Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M3 Tehnologic 2025

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate
calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că  3 3 2 2 3 2 4 10     .
5p 2. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,   3 6f x x  . Arătați că      0 2 4f f f  .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 1 3 0x    .
5p 4. Prețul unui obiect este de 400 de lei. Determinați prețul obiectului după o ieftinire cu 25% .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele  2,3A ,  5,6B și  6, 2C . Arătați că triunghiul
ABC este isoscel.
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 4AC  și măsura unghiului C egală cu 60 .
Arătați că 8BC  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
  
  și   1 1
2
A x x
 
  
  , unde x este număr real.
5p a) Arătați că   det 3 1A  .
5p b) Arătați că      2 6 2 4A A A  .
5p c) Determinați numărul real x pentru care     23A x A x I  .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 6x y x y   .
5p a) Arătați că  1 3 4  .
5p b) Determinați numărul real x pentru care 2 3x x .
5p c) Arătați că    2 2 1 6 0x x   , pentru orice număr real x .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția  : 1,f   ℝ ,   5 2
1
x
f x x

  .
5p a) Arătați că    2
3
'
1
f x
x
 

,  1,x   .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 2x  , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstrați că funcția f este convexă.
2. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,   2 3f x x  .
5p a) Arătați că   
1
0
3 1f x dx  .
5p b) Arătați că  
1
0
3 1x
e f x dx e  .
5p c) Determinați  0,a   pentru care  
 
2
1
ln
3 2
f x a
dx
x x 
 .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
 Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.  3 3 2 2 3 2 4 3 2 3 2 2 3 2 4          2p
6 4 10   3p
2.  0 6f  ,  2 12f  2p
 4 18f  , deci      0 2 4f f f  3p
3. 2 1 3x   , deci 2 1 9x   3p
5x  , care convine 2p
4. 25 400 100
100   de lei 2p
Prețul obiectului după ieftinire este 400 100 300  de lei 3p
5. 2 2
4 1 17AC    2p
2 2
1 4 17BC    , deci AC BC , de unde obținem că triunghiul ABC este isoscel 3p
6. 1 1
cos 2 2
AC
C BC
   3p
4 1
2BC  , de unde obținem 8BC  2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)     
1 1 1 1
3 det 3 1 3 1 2
2 3 2 3
A A
 
        
  3p
3 2 1   2p
b)     1 1 1 1 2 2
2 6 2 2 2 6 4 8
A A      
         
      3p
 
1 1
2 2 4
2 4 A
 
  
  2p
c)
    2
3 1
2 2 2
x
A x A x x x
 
      
, pentru orice număr real x 3p
2
3 1 3 0
0 32 2 2
x
x x
   
        
, de unde obținem 1x   2p
2.a)  1 3 1 3 6    
 3p
4 2p
b) 2 2 6 8x x x    
 , pentru orice număr real x 3p
8 3x x  , de unde obținem 4x  2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c)    2 2
2 1 6 6 9x x x x    
 , pentru orice număr real x 2p
 22 6 9 3 0x x x     , pentru orice număr real x 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)         
 2
5 2 ' 1 5 2 1 '
'
1
x x x x
f x
x
    
 
 3p
   
   2 2
5 1 5 2 3
1 1
x x
x x
  
  
 
,  1,x   2p
b)  2 8f  ,  ' 2 3f   2p
Ecuația tangentei este     2 ' 2 2y f f x   , adică 3 14y x   3p
c)    3
6
''
1
f x
x


, pentru orice  1,x   3p
 '' 0f x  , pentru orice  1,x   , deci funcția f este convexă 2p
2.a)
  
1 1 2
0 0
1
0
3 2f x dx x dx x     3p
1 0 1   2p
b)
     
1 1 1
0 0 0
1 1
00
2 3 2 3 2 5 3 2x x x x x
e f x dx e x dx e x e dx e e           3p
5 3 2 2 3 1e e e      2p
c)
 
 
   
'22 2 2 2
2 2
1 1 1
3 22 3 5
ln 3 ln
3 23 3 1
x xf x x
dx dx dx x x
x x x x x x

    
  
   3p
5
ln ln
2 2
a
 , de unde obținem 5a  , care convine 2p