Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2025

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați termenul 1a al progresiei aritmetice   1n n
a  , știind că 3 19a  și 4 25a  .
5p 2. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,   2f x x a  , unde a este număr real. Determinați numărul real
a , știind că  2 8f  .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 1
5 25 0
625
x x    .
5p 4. Determinați câte submulțimi cu două elemente are mulțimea  1, 2, 3, 4, 5, 6A  .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele  2, 2A ,  2,0B și  8, 2C . Determinați lungimea
segmentului DE , unde punctele D și E sunt mijloacele segmentelor OA , respectiv BC .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 6AB  și 6
B

 . Arătați că raza cercului
circumscris triunghiului ABC este egală cu 2 3 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
  
 
, 0 1
2 4
A  
  
 
și   1
2 2 2
a
M a a a
 
  
  
, unde a este număr
real.
5p a) Arătați că det 2A  .
5p b) Determinați numărul real x pentru care    2 1M A xM  .
5p c) Determinați numerele reale a pentru care       2 22 2M a I M a a I    .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție   6 6 6x y x y    .
5p a) Arătați că 9 8 12 .
5p b) Arătați că 7e  este elementul neutru al legii de compoziție „  ”.
5p c) Determinați numerele reale nenule x pentru care 6 6x x
x  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția  : 0,f   ℝ ,    2 5f x x x  .
5p a) Arătați că     5 1 1
' 2
x x
f x x
 
 ,  0,x   .
5p b) Arătați că  ' 5
lim 2x
f x
x x
 .
5p c) Arătați că    2 26f x f x   , pentru orice  0, 2x  .
2. Se consideră funcția  : 0,f   ℝ ,   2 4lnf x x x  .
5p a) Arătați că   
2
1
7
4ln 3
f x x dx  .
5p b) Arătați că   2
1
2
e f x x dx
x
  .
5p c) Determinați numărul real m pentru care             
2 2
1
'' ' 2 1f x f x f x dx m f f   .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
 Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. Rația progresiei este 4 3 6r a a   3p
1 3 2 7a a r   2p
2.  2 4f a  2p
4 8a  , de unde obținem 4a  3p
3. 2 4 2
5 5 5 0x x 
   , deci 2 2 4
5 5x x 
 , de unde obținem 2 2 4x x   3p
2x  2p
4. 2
6
6!
2! 4!
C  
 3p
15 2p
5.  1,1D și  5,1E 2p
4DE  3p
6. cos AB
B BC
 , deci 3 6
2 BC
 , de unde obținem 4 3BC  3p
2
BC
R  , unde R este raza cercului circumscris triunghiului ABC , deci 2 3R  2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)  
0 1
det 0 4 1 2
2 4
A 
       3p
0 2 2   2p
b)   2 1
2 2 0
M  
  
  ,    
2 2 1 1
2 2 2 1
0 2 0 1
M A M
   
      
    3p
   2 1 1M xM , de unde obținem 2x  2p
c)
  2
2 1
2 2 2
a
M a I a a
 
   
   ,      2
2 2
4 2 0
2
0 4 2
a a
M a I M a
a a
  
       
, pentru
orice număr real a
3p
2
2
4 2 0 2 0
0 20 4 2
a a a
aa a
    
         
, de unde obținem 0a  sau 5a  2p
2.a)   9 8 9 6 8 6 6    
 3p
6 6 12   2p
b)   7 6 7 6 6 6 6x x x x       
 , pentru orice număr real x 2p
  7 7 6 6 6 6 6x x x x       
 , pentru orice număr real x , deci 7e  este elementul
neutru al legii de compoziție „ 
 ” 3p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 2 din 2
c)   6 6 16 6
x x
x x x
 
 
 , pentru orice număr real nenul x 2p
   26 6 1 6 6 4 3 0
x x x x x
x
        , de unde obținem 1x  sau 3x  , care convin 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)    2 1
' 2 5 2
f x x x x x
     3p
  2 5 1 15 5
2 2
x xx
x x
 
  ,  0,x   2p
b)
     2
2 2
1 1
5 1 1
' 5 1 1
lim lim lim
2 2x x x
x
f x x x x x
x x x x  
  
          3p
1 1
5 1 1 5
lim 2 2x
x x

  
   
    2p
c)  ' 0 1f x x   ; pentru orice  0,1x  ,  ' 0f x  , deci f este descrescătoare pe  0,1 și,
pentru orice  1,x   ,  ' 0f x  , deci f este crescătoare pe  1,  2p
   0, 2 2 2,4x x    , deci    1f x f și    2 4f x f  și, cum  1 4f   și
 4 22f  , obținem    2 26f x f x   , pentru orice  0, 2x  3p
2.a)
  
2 2 3
2
1 1
2
4ln 3 1
x
f x x dx x dx     3p
8 1 7
3 3 3
   2p
b)    
2 2
1 1 1
4ln 4 ln ln ' 2ln 1
e e e ef x x x
dx dx x x dx x
x x
       3p
2 2
2ln 2ln 1 2e   2p
c)
                         
2 2
2
1 1
2
'' ' ' ' ' 2 ' 2 1 ' 1
1
f x f x f x dx f x f x dx f x f x f f f f      3p
  4
' 2f x x x
  ,  0,x   ;    ' 1 ' 2 6f f  , deci          6 2 1 2 1f f m f f   și,
cum    1 2f f , obținem 6m 
2p