Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M4 Pedagogic 2025

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model
Filiera vocațională: profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Model
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră progresia aritmetică   1n n
a  cu 2 4a  și 3 6a  . Calculați 1a .
5p 2. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,   2 4f x x x   . Arătați că    0 1f f .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 2
7 49 7 0x x    .
5p 4. După ce parcurge 75% din lungimea unui traseu montan, un alpinist constată că mai are de parcurs
2 km până la finalul traseului. Calculați lungimea întregului traseu montan.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele  2,3A și  5,7B . Determinați lungimea segmentului
AC , știind că punctul B este mijlocul segmentului AC .
5p 6. Arătați că  4 sin 60 cos30 sin 45 cos 45 1       .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 1
2
x y
x y 
  .
5p 1. Arătați că  2 4 0  .
5p 2. Arătați că legea de compoziție ,,  ” este comutativă.
5p 3. Demonstrați că  2 1 1x x  , pentru orice număr real x .
5p 4. Determinați numerele reale x pentru care 2 2x x  .
5p 5. Arătați că    2 3 4 5 1x x   , pentru orice număr real x .
5p 6. Determinați perechile  ,m n de numere naturale, cu m n , pentru care 0m n  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
  
 
și   1
1
a a
A a a a
 
  
 
, unde a este număr real.
5p 1. Arătați că   det 2 1A   .
5p 2. Arătați că      2 0 2 1A A A  .
5p 3. Arătați că     20 0A A I  .
5p 4. Demonstrați că matricea  A a este inversabilă, pentru orice număr real a .
5p 5. Determinați numerele reale a pentru care   2det 11A a aI  .
5p 6. Se consideră matricea      ,C a b aA b bA a  , unde a și b sunt numere reale. Determinați
perechile  ,a b de numere naturale pentru care suma elementelor matricei  ,C a b este egală cu 24 .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model
Barem de evaluare și de notare
Filiera vocațională: profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
 Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 3
2 2
a a
a 
 3p
1 2a  2p
2. (0) 4f  2p
(1) 4f  , deci    0 1f f 3p
3. 3 2 2
7 7x x 
 , deci 3 2 2x x   , de unde obținem 2 4x  3p
2x  2p
4. 75 2
100
x x   , unde x reprezintă lungimea traseului 3p
8x  km 2p
5. 2 2
3 4 5AB    3p
2 10AC AB  2p
6. 3
sin 60 cos30 2
    , 2
sin 45 cos 45 2
    2p
  3 3 2 2 1
4 sin 60 cos30 sin 45 cos 45 4 4 1
2 2 2 2 4
 
               
 
3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.   2 4
2 4 1
2
 
   
 3p
1 1 0   2p
2. 1
2
y x
y x 
  
 3p
1
2
x y x y

   
 , pentru orice numere reale x și y , deci legea de compoziție „ 
 ” este
comutativă
2p
3.   2 1 1
2 1 1 1
2
x
x  
   
 2p
1 1x x    , pentru orice număr real x 3p
4. 2
2 1
2
x x
x x 
 
 , pentru orice număr real x 2p
2
1 2
2
x x   , deci 2 6 0x x   , de unde obținem 3x   sau 2x  3p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model
Barem de evaluare și de notare
Filiera vocațională: profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 2 din 2
5.
    2 2
2 3 4 5 4 6
3 4 5 1
2 2
x x x x
x x     
    
 , pentru orice număr real x 2p
 22 2 24 6 4 4 1 1 1
2 2 2
xx x x x    
     , pentru orice număr real x 3p
6. 2
2
m n
m n  

 , pentru orice numere naturale m și n 2p
2 0 2
2
m n m n
      și, cum m și n sunt numere naturale, cu m n , obținem perechile
 0,1 și  0, 2
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.   
1 2 1 2
(2) det 2 1 3 2 2
2 3 2 3
A A
 
        
 
3p
3 4 1    2p
2.     1 2 1 0 0 2
2 0 2 3 0 1 2 4
A A      
         
      3p
 
0 1
2 2 1
1 2 A
 
  
  2p
3.
         
 
1 1 0 0 1 0 0 1
0 0 0 1 1 0 0 0 1 1
A A           
   
       
3p
2
1 0
0 1 I
 
  
  2p
4.       21
det 1 1
1
a a
A a a a a
a a

     
 3p
2 2
1 1a a     , deci   det 0A a  , de unde obținem că matricea  A a este inversabilă,
pentru orice număr real a 2p
5.   2
2 2
2 1
( ) det ( ) 3 1
2 1
a a
A a aI A a aI a
a a
 
      
 
, pentru orice număr real a 3p
2
3 1 11a   , de unde obținem 2a   sau 2a  2p
6.       2 2
, 2 2
ab a b ab
C a b aA b bA a ab ab a b
  
    
  
, unde a și b sunt numere reale 2p
8 24ab  , deci 3ab  și, cum a și b sunt numere naturale, obținem perechile  1,3 și  3,1 3p