Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M4 Pedagogic 2024 – sesiunea specială, 22 mai 2024, varianta 9

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 9
Filiera vocațională: profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Varianta 9
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )3 2 3 2 3 4 1⋅ − − + = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 5 4f x x= − . Determinați numărul real a pentru care ( )f a a= .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 4 5 1x x+ + = .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea { }0,1,2,3,4,5,6,7,8,9A = , numărul
2
n să aparțină mulțimii A .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3,4A și ( )7, 4B − . Arătați că OA OM= , unde
punctul M este mijlocul segmentului AB .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 8AB = , 3AC = și punctul M mijlocul
segmentului AB . Arătați că perimetrul triunghiului AMC este egal cu 12 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( )2 5 15x y xy x y= − + + .
5p 1. Arătați că 2 2 3= .
5p 2. Arătați că 3e = este elementul neutru al legii de compoziție „  ”.
5p 3. Determinați mulțimea numerelor reale x pentru care 4 1x ≤ .
5p 4. Arătați că 5 5 5
2 2 2 2
x y x y
  
= − − +  
  
 , pentru orice numere reale x și y .
5p 5. Determinați numerele reale x pentru care x x x= .
5p 6. Determinați numărul natural nenul n pentru care 1
n n
 este număr natural.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și ( ) 1 1
0
a
A a a
− 
=  
 
, unde a este număr real.
5p 1. Arătați că ( )( )det 2 2A = .
5p 2. Arătați că ( ) ( ) 22 3 5A A I− = .
5p 3. Determinați numerele reale a pentru care ( )( ) 2
det 1 2A a a+ = .
5p 4. Arătați că ( ) ( ) ( )A a A b A ab⋅ = , pentru orice numere reale a și b .
5p 5. Determinați inversa matricei ( ) ( )2 3B A A= ⋅ .
5p 6. Determinați perechile ( ),a b de numere naturale pentru care ( )( )det 4bA a = .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 9
Barem de evaluare și de notare
Filiera vocațională: profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 9
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )3 2 3 2 3 4 2 3 3 3 2 3 4⋅ − − + = − ⋅ − + = 2p
3 4 1= − + = 3p
2. ( ) 5 4f a a= − , pentru orice număr real a 2p
5 4a a− = , de unde obținem 1a = 3p
3. 2 4 5 1x x+ + = , de unde obținem 2 4 4 0x x+ + = 3p
2x = − , care convine 2p
4. Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile 2p
Numerele n , din mulțimea A , pentru care numărul 2
n aparține mulțimii A sunt 0 , 1, 2 și 3 ,
deci sunt 4 cazuri favorabile, de unde obținem 4 2
10 5
p = = 3p
5. Punctul ( )5,0M este mijlocul segmentului AB , de unde obținem 5OM = 3p
2 2
3 4 5OA = + = , deci OA OM= 2p
6. 4AM = 2p
2 2 5MC AM AC= + = , deci 12AMCP AM AC MC∆ = + + = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. ( )2 2 2 2 2 5 2 2 15= ⋅ ⋅ − + + =
 3p
8 20 15 3= − + = 2p
2. ( )3 2 3 5 3 15 6 5 15 15x x x x x x= ⋅ ⋅ − + + = − − + =
 , pentru orice număr real x 2p
( )3 2 3 5 3 15 6 15 5 15x x x x x x= ⋅ ⋅ − + + = − − + =
 , pentru orice număr real x , deci 3e = este
elementul neutru al legii de compoziție „ 
 ” 3p
3. 4 3 5x x= −
 , pentru orice număr real x 2p
3 5 1x − ≤ , de unde obținem 2x ≤ , deci ( ], 2x ∈ −∞ 3p
4. 25 5 5 5 5
2 5 5 2 5
2 2 2 2 2
x y xy x y x y y
   
= − − + + = − − − + =   
   

 3p
5 5 5
2 2 2 2
x y
  
= − − +  
   , pentru orice numere reale x și y 2p
5. 2
5 5
2 2 2
x x x
 
= − + 
 

 , pentru orice număr real x 2p
2
5 5
2 2 2
x x
 
− + = 
  , de unde obținem
2
5 5
2 0
2 2
x x
   
− − − =   
    , deci 5
2
x = sau 3x = 3p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 9
Barem de evaluare și de notare
Filiera vocațională: profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 2 din 2
6. 1 5
17 5n n
n n
= − −
 , pentru orice număr natural nenul n 2p
Cum 1
n n

 și n sunt numere naturale, obținem 1n = , care convine și 5n = , care nu convine 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. 1 1
(2) 0 2
A  
=  
  ( )( ) 1 1
det 2 1 2 0 1
0 2
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
2 0 2= − = 2p
2. ( ) ( ) 2 4 1 4
2 3 5 0 6 0 5
A A    
− = − =   
    3p
2
1 0
0 1 I
 
= = 
  2p
3. ( )det ( 1) 1A a a+ = + , pentru orice număr real a 3p
2
1 2a a+ = , de unde obținem 1
2
a = − sau 1a = 2p
4. ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1
0 0 0
a b b a b
A a A b a b ab
− −  − + −  
⋅ = = =   
     3p
( )
1 1
0
ab A ab
ab
− 
= = 
 
, pentru orice numere reale a și b 2p
5. ( ) ( ) ( )2 3 6B A A A= ⋅ = 2p
( ) ( ) ( ) 2
1 1
6 6 1
6 6
A A A A A I
   
⋅ = ⋅ = =   
    , de unde obținem că inversa matricei B este matricea
5
1
1 6
16 0 6
A
 
−   =   
   
 
 
3p
6. ( )( ) 2
det bA a ab= , pentru orice numere naturale a și b 2p
2 4ab = și, cum a și b sunt numere naturale, obținem perechile ( )1,2 și ( )4,1 3p