Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M4 Pedagogic 2024 – 20 august 2024, varianta 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 3
Filiera vocațională: profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Varianta 3
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )2 2 3 3 2 2 4+ − + = .
5p 2. Se consideră funcțiile :f →ℝ ℝ , ( ) 3 2f x x= + și :g →ℝ ℝ , ( ) 2 3g x x= + . Determinați
numărul real m pentru care ( ) ( )f m g m= .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4 3 2
2 2x x− −
= .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea { }1, 2,3, 4,5,6,7,8,9A = , numărul
2 1n + să aparțină mulțimii A .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3,0A și ( )0, 4B . Calculați aria triunghiului AOB .
5p 6. Arătați că ( )( )sin 60 sin 30 sin 60 sin 30 sin 45 cos 45° + ° ° − ° = ° ⋅ ° .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă ( )3 2 1x y xy x y= − + − .
5p 1. Arătați că 1 2 2= .
5p 2. Arătați că 1e = este elementul neutru al legii de compoziție „  ”.
5p 3. Determinați numărul real x pentru care ( ) ( )2 3 5x x+ =  .
5p 4. Determinați numerele naturale n pentru care ( )3 1 1 7n + < .
5p 5. Demonstrați că 2 2 2
3 3 3 3
x y x y
  
= − − +  
  
 , pentru orice numere reale x și y .
5p 6. Arătați că 1 2 3 4 2
2 3 4 5 3
=   .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
  și ( ) 1 1
1 1
a
A a a
+ − 
=  
−  , unde a este număr real.
5p 1. Arătați că ( )( )det 1 1A = .
5p 2. Demonstrați că ( ) ( )2 1I A a A a+ − = , pentru orice număr real a .
5p 3. Determinați numerele reale a pentru care ( )( )det A a a= .
5p 4. Determinați numărul real a pentru care ( ) ( ) 8 4
4 0
A a A a − 
⋅ =  
  .
5p 5. Determinați matricea ( )2X ∈ ℝ
M pentru care ( ) ( )1 2X A A⋅ = .
5p 6. Demonstrați că ( )( )2det 0A a I+ ≥ , pentru orice număr real a .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 3
Barem de evaluare și de notare
Filiera vocațională: profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 3
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )2 2 3 3 2 2 2 2 3 2 3 2 2+ − + = ⋅ + − + = 2p
2 2 4= + = 3p
2. ( ) 3 2f m m= + , pentru orice număr real m 2p
( ) 2 3g m m= + , pentru orice număr real m , deci 3 2 2 3m m+ = + , de unde obținem 1m = 3p
3. 4 3 2x x− = − , de unde obținem 5 5x = 3p
1x = 2p
4. Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile 2p
Numerele n , din mulțimea A , pentru care numărul 2 1n + aparține mulțimii A sunt 1, 2 , 3 și
4 , deci sunt 4 cazuri favorabile, de unde obținem 4
9
p = 3p
5. 3AO = , 4BO = 3p
Cum triunghiul AOB este dreptunghic în O , obținem 6
2
AOB
AO BO
∆
⋅
= =
A 2p
6. 3
sin 60 2
° = , 1
sin 30 2
° = , 2
sin 45 cos 45 2
° = ° = 3p
( )( )sin 60 sin 30 sin 60 sin 30 sin 45 cos 45° + ° ° − ° = ° ⋅ ° ⇔
2 22
3 1 2 1 1
2 2 2 2 2
    
− = ⇔ =           
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. ( )1 2 3 1 2 2 1 2 1= ⋅ ⋅ − + − =
 3p
6 4 2= − = 2p
2. ( )1 3 1 2 1 1 3 2x x x x x x= ⋅ ⋅ − + − = − =
 , pentru orice număr real x 2p
( )1 3 1 2 1 1 3 2x x x x x x= ⋅ ⋅ − + − = − =
 , pentru orice număr real x , deci 1e = este elementul
neutru al legii de compoziție „ 
 ” 3p
3. ( ) ( )2 3 4 2 7 4 11 6x x x x x+ = − + − = −
 
 , pentru orice număr real x 3p
11 6 5x − = , de unde obținem 1x = 2p
4. ( )3 1 1 3 1n n+ = +
 , pentru orice număr natural n 2p
3 1 7n + < , de unde obținem 2n < și, cum n este număr natural, rezultă 0n = și 1n = 3p
5. 4 2 2 2 2
3 2 2 3 2
3 3 3 3 3
x y xy x y x y y
   
= − − + + = − − − + =   
   

 3p
2 2 2
3 3 3 3
x y
  
= − − +  
   , pentru orice numere reale x și y 2p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 3
Barem de evaluare și de notare
Filiera vocațională: profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 2 din 2
6. 2 2 2
3 3 3
x x= =
 
 , pentru orice număr real x 3p
1 2 3 4 2 3 4 2
2 3 4 5 3 4 5 3
     
= =     
     

 
 
 
 
 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. ( ) 2 1
1 1 0
A − 
=  
  ( )( ) ( )
2 1
det 1 2 0 1 1
1 0
A −
= = ⋅ − ⋅ − = 3p
0 1 1= + = 2p
2. ( )2
1 0 1
1 0 1 1 2
a
I A a a
−   
+ − = + =   
−    3p
( )
1 1
1 1
a A a
a
+ − 
= = 
− 
, pentru orice număr real a 2p
3. ( )( ) ( ) ( ) ( ) 21 1
det 1 1 1 1
1 1
a
A a a a a
a
+ −
= = + ⋅ − − ⋅ − =
− , pentru orice număr real a 3p
2
a a= , de unde obținem 0a = sau 1a = 2p
4.
( ) ( ) 2
2
1 1 1 1 2 2
1 1 1 1 2 2
a a a a a
A a A a a a a a a
 + − + − + −    ⋅ = =    − −   − 
, pentru orice număr real a 3p
2
2
2 2 8 4
4 02 2
a a a
a a a
 + − − 
  =     − 
, de unde obținem 2a = 2p
5. Inversa matricei ( )1A este matricea 0 1
1 2
 
 
−  3p
3 1 0 1 1 1
1 1 1 2 1 3
X −    
= =    
− −     2p
6. ( ) 2
2 2
2 1
( ) det ( ) 2 1
1
a
A a I A a I a a
a
+ − 
+ =  + = + + 
 
, pentru orice număr real a 3p
( )22 2 1 1 0a a a+ + = + ≥ , pentru orice număr real a 2p