0 3 1 2 det 0 3 1 2
1 3 0 1 3 0
A A
 
 
      
   
2p
0 2 0 0 0 0 2        3p
b)
   2
1
det 3 1 2 2
1 3
a a
A a a a
a

    

, pentru orice număr real a 2p
  det 0 2A a a    sau 1a  , deci sistemul de ecuații are soluție unică dacă și numai
dacă  \ 2,1a  ℝ 3p
c) Pentru 1a  , soluțiile sistemului de ecuații sunt  , 1,2
   , cu
 ℂ 2p
1 21
   și 1 22 1
   , de unde obținem 1 2
  și 2 3
  , deci soluțiile sunt  2,3,4 și
 3,4,6 3p

Ministerul Educației și Cercetării
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a) 1 1 4
1 4 1 4 2
21 4

      
 3p
1 5
2 2 3
2 2
     2p
b) 2
2 2 1x x
x x x
 
  , pentru orice x M 2p
2
2 2 1 1
x x
x
   , deci 2
2 3 1 0x x   , de unde obținem 1
2
x  sau 1x  , care convin 3p
c)  2
1
2 2
xy x y x y
x y xy
  
    , pentru orice ,x y M 3p
Pentru  , 1,x y   , rezultă 1
2
x y  , deci  1,x y   , de unde obținem că  1, este
parte stabilă a mulțimii M în raport cu legea de compoziție „  ”
2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)      
 
 
2 2
2 2 2 2 2
' 22
x x x xx
f x x xx
    
   
 3p
   
 
 2 2
4 16 2
22 2
x
x xx x x

  
 
,  0,x   2p
b)   2 2 2
lim lim ln 2 0 2
2x x
x x
f x x x 
  
     
  3p
Dreapta de ecuație 2y  este asimptota orizontală spre  la graficul funcției f 2p
c)  ' 0 1f x x   ; pentru orice  0,1x  ,  ' 0f x  , deci f este descrescătoare pe  0,1
și, pentru orice  1,x   ,  ' 0f x  , deci f este crescătoare pe  1,  2p
 
0
lim
x
f x

  ,  1 ln 3f  , f este continuă și, cum 1 ln 3 2  , obținem 0n  sau 1n  3p
2.a)
   
2 2 3
2 2
1 1
2
2 1 3 1
x
x f x dx x dx
 
   

  3p
8 1 3
3 3
 
    
  2p
b)
   22 2 2 2
2 2
0 0 0
' 22 11 1 2 1
2 2 02 1 2 2 1
xx
f x dx dx dx x
x x

    
 
   3p
3 1 1
2 2
   2p
c)
 
1
0
2n x
nI x e dx
  ,      
1 1
1
0
1 1 2n n x
n nn I I n x x e dx 
       2p
   12
1 1 1
0
1 1 1 2 12 2 1
2 ' 2
2 2 20 0 0
n
n n x n x nx
x x e dx x e
n n n e

     
       
   , pentru orice
număr natural nenul n
3p