Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M1 Mate-Info 2025

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numerele complexe 1 4z i  și 2 2 4z i  . Arătați că 1 2 1i z z   .
5p 2. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,   2 3 5f x x x   . Determinați numerele reale a pentru care
punctul  ,5A a aparține graficului funcției f .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația    6 6
1
log 7 5 log 1 log 6x
x x    .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta
să fie multiplu impar al lui 9 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele  2,0A ,  2, 4B și  5,C a , unde a este număr
real. Determinați numărul real a , știind că dreptele OB și AC sunt paralele.
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , cu 6AB  , 10BC  și 4
cos 5
B  . Arătați că aria triunghiului ABC
este egală cu 18 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 
  
 
 
,
0 0 1
1 0 0
0 1 0
A
 
 
  
  
și  
1 0
0 1
0 1
x
B x x
x
 
 
  
  
, unde x este
număr real.
5p a) Arătați că det 1A  .
5p b) Arătați că   3A B x A xI   , pentru orice număr real x .
5p c) Pentru fiecare număr real x se consideră matricea  C x astfel încât    A C x B x  . Arătați că
     C x C y y x A   , pentru orice numere reale x și y .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 2 2
x y x y xy x y     .
5p a) Arătați că 1 3 16  .
5p b) Determinați numerele reale nenule x pentru care 2 9x x
x
  .
5p c) Determinați perechile  ,m n de numere întregi, cu m n , pentru care 1m n  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția  : 0,f   ℝ ,   3
ln x
f x x
 .
5p a) Arătați că   4
1 3ln
' x
f x x

 ,  0,x   .
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre  la graficul funcției f .
5p c) Determinați mulțimea numerelor reale m pentru care ecuația  f x m are cel puțin o soluție.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,   2 1x
f x e x   .
5p a) Arătați că   
4
1
18x
f x e dx  .
5p b) Arătați că    
2
2
1
ln 1
x
e dx e
f x x  

 .
5p c) Demonstrați că  
1
0
2
1
1
x dx
f x e
 
 .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2025
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2
1 2 4 2 4i z z i i i       3p
1 2 1    2p
2.   5f a  , de unde obținem 2 3 0a a  3p
0a  sau 3a  2p
3.    2
6 6log 7 5 logx x x   , deci 2
7 5x x x   , de unde obținem 2 6 5 0x x   3p
1x  , care nu convine, sau 5x  , care convine 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile 2p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre, numerele 27 , 45 , 63 , 81 și 99 sunt multiplii
impari de 9 , deci sunt 5 cazuri favorabile, de unde obținem 5 1
90 18
p   3p
5. 2OBm  2p
3
AC
a
m  și, cum OB ACm m , obținem 6a  3p
6. 3
sin 5
B  3p
sin 1 3
6 10 18
2 2 5
ABC
AB BC B

 
     
A 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
       
0 0 1
det 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0
0 1 0
A                         

3p
0 1 0 0 0 0 1       2p
b)
 
0 1
1 0
0 1
x
B x A x
x
 
 
    
   
,  
0 0
0 0
0 0
x
A B x A x
x
 
 
    
 
 
3p
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
x xI
 
 
  
 
 
, pentru orice număr real x 2p
c)
1
0 1 0
0 0 1
1 0 0
A
 
 
  
 
 
,    1
0 1
0 1
1 0
x
C x A B x x
x

  
 
    
 
 
, pentru orice număr real x 3p
     
0 0
0 0
0 0
x y
C x C y x y y x A
x y
  
 
     
  
, pentru orice numere reale x și y 2p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a) 2 2
1 3 1 3 1 3 1 3        3p
3 9 4 16    2p
b) 2
2 3 6x
x x x

  , pentru orice număr real nenul x 3p
2
3 6 9
x x
x
  , de unde obținem 1x   sau 1x  , care convin 2p
c)   1m n m n mn    , pentru orice numere întregi m și n 2p
  1 1m n mn   și, cum m și n sunt numere întregi, cu m n , obținem perechile  0,1
și  2,1 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
 
3 2
6
1 3 ln
'
x x x
xf x x
 
  3p
2 2
6 4
3 ln 1 3lnx x x x
x x
 
  ,  0,x   2p
b)
  3 2
1
ln
lim lim lim 0
3x x x
x xf x x x  
   3p
Dreapta de ecuație 0y  este asimptota orizontală spre  la graficul funcției f 2p
c)   3
' 0f x x e   ; pentru orice  3
0,x e   ,  ' 0f x  , deci f este crescătoare pe
 3
0, e 
 și, pentru orice 3 ,x e  ,  ' 0f x  , deci f este descrescătoare pe 3 ,e 
2p
 
0
lim
x
f x

  ,  3 1
3
f e e
 și f este continuă, deci mulțimea numerelor reale m pentru
care ecuația  f x m are cel puțin o soluție este 1
, 3e
 
 
 
3p
2.a)
    
4 4 3
2
1 1
4
1 3 1
x x
f x e dx x dx x
 
       
 
  3p
64 1
4 1 18
3 3
 
     
  2p
b)
 
   
2 2 2
2
1 1 1
21 ' ln 1
1 1 1
xx x x
x x
ee e
dx dx dx e
f x x e e

    
  
   3p
     2
ln 1 ln 1 ln 1e e e      2p
c)
 
1 1
2
0 0
1 x
x x
dx dx
f x e x

 
  și, cum 2x x
e x e  , pentru orice  0,1x  , obținem relația
 
1 1
0 0
1
xx dx xe dx
f x


 
3p
   
1 1
0 0
1 2
' 1 1
0
x x x
xe dx x e dx e x e
  
        , deci  
1
0
2
1
1
x dx
f x e
 
 2p